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Mathematik » Stochastik und Statistik » Invariante Verteilungen auf dem Schachbrett
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Universität/Hochschule Invariante Verteilungen auf dem Schachbrett
Linkddd
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-19


Hallo,
ich befinde mich mit einem Läufer auf einer Irrfahrt (als Markoff-Kette) auf Schachbrett. O.b.d.A. sei der Läufer nur auf den schwarzen Feldern unterwegs. Dann ist die HMK irreduzibel und aperiodisch und rekurrent (das habe ich schon bewiesen/begründet).

Nun soll ich die invarianten Verteilungen angeben.
Hierfür habe ich mir die Mengen des äußersten Randes (A), des zweiäußersten Randes (B), des drittäußersten Randes (C) und der Mitte (D) definiert und jeweils gezählt, wie viele Felder dem Läufer zur Verfügung stehen.

Es ergibt sich, dass:

v(x) = 7/280 für x aus A
v(x) = 9/280 für x aus B
v(x) = 11/280 für x aus C
v(x) = 13/280 für x aus D

eine invariante Verteilung auf dem Schachbrett (als Graph aufgefasst) darstellt.

Jedoch wurde mir als Tipp gegeben, dass es mehrere invariante Verteilungen geben soll. Ich sehe aber nicht warum? Die Übergangsmatrix von der Irrfahrt müsste doch sogar primitiv sein und damit darf es nur diese Verteilung geben?
Wie finde ich die anderen?

Lieben Gruß, Linkd



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Fabi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-20


Hi,

Die Frage bezieht sich vermutlich auf das gesamte Schachbrett und nicht nur auf die schwarzen Felder.  wink

Viele Grüße,
Fabi


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"There would be the mathematical equivalent of worldwide rioting." (P.C.)

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Linkddd
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-20


Also ist fuer die weissen Felder einfach v(x) = 0, oder wie sollte ich das verstehen?
Oder muss ich einen weissfeldrigen Leaufer betrachten?
Ich verstehe nicht so ganz, was der Hinweis von mir will.

LG Linkd.



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Fabi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-20


Gibt es eine invariante Verteilung, bei der nicht v(x) = 0 für alle weissen Felder ist?


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Linkddd
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-20


Hey,

ja klar. Eben wenn ich einen weißfeldrigen Läufer betrachte. Die ist dann die selbe, wie die auf den schwarzen Feldern. Ich betrachte wieder den äußeren Rand etc.

Also habe ich zwei invariante Verteilungen. Einmal die auf den weißen Feldern, mit v(x) = 0 für alle schwarzen Felder und einmal die auf den schwarzen Feldern mit v(x) = 0 für alle schwarzen Felder?

LG Linkd.



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Fabi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-06-20


Hi,

Das sind sozusagen die beiden "extremen" stationären Verteilungen. Fallen dir noch welche dazwischen ein?

Viele Grüße,
Fabian


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"There would be the mathematical equivalent of worldwide rioting." (P.C.)

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Linkddd
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-21


Hey Fabi,

leider nicht nein, wie oben geschrieben. Kann ich meine stationären Verteilungen etwa mischen? Also wäre 1/2v_1(x) + 1/2v_2(x) wieder eine?

LG Linkd.



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Fabi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-06-21 21:01


2018-06-21 13:30 - Linkddd in Beitrag No. 6 schreibt:
Hey Fabi,

leider nicht nein, wie oben geschrieben. Kann ich meine stationären Verteilungen etwa mischen? Also wäre 1/2v_1(x) + 1/2v_2(x) wieder eine?

LG Linkd.

Zum Beispiel, ja. Versuche dir das mit der Übergangsmatrix der Markovkette klarzumachen. Welche spezielle Form hat diese Matrix, wenn man die Reihenfolge der Felder so wählt, dass erst alle weißen, dann alle schwarzen Felder kommen?




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