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Mathematik » Numerik & Optimierung » Kongruenz bei B-Splines
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Universität/Hochschule J Kongruenz bei B-Splines
Bfg97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-23 17:02


Hallo,

bei meiner heutigen Aufgabe habe ich keinerlei Ahnung, wie ich an sie rangehen soll. Vor allem hat mich Aufgabe a) verwirrt, da man hier eine Kongruenz zeigen soll. Hier aber erstmal beide Aufgaben:

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Auf den ersten Blick, dachte ich, dass man die Zerlegung der Eins zeigen soll, aber dass eine Kongruenz gelten soll, erschließt sich mir nicht. Zudem ist kein Modulo angegeben.
Zu der Zerlegung der 1 über das Integral ist mir nichts eingefallen. Über ein uneigentliches Integral bin ich leider auch nicht weitergekommen.
Ich hoffe, dass ihr Tipps für mich habt, da ich sonst ziemlich aufgeschmissen bin^^



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-23 18:53


Hi Bfg97,
das mit der Kongruenz hast du dir anscheinend ausgedacht, es ist nicht so gemeint.
Es wird offenbar das Zeichen "≡" im Sinne von "ist identisch gleich" verwendet, es handelt sich nicht um eine Kongruenz.
GRuß Buri



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Bfg97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23 19:00


2018-06-23 18:53 - Buri in Beitrag No. 1 schreibt:
Hi Bfg97,
das mit der Kongruenz hast du dir anscheinend ausgedacht, es ist nicht so gemeint.
Es wird offenbar das Zeichen "≡" im Sinne von "ist identisch gleich" verwendet, es handelt sich nicht um eine Kongruenz.
GRuß Buri

Danke Buri, dass du meine Vermutung bestätigt hast. Es war etwas verwirrend, dass man einmal das Zeichen für Kongruenz in a) und anschließend für b) die Gleichheit benutzt hat.
Hättest du denn auch einen Tipp, wie ich an Aufgabe b) rangehen könnte?



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Buri
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Dabei seit: 02.08.2003
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Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-23 19:16


2018-06-23 19:00 - Bfg97 in Beitrag No. 2 schreibt:
... wie ich an Aufgabe b) rangehen könnte?
Hi Bfg97,
wie sind denn die Bm definiert?
Ich bin kein Hörer deiner Vorlesung.
Gruß Buri



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Bfg97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23 20:11


2018-06-23 19:16 - Buri in Beitrag No. 3 schreibt:
2018-06-23 19:00 - Bfg97 in Beitrag No. 2 schreibt:
... wie ich an Aufgabe b) rangehen könnte?
Hi Bfg97,
wie sind denn die Bm definiert?
Ich bin kein Hörer deiner Vorlesung.
Gruß Buri

Entschuldige^^'
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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-06-23 20:39

\(\begingroup\)
2018-06-23 20:11 - Bfg97 in Beitrag No. 4 schreibt:
fed-Code einblenden

Überleg Dir allgemein: Setzt man

    $\displaystyle
c(x)=\intop_{-\infty}^\infty g(x-t)\,b(t)\;{\rm d}t$

mit einer Funktion $g$ mit der Eigenschaft

    $\displaystyle
\intop_{-\infty}^\infty g(t)\;{\rm d}t=1$  ,

so gilt

    $\displaystyle
\intop_{-\infty}^\infty c(x)\;{\rm d}x=
\intop_{-\infty}^\infty b(x)\;{\rm d}x$  .
\(\endgroup\)


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Bfg97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23 20:58

\(\begingroup\)
2018-06-23 20:39 - dromedar in Beitrag No. 5 schreibt:
2018-06-23 20:11 - Bfg97 in Beitrag No. 4 schreibt:
fed-Code einblenden

Überleg Dir allgemein: Setzt man

    $\displaystyle
c(x)=\intop_{-\infty}^\infty g(x-t)\,b(t)\;{\rm d}t$

mit einer Funktion $g$ mit der Eigenschaft

    $\displaystyle
\intop_{-\infty}^\infty g(t)\;{\rm d}t=1$  ,

so gilt

    $\displaystyle
\intop_{-\infty}^\infty c(x)\;{\rm d}x=
\intop_{-\infty}^\infty b(x)\;{\rm d}x$  .

Ich habe momentan leider ein Brett vorm Kopf. Dass die beiden Integrale gleich sind, kann ich noch nachvollziehen, was mir das aber für die Lösung der Aufgabe bringen soll, weiß ich nicht so genau :/
\(\endgroup\)


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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-06-23 21:16

\(\begingroup\)
2018-06-23 20:58 - Bfg97 in Beitrag No. 6 schreibt:
[...] was mir das aber für die Lösung der Aufgabe bringen soll, weiß ich nicht so genau

Es ist

    $\displaystyle
B_{m+1}(x)=\intop_{-\infty}^\infty g(x-t)\,B_m(t)\;{\rm d}t$

mit

    $\displaystyle g(t)=\begin{cases}
1&\hbox{falls}\;|t|\le{1\over2}\\
0&\hbox{sonst}\qquad\qquad.
\end{cases}$
\(\endgroup\)


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Bfg97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23 22:24

\(\begingroup\)
2018-06-23 21:16 - dromedar in Beitrag No. 7 schreibt:
2018-06-23 20:58 - Bfg97 in Beitrag No. 6 schreibt:
[...] was mir das aber für die Lösung der Aufgabe bringen soll, weiß ich nicht so genau

Es ist

    $\displaystyle
B_{m+1}(x)=\intop_{-\infty}^\infty g(x-t)\,B_m(t)\;{\rm d}t$

mit

    $\displaystyle g(t)=\begin{cases}
1&\hbox{falls}\;|t|\le{1\over2}\\
0&\hbox{sonst}\qquad\qquad.
\end{cases}$

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\(\endgroup\)


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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-06-23 22:40

\(\begingroup\)
2018-06-23 22:24 - Bfg97 in Beitrag No. 8 schreibt:
fed-Code einblenden

Das ist so, spielt aber keine Rolle. Es kommt nur auf $\int_{-\infty}^\infty g(t)\;{\rm d}t=1$ an.

2018-06-23 22:24 - Bfg97 in Beitrag No. 8 schreibt:
fed-Code einblenden

Könnte man, aber warum sollte man?

Du hast doch oben schon Folgendes geschrieben:

2018-06-23 20:58 - Bfg97 in Beitrag No. 6 schreibt:
Dass die beiden Integrale gleich sind, kann ich noch nachvollziehen [...]

Und damit folgt per vollständiger Induktiuon sofort

    $\displaystyle
\intop_{-\infty}^\infty B_m(x)\,{\rm d}x=
\intop_{-\infty}^\infty B_{m-1}(x)\,{\rm d}x=\cdots=
\intop_{-\infty}^\infty B_0(x)\,{\rm d}x=1$

und das war zu zeigen.
\(\endgroup\)


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Bfg97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23 23:05

\(\begingroup\)
2018-06-23 22:40 - dromedar in Beitrag No. 9 schreibt:
2018-06-23 22:24 - Bfg97 in Beitrag No. 8 schreibt:
fed-Code einblenden

Das ist so, spielt aber keine Rolle. Es kommt nur auf $\int_{-\infty}^\infty g(t)\;{\rm d}t=1$ an.

2018-06-23 22:24 - Bfg97 in Beitrag No. 8 schreibt:
fed-Code einblenden

Könnte man, aber warum sollte man?

Du hast doch oben schon Folgendes geschrieben:

2018-06-23 20:58 - Bfg97 in Beitrag No. 6 schreibt:
Dass die beiden Integrale gleich sind, kann ich noch nachvollziehen [...]

Und damit folgt per vollständiger Induktiuon sofort

    $\displaystyle
\intop_{-\infty}^\infty B_m(x)\,{\rm d}x=
\intop_{-\infty}^\infty B_{m-1}(x)\,{\rm d}x=\cdots=
\intop_{-\infty}^\infty B_0(x)\,{\rm d}x=1$

und das war zu zeigen.

Oh stimmt ja eek das hätte mir auch vorher einfallen können..vielen Dank für deine Hilfe @dromedar  biggrin
\(\endgroup\)


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