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Differentiation » Differentialrechnung in IR » z.z. ob diff.bar: f(x)=x^x und g(x)=tan(x)
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Autor
Universität/Hochschule J z.z. ob diff.bar: f(x)=x^x und g(x)=tan(x)
Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-22

\(\begingroup\)
Hallo liebes Forum,

habe eine etwas kurzfristige Frage:

\(\textbf{Aufgabe}\)
Geben Sie an, auf welchen Teilmengen von \(\IR\) die Funktionen \(f(x)=x^x\) und \(g(x)=tan(x)\) differenzierbar sind. Geben Sie die Ableitung an und zeigen Sie, ob diese stetig ist.

\(\textbf{Ansatz}\)
\(f(x)=exp(x*ln(x))\)
Als Komposition diff.barer Fkt. ist auch \(f(x)=x^x\) diff.bar. Da \(ln:\IR^+->\IR\) ist \(x^x\) demnach auf \(\IR^+\) diff.bar
\(f'(x)=exp(x*ln(x))*(ln(x)+1)\)
Als Komposition stetiger Funktionen ist diese Ableitung auf ihrem Definitionsbereich stetig.

\(g(x)=tan(x)=sin(x)/cos(x)\)
Diff.bar als Komp. diff. Funktionen ausser an den Stellen,an denen der Nenner 0 wird (habe ich schöner ausformuliert)
\(g'(x)=1+(sin^2(x)/cos^2(x))\)
Ich würde sagen die Ableitung ist nicht stetig. Man nehme die Stelle \(x=\pi/2\) b, hier divergiert der Grenzwert.


Könnte das bitte Jemand überprüfen? : )

Danke!

VG,
Physics
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-22

\(\begingroup\)
Hey Physics,

stimmt fast alles, nur die Begründung zur Stetigkeit von \(g'\) nicht.
Du weißt doch, dass \(g\) sowieso an Stellen der Form \(2\pi k + \frac{\pi}{2}\), \(k \in \mathbb{Z}\), nicht definiert ist. Somit ist die Ableitung von \(g'\) an diesen Stellen natürlich auch nicht definiert. Insbesondere macht es dann keinen Sinn, die vermeintliche Unstetigkeit von \(g'\) mit der Stelle \(\frac{\pi}{2}\) zu begründen
\(\endgroup\)


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Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-22

\(\begingroup\)
Hallo Kampfpudel,

vielen Dank für deine Rückmeldung!
Das stimmt, mich hat die Divergenz nur ein bisschen abgeschreckt. Aber wenn ich jetzt genauer drüber nachdenke divergiert ja \(1/x\) für \(x->0\) auch, aber ohne 0 ist die Funktion ja auf ganz \(\IR\) trotzdem stetig. Also ist demnach g'(x) wohl auch stetig.

Danke für die Hilfe!

VG,
Physics
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-23

\(\begingroup\)
Natürlich nicht auf ganz \(\mathbb{R}\), sondern "nur" auf dem Definitionsbereich
\(\endgroup\)


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Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23


Richtig! Na den Fehler werde ich wohl jetzt nicht mehr machen, danke nochmals

VG,
Physics



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