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Universität/Hochschule Gekoppelte Oszillatoren
jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-14


Hall zusammen.

Ich habe hier, nachdem es in QM eigentlich ganz gut lief, eine Aufgabe die ich (und meine Mitstudenten) nicht lösen können.

Wir haben schon diverse Dinge ausprobiert (Verschiedene Ableitungsregeln, Geradengleichungen, Matrizen für A und B, etc...), aber wir finden keinerlei Ansatz, der annäherend ans Ziel führen würde.




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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-14

\(\begingroup\)
Hallo jonasvc19,

das Potential hat die Form $\sum_{ij}u_{ij}\,x_ix_j$ mit der Matrix

    $\displaystyle (u_{ij})=\begin{pmatrix}
A+B&-B\\-B&A+B\end{pmatrix}$  .

Du musst also eine lineare Transformation suchen, die diese Matrix diagonalisiert.

Grüße,
dromedar
\(\endgroup\)


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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-15


also versthe leider auch nach vielem Nachdenken mit meiner Pbunsgruppe nicht, wie du auf diese Matrix kommst und was genau du mit dem suchen einer L.T., die die Matrix diagonalisiert meinst  confused



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-16

\(\begingroup\)
2018-06-15 23:00 - jonasvc19 in Beitrag No. 2 schreibt:
also versthe leider auch nach vielem Nachdenken mit meiner Pbunsgruppe nicht, wie du auf diese Matrix kommst [...]

Du kannst doch

    $\begin{align*}
&A(x_1^1+x_2^2)+B(x_1-x_2)^2=\\[1.5ex]
&=(A+B)\,x_1^2+(A+B)\,x_2^2-2B\,x_1x_2=\\[1.1ex]
&=\sum_{ij}u_{ij}\,x_ix_j\quad\hbox{mit}\quad
u_{11}=u_{22}=A+B\,,\;u_{12}=u_{12}=-B
\end{align*}$

einfach mal nachrechnen.

2018-06-15 23:00 - jonasvc19 in Beitrag No. 2 schreibt:
[...] und was genau du mit dem suchen einer L.T., die die Matrix diagonalisiert meinst

Du gehst von den ursprünglichen Koordinaten $(x_1,x_2)$ zu neuen Koordinaten über, indem Du eine lineare Transformation anwendest:

    $\begin{align*}
z_1=w_{11}\,x_1+w_{12}\,x_2\\
z_2=w_{21}\,x_1+w_{22}\,x_2
\end{align*}$

Auch in diesen neuen Koordinaten ist die potentielle Energie eine quadratische Form $\sum_{ij}\tilde u_{ij}\,z_iz_j$, und wenn Du die Matrix $(w_{ij})$ geeignet wählst, ergibt sich für $(\tilde u_{ij})$ eine diagonale Matrix.

[Und um die kinetische Energie muss Du Dich nicht kümmern, denn solange $(w_{ij})$ orthogonal ist, sieht die in den neuen Koordinaten genauso wie in den alten aus. (Wenn Dir das nicht klar ist, soltest Du es nachrechnen.)]
\(\endgroup\)


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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-06-16

\(\begingroup\)
Hallo Jonas,

wie dromedar bereits geschrieben hat, ist unser Potential eine quadratische Form in x, hat die Form \(V(\vec x)=\vec x^TU \vec x \), bzw \(V(x)=\sum_{i,j=1}^2u_{ij}x_ix_j\) in Koordinatenschreibweise. Nun versuchen wir, die Matrix U konkret zu bestimmen. Dazu müssen wir den Potentialterm \(A(x_1^2+x_2^2)+B(x_1-x_2)^2\) in der Form \(\sum_{i,j=1}^2u_{ij}x_ix_j\) schreiben, also konkret \((A+B)x_1^2+(A+B)x_2^2-2Bx_1x_2\). Vergleicht man das mit der allgemeinen Form, erhält man gerade \(u_{11}=u_{22}=A+B, u_{12}=u_{21}=-B\) und damit die von dromedar angegebene Matrix.
Ist dir bekannt, wie man eine Matrix diagonalisiert? Die gesuchte lineare
Transformation ist dabei genau diejenige Matrix, die aus Eigenvektoren von U besteht.

lg Wladimir


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\(\endgroup\)


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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-16


ok, danke schonmal für die Erklärungen.

Ich habe jetzt:
fed-Code einblenden



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-06-16

\(\begingroup\)
2018-06-16 10:13 - jonasvc19 in Beitrag No. 5 schreibt:
fed-Code einblenden

Die lineare Transformation ist die Abbildung zwischen den alten Koordinaten und den neuen, also

    $\displaystyle
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=
S\begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix}$  .

Du hast übrigens $S$ nicht orthogonal gewählt, obwohl das möglich wäre, denn es geht hier ja um die Diagonalisierung einer symmetrischen Matrix. Wenn Du bei dieser Wahl bleiben willst, musst Du auch die kinetische Enrgeie transformieren:

2018-06-16 00:08 - dromedar in Beitrag No. 3 schreibt:
[Und um die kinetische Energie muss Du Dich nicht kümmern, denn solange $(w_{ij})$ orthogonal ist, sieht die in den neuen Koordinaten genauso wie in den alten aus. (Wenn Dir das nicht klar ist, soltest Du es nachrechnen.)]

Bei Deiner Wahl von $S$ musst Du auch beachten, dass sich eine quadratische Form nicht als $U\mapsto S^{-1}US$ transformiert, sondern als $U\mapsto S^TUS$ .
\(\endgroup\)


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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-16


ok, da hast du natürlich recht.
Dann habe ich also:
fed-Code einblenden

sollte jetzt soweit stimmen



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