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Elementare Zahlentheorie » Diophantische Gleichungen » Unlösbarkeit einer Gleichung
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Universität/Hochschule Unlösbarkeit einer Gleichung
Mandacus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-22


Guten Tag,

ich will folgende Aufgabe lösen:

fed-Code einblenden

Bei (3) bin ich allerdings stecken geblieben.
fed-Code einblenden




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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-22

\(\begingroup\)
Hallo Mandacus,

Du hast zwar \(a,b\in\IZ[\sqrt{-5}]\) aufgeschrieben, aber in der Rechung dann \(a,b\in\IZ\) verwendet. smile

Also bei:
fed-Code einblenden
\(\endgroup\)


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Mandacus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-22


fed-Code einblenden



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-22

\(\begingroup\)
Der Ansatz sieht - für mich - nicht so vielversprechend aus. Ich würde eher eine "Puzzle"-Variante ausprobiern, z.B. \(-10=\sqrt{-5}\cdot(x+\sqrt{-5}-x+\sqrt{-5})\) liegt im Ideal und 10 mod 4 = 2. Vielleicht finden sich noch passende Elemente mod 4 um auf 2 zu kommen - ohne Garantie auf Erfolg.
\(\endgroup\)


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Mandacus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23


Ich habe jetzt noch ein weiteres Problem beim Beweis von (5).
Mir fallen zwei Möglichkeiten zum Beweis ein:
fed-Code einblenden

Ich habe es zwar geschafft zu zeigen, dass x+1 ein Element in P ist, allerdings sehe ich  nicht, wie mir das beim Beweis helfen soll.

fed-Code einblenden



   



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-06-23

\(\begingroup\)
\(I=\IZ[\sqrt{-5}]\) wird hier indirekt gezeigt. Was folgt aus \(2,x+1\in P\)?

Nur aus Interesse: Hat mein Hinweis zu 3) zu einem Ergebnis geführt?
\(\endgroup\)


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Mandacus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23


Wenn ich annehme, dass die Aussage falsch ist, weiß ich zumindest, dass es in I keine Einheiten gibt. Da x gerade ist, muss x+1 ungerade sein, d.h. P enthält 2 und eine ungerade Zahl. Ich weiß auch, dass

fed-Code einblenden

der Ganzheitsring der Körpererweiterung
fed-Code einblenden

und somit ein Dedekindring ist. Damit ist P als Primideal maximal und I kann höchstens so groß sein wie P. Ich sehe leider überhaupt nicht, wie mir das Wissen, dass 2 und x+1 in P enthalten sind, hilft.

Bei den Rechnungen zu (3) ist leider noch nichts herausgekommen.  



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-06-23


Bei 3 denke ich auch nochmal nach.

Damit ist P als Primideal maximal und I kann höchstens so groß sein wie P.
Der Gedanke ist nützlich.

Zunächst. Ein Ideal enthält 2 und eine ungerade Zahl. Wie groß ist dieses Ideal?

(Jetzt etwas Fußball)



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-06-23

\(\begingroup\)
Zu 3)
10, 2x liegen in I. Da x nicht durch 5 teilbar und somit 2x nicht durch 10, kann man \(2\in I\) konstruieren.
\(\endgroup\)


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Mandacus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-24


Was die Größe von P angeht: Mit etwas Nachdenken bin ich darauf gekommen, dass P auf jeden Fall alle Elemente
fed-Code einblenden



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-06-24

\(\begingroup\)
P scheint nicht der ganze Ring zu sein.
Ein Primideal / maximales Ideal ist per Definition vom Ring verschieden.

In 4),5) hast Du die folgende Argumentation. Falls I in einem maximalen Ideal P enthalten ist, so hat P die Eigenschaften ... Du möchtest aber \(I=\IZ[\sqrt{-5}]\) zeigen. Daher bietet es sich an, aus den Eigenschaften für P ein Widerspruch für P zu erzeugen.

Ein Ideal enthält 2 und eine ungerade Zahl. Wie groß ist dieses Ideal?
Das ist wirklich die entscheidene Frage. Die Antwort auf diese Frage ist auch für ein Ideal \(J\subseteq \IZ\) dieselbe.

Mein Hinweis zu 3) ist ein sehr ähnliches Argument - vielleicht löst Du das zuerst, dann wirst Du bei 5) leichter weiterkommen.


fed-Code einblenden
Ich ahne hier ein leichtest Mißverständnis: \(2\IZ[\sqrt{-5}]\) ist ein Hauptideal. Daher gilt \(2\in I \Rightarrow 2\IZ[\sqrt{-5}]\subset I\). Warum aus \(2\IZ[\sqrt{-5}]\subset I\) bereit \(I=P\) folgt, kann ich nicht nachvollziehen. confused
\(\endgroup\)


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Mandacus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-24


Zu (3) habe ich mir bisher folgendes überlegt:

fed-Code einblenden

 



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-06-24


Sieht gut aus. smile Nur die Unterscheidung pos./neg. ist nicht nötig. Und jetzt das ganze nochmal mit 2 und einer ungerade Zahl.




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Mandacus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-24


Ich glaube ich stehe ein bisschen auf dem Schlauch. Wenn ich den Ansatz

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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-06-24

\(\begingroup\)
Das ist schon richtig und der gesuchte Widerspruch um auf \(I=\IZ[\sqrt{-5}]\) zu kommen.
\(\endgroup\)


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Mandacus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-25


Dann will ich nur noch schnell versuchen die (6) zu lösen, wenn wir schon mal dabei sind. Mithilfe von (5) könnte ich versuchen zu zeigen, dass Zahlen, a,b existieren mit

fed-Code einblenden

Ich weiß auch, dass für die Klassengruppe CL gilt, dass CL nur 2 Elemente enthält und von der Idealklasse des Primideals

fed-Code einblenden

erzeugt wird. Es gilt hierbei:

fed-Code einblenden



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-06-26

\(\begingroup\)
Hallo Mandacus,

mangels Wissen kann ich Deiner Idee nicht so richtig folgen (In der Zahlentheorie kenne ich mich nicht wirklich aus). In den Punkte 1)-5) wurde bisher noch nicht ernsthaft verwendet, dass x,y die Gleichung \(x^2+5=y^3\) erfüllt. Diese Gleichung wird in 7) wohl auch nicht verwendet, da ich davon ausgehe, dass dort geometrisch gezeigt werden kann, dass die Lösungen von \(\ x+\sqrt{-5} = \alpha^3\) in \(\IC\) nicht auf dem Gitter \(\IZ+i\sqrt{5}\IZ\) liegen.

Zu 6) haben wir nun die folgende Situation: \(\IZ[\sqrt{-5}]=(x+\sqrt{-5},x-\sqrt{-5})\) und \(x^2+5=y^3\). Hier vermute ich, dass nun aus y ein \(\alpha\) konstruiert werden soll, s.d. \(\ x+\sqrt{-5} = \alpha^3\).

Der naive Ansatz \(y=a(x+\sqrt{-5})+b(x-\sqrt{-5})\) liefert modulo \(x+\sqrt{-5}\) relativ schnell eine Gleichung \(\lambda(x+\sqrt{-5})=\beta^3\). Nur bekomme ich das \(\lambda\) einfach nicht wegdiskutiert. frown

\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-08-14

\(\begingroup\)
(6) Wenn $x^2+5 = (x+\sqrt{-5})(x-\sqrt{-5}) = y^3$ ist, folgt aus der Teilerfremdheit von $(x+\sqrt{-5}),(x-\sqrt{-5})$ und weil die Klassenzahl $2$ zum Exponenten $3$ teilerfremd ist, dass $(x+\sqrt{-5}) = (\alpha)^3$ ein Hauptideal ist. Daher unterscheiden sich $x+\sqrt{-5}$ und $\alpha^3$ nur durch eine Einheit. Es ist aber $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]^\times = \{\pm1\}$.

(7) Mache den Ansatz $x + \sqrt{-5} = (a + b\sqrt{-5})^3$, ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich, evtl. muss man noch (1) und (2) verwenden.
\(\endgroup\)


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kurtg
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2018-09-01


Mit Magma (sogar rationale Lösungen):

E := EllipticCurve([0,-5]);
E;
IntegralPoints(E);
MordellWeilGroup(E);
two := MultiplicationByMMap(E,2);
mu, tor := DescentMaps(two);
S, AtoS := SelmerGroup(two);
#S;



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