Die Mathe-Redaktion - 17.11.2018 04:17 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt2 im Schwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 376 Gäste und 6 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von matroid
Mathematik » Numerik & Optimierung » Mehrgitterverfahren
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Mehrgitterverfahren
mathletic
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.11.2013
Mitteilungen: 1382
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-15


Hallo,

ich will ein Vortrag über das Mehrgitterverfahren vorbereiten.

Ich habe mir folgende Struktur überlegt:
Als erstes die Idee und die Vorgehensweise des Verfahrens beschreiben und dann die Vorgehensweise von den Zweigittervefahren genauer beschrieben an einem eindimensionalen Randwertproblem.

Ist diese Struktur gut? Kann man noch etwas verbessern oder ändern? Könnte man etwas hinzufügen? Zum Beispiel einen Beweis noch dazu schrieben? Vielleicht dass das gedämpfte Jacobi Verfahren die Fehler besser glättet als das normale Jacobi Verfahren? Oder habt ihr eine andere Idee?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Carmageddon
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 22.12.2009
Mitteilungen: 589
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-16


Hi mathletic,

wie viel Zeit hast du denn für den Vortrag? Soll es eher technischer Natur sein oder eher als Einführung/Überblick dienen? Vom Prinzip her ist deine Struktur okay. Je nachdem wie viel Zeit du hast kannst du auf Details wie Konvergenz und so etwas eingehen.

Ich würde auch noch ein bischen über Anwendungen von Multigrid reden - z.B. als Vorkonditionierer.

Viele Grüße


-----------------
Zitat: "Es gibt einen Beweis aus der Physik: Er ist kurz, er ist elegant... und falsch"



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
mathletic
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.11.2013
Mitteilungen: 1382
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-18


2018-06-16 12:25 - Carmageddon in Beitrag No. 1 schreibt:
wie viel Zeit hast du denn für den Vortrag? Soll es eher technischer Natur sein oder eher als Einführung/Überblick dienen? Vom Prinzip her ist deine Struktur okay. Je nachdem wie viel Zeit du hast kannst du auf Details wie Konvergenz und so etwas eingehen.

Ich würde auch noch ein bischen über Anwendungen von Multigrid reden - z.B. als Vorkonditionierer.

Es soll eher als Einführung/Überblick dienen. Einen Beweis sollte ich eher lassen oder was meinst du?

Ok! Kannst du mir ein Link/Buch vorschlagen wo ich über die Konvergenz nachlesen kann?

Ich habe auch eine Frage... In jeden Schritt bevor wir zu den anderen Gitter gehen wenden wir ein paar Schritte vom gedämpften Jacobi-Verfahren, oder nicht? Wie oft wenden wir diesen an bevor wir das Gitter wechseln?  



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
mathletic
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.11.2013
Mitteilungen: 1382
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-18


Kannst du mir ein Beispiel geben wo man die Anwendung sieht? Also ein genaues Beispiel wo ich das Verfahren anwenden kann.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Carmageddon
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 22.12.2009
Mitteilungen: 589
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-06-18


2018-06-18 11:42 - mathletic in Beitrag No. 2 schreibt:
Es soll eher als Einführung/Überblick dienen. Einen Beweis sollte ich eher lassen oder was meinst du?  


Einen Beweis eher nicht, aber zumindest ein Konvergenzresultat.


2018-06-18 11:42 - mathletic in Beitrag No. 2 schreibt:

Ok! Kannst du mir ein Link/Buch vorschlagen wo ich über die Konvergenz nachlesen kann?  


Das sollte eigentlich in den meisten Büchern drinstehen welche Multigrid Methoden behandeln...




2018-06-18 11:42 - mathletic in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich habe auch eine Frage... In jeden Schritt bevor wir zu den anderen Gitter gehen wenden wir ein paar Schritte vom gedämpften Jacobi-Verfahren, oder nicht? Wie oft wenden wir diesen an bevor wir das Gitter wechseln?  


Ich glaube da gibt es keine Regel. Man muss wohl eine Balance zwischen Aufwand und Nutzen finden.




2018-06-18 17:37 - mathletic in Beitrag No. 3 schreibt:
Kannst du mir ein Beispiel geben wo man die Anwendung sieht? Also ein genaues Beispiel wo ich das Verfahren anwenden kann.

Was genau meinst du? Multigrid-Verfahren als Vorkonditionierer? Oder wo man Multigrid generell gut anwenden kann?


-----------------
Zitat: "Es gibt einen Beweis aus der Physik: Er ist kurz, er ist elegant... und falsch"



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
mathletic
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.11.2013
Mitteilungen: 1382
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-18


Ok!

Was das Beispiel angeht, ich versuche es gerade an einen Randwertproblem mit 5 innere Gitterpunkte anzuwenden:
<math>-y''(x)=0,\  y(0)=y(\pi)=0</math>

Ist das ein gutes Beispiel um die Anwendung besser zu sehen?


Ich habe noch eine Frage. Man benutzt das gedämpfte Jacobi Verfahren sodass die Fehler besser geglättet werden, oder?
In ein Buch habe ich gesehen dass man beim gedämpfte Jacobi Verfahren den Relaxationsfaktor <math>\omega=\frac{2}{3}</math> nehmen kann.
Gibt es einen bestimmten Grund dass man diesen wählt? Bekommt man damit eine bessere Konvergenz? Oder werden die Fehler besser geglättet?
Von was hängt die Auswahl von diesen Faktor ab?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Carmageddon
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 22.12.2009
Mitteilungen: 589
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-06-20

\(\begingroup\)
2018-06-18 22:44 - mathletic in Beitrag No. 5 schreibt:
Ok!

Was das Beispiel angeht, ich versuche es gerade an einen Randwertproblem mit 5 innere Gitterpunkte anzuwenden:
<math>-y''(x)=0,\  y(0)=y(\pi)=0</math>


Naja das ist schon ein sehr krasses Minimalbeispiel - 5 innere Punkte sind schon sehr wenig. Ich würde hier eher ein auf die Idee der Reduktion der Freiheitsgrade eingehen.



2018-06-18 22:44 - mathletic in Beitrag No. 5 schreibt:

Ich habe noch eine Frage. Man benutzt das gedämpfte Jacobi Verfahren sodass die Fehler besser geglättet werden, oder?
In ein Buch habe ich gesehen dass man beim gedämpfte Jacobi Verfahren den Relaxationsfaktor <math>\omega=\frac{2}{3}</math> nehmen kann.
Gibt es einen bestimmten Grund dass man diesen wählt? Bekommt man damit eine bessere Konvergenz? Oder werden die Fehler besser geglättet?
Von was hängt die Auswahl von diesen Faktor ab?

Ist schon eine Zeitlang her, dass ich das letzte mal das gedämpfte Jacobi Verfahren angefasst habe - aber wenn ich mich recht erinnere kann man für einige Beispiel (z.b. das Diskrete Poisson Problem) die Eigenwerte der Iterationsmatrix in Abhängigkeit von $\omega$ bestimmen.

Man wählt diesen nun so, dass der maximale EW minimal wird. Da die Konvergenz von (linearen) Iterationverfahren direkt mit den EW der Iterationsmatrix zusammenhängt erhält man eine schnelle Konvergenz. Oder anders ausgedrückt: Der Fehler wird schneller geglättet.

Viele Grüße


-----------------
Zitat: "Es gibt einen Beweis aus der Physik: Er ist kurz, er ist elegant... und falsch"
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
mathletic
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.11.2013
Mitteilungen: 1382
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23

\(\begingroup\)
Also wenn wir das Zweigitterverfahren anwenden mit den V-Zyklus, dann machen wir folgendes, oder?

1) Wir wenden zweimal das gedämpfte Jacobi Verfahren im feinen Gitter an mit Startvektor $v^{(0)}$.

2) Wir wechseln zu dem Residuum/Defekt auf dem groben Gitter.

3) Wir berechnen das Defektproblem auf dem groben Gitter.

4)  Wir aktualisieren die Lösung im feinen Gitter mit den Ergebnis von Schritt 3.

Sei $u$ die exakte Lösung und $v$ die Annäherung/Iterierte.
Vom Defektproblem auf den groben Gitter haben wir dass <math>e_{2h}</math> das <math>u-v</math> annähert.
Wir haben dass <math>v=u-(u-v)</math>. Wir haben eine Annäherung <math>e_{2h}</math> an <math>u-v</math> auf dem groben Gitter. Wir prolongieren das und korrigieren die Iterierte: <math>v-I_{2h}^he_{2h}</math>



Nach diesen Schritten gilt <math>\|\tilde{e}_h\|_2\leq 0.782\|e_h\|_2</math>, wobei <math>e_h:=v^{(0)}-u</math> und <math>\tilde{e}_h:=ZG(v^{(0)})-u</math>.
(<math>ZG(v^{(0)})</math> ist das Ergebnis vom 4.ten Schritt.)

Wir können das Verfahren wiederholen. Nach Ausführung der Prozedur j-mal müssten wir den Fehler um den Faktor 0.782^{j} reduzieren.




Also das Ergebnis was wir bekommen ist eine bessere Annäherung der exakte Lösung. Hört man hier auf oder wiederholt man das Verfahren? Oder wendet man das Zweigitterverfahren mit den V-Zyklus nur einmal an?
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Carmageddon
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 22.12.2009
Mitteilungen: 589
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-06-25

\(\begingroup\)
2018-06-23 16:15 - mathletic in Beitrag No. 7 schreibt:
Also wenn wir das Zweigitterverfahren anwenden mit den V-Zyklus, dann machen wir folgendes, oder?

1) Wir wenden zweimal das gedämpfte Jacobi Verfahren im feinen Gitter an mit Startvektor $v^{(0)}$.

2) Wir wechseln zu dem Residuum/Defekt auf dem groben Gitter.

3) Wir berechnen das Defektproblem auf dem groben Gitter.

4)  Wir aktualisieren die Lösung im feinen Gitter mit den Ergebnis von Schritt 3.

Sei $u$ die exakte Lösung und $v$ die Annäherung/Iterierte.
Vom Defektproblem auf den groben Gitter haben wir dass <math>e_{2h}</math> das <math>u-v</math> annähert.
Wir haben dass <math>v=u-(u-v)</math>. Wir haben eine Annäherung <math>e_{2h}</math> an <math>u-v</math> auf dem groben Gitter. Wir prolongieren das und korrigieren die Iterierte: <math>v-I_{2h}^he_{2h}</math>


Für ein 2-Gitter-Verfahren stimmt dieses Vorgehen.







2018-06-23 16:15 - mathletic in Beitrag No. 7 schreibt:

Also das Ergebnis was wir bekommen ist eine bessere Annäherung der exakte Lösung. Hört man hier auf oder wiederholt man das Verfahren? Oder wendet man das Zweigitterverfahren mit den V-Zyklus nur einmal an?

Wenn man mit der Lösung zufrieden ist hört man auf. Es hängt immer davon ab, was man machen will, deswegen kann ich dir nur eine sehr allgemeine Antwort geben  wink


-----------------
Zitat: "Es gibt einen Beweis aus der Physik: Er ist kurz, er ist elegant... und falsch"
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2018 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]