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Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » DGL aus vorgegebener Lösung, komplexe Lösung beim Euler-Ansatz
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Universität/Hochschule J DGL aus vorgegebener Lösung, komplexe Lösung beim Euler-Ansatz
Rebleys
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  Themenstart: 2018-06-26

Hallo Allerseits, wir haben in Mathe II gerade das Thema der DGL. Wir sind auch fast fertig und ich komme soweit gut damit klar, jedoch kam mir bei der Bearbeitung einer Aufgabe heute eine Frage, die ich bislang nicht selbst beantworten konnte. Um zu der eigentlichen Fragen zu kommen muss ich ein wenig ausholen. Folgende Aufgabenstellung: " Geben Sie eine lineare Differentialgleichung (homogen oder inhomogen) mit reellen konstanten Koeffizienten an, falls eine existiert, deren allgemeine Lösung die folgende Form hat: c) \(C_1*\cos(3t)+C_2*\cos(-7t)\) mit beliebigen reellen Konstanten \(C_1,C_2\) " Soweit so gut. Mein Ansatz wäre hierbei, weil das nach einer komplexen Lösung mit Hilfe des Euler Ansatz aussieht, die allgemeine Lösung wieder umzuschreiben. Nach Euler ist die allgemeine komplexe Lösung irgendeiner DGL, mit \(P(\lambda)=0, \lambda_1=a+ib,\lambda_2=a-ib\), wobei \(P(\lambda)\) das charakteristische Polynom ist, gegeben durch: \(x(t)=c_1e^{(a+ib)t}+c_2e^{(a-ib)t}\). Die reelle Lösung ist dann: \(x(t)=c_1e^{at}\cos(bt)+c_2e^{at}\sin(bt)\). Somit habe ich die vorgebenenen Gleichung folgendermaßen umgestellt: \(C_1*\cos(3t)+C_2*\cos(-7t)\) \(= C_1*e^{0t}*\cos(3t)+C_2*e^{0t}*\cos(-7t)\) \(=C_1*e^{(0+i3)t}+C_2*e^{(0+i(-7))}\) Somit wäre meine Erkenntnis, dass es hier keine DGL gibt mit einer allgemeinen Lösung der vorgegeben Form. Denn gibt es eine komplexe Lösung zu \(P(\lambda)=0\), so ist auch die komplex konjugierte eine Lösung und \(\cos(bt)\) tritt immer mit \(\sin(bt)\) zusammen auf. (Falls das nicht korrekt ist, bitte ich um Korrektur). Nun die eigentliche Frage. Wenn die allg. komplexe Lösung von \(x(t)=c_1e^{(a+ib)t}+c_2e^{(a-ib)t}\) in die allg. reelle Lösung \(x(t)=c_1e^{at}\cos(bt)+c_2e^{at}\sin(bt)\) umgeschrieben werden kann, wie wirkt sich dann das Vorzeichen der Variablen "b" auf diese Formen aus? Im Endeffekt hat man ja einmal "-b" und einmal "+b". Ist also ein \(\cos(-7t)\) wie in der Aufgabenstellung gegeben gar nicht möglich? Ein negatives "b" hätte doch den Sinus zur Folge, oder irre ich mich da? Vielleicht denke ich auch viel zu kompliziert. Ich hoffe ihr versteht meine Frage und könnt den Aha-Moment herbeibringen :-D Mit freundlichen Grüßen und einem netten Dank im Voraus Reby


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haerter
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  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-27

Hallo, das Argument "und cos(bt) tritt immer mit sin(bt) zusammen auf" ist genau das richtige. Man könnte evtl. noch etwas klarer machen, dass $\lambda_1$ und $\lambda_2$ nicht die einzigen Lösungen von $P(\lambda)=0$ sein müssen. Nun zu Deiner eigentlichen Frage: Ich denke, die "-7" ist eine Nebelkerze, denn $C_1 \cos(-7t)+C_2\sin(-7t) = C_1\cos(7t) +(-C_2)\sin(7t)$, es würde sich also nur das Vorzeichen der (beliebigen) Konstante $C_2$ ändern, ob $\cos(-7t)$ oder $\cos(7t)$ macht für die allgemeine Lösung also keinen Unterschied. Viele Grüße, haerter


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Rebleys
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-27

Also ist meine Lösung zwar korrekt, jedoch könnte man es noch ein wenig genauer formulieren. Na aber immerhin :) Witzigerweise habe ich den begriff "Nebelkerze" noch nie gehört, aber im Kontext war es dann doch verständlich :D vielen Dank. Ich denke ich habe verstanden.


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Wally
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  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-27

Hallo, deine Methode ist völlig OK. Es geht auch so (was ich nicht empfehlen würde): Wegen der Gestalt der Lösung muss es eine homogene Dgl. zweiter Ordnung sein. Man kann in $\ddot x+a(t) \dot x(t)+b(t)x(t)=0$ die beiden Funktionen $x(t)=\cos (3t)$ und $x(t)=\cos (-7t)$ einsetzen und erhält dann ein Gleichungssystem für die beiden Unbekannten $a(t)$ und $b(t)$. Dann sieht man, dass es keine Konstanten sind. Wally


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Rebleys
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-27

\quoteon(2018-06-27 15:57 - Wally in Beitrag No. 3) Wegen der Gestalt der Lösung muss es eine homogene Dgl. zweiter Ordnung sein. \quoteoff Ich versuche das gerade nachzuvollziehen, verstehe aber ehrlichgesagt nicht, woran man erkennt, dass es eine homogene DGL zweiter Ordnung sein muss :-?


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haerter
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  Beitrag No.5, eingetragen 2018-06-27

Hallo Rebleys, man könnte relativ abstrakt sagen, dass die vorgegebene allgemeine Lösung einen zweidimensionalen Unterraum von $C^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$ darstellt und dann benutzen, dass die Lösungsmenge einer homogenen DGL n-ter Ordnung ein n-dimensionaler Untervektorraum ist. (Bei einer inhomogenen DGL n-ter Ordnung wäre es ein n-dimensionaler affiner Unterraum.) Viele Grüße, haerter


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