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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Funktionsfolge mit Betrag und Bruch auf Stetigkeit überprüfen. Wie?
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Universität/Hochschule J Funktionsfolge mit Betrag und Bruch auf Stetigkeit überprüfen. Wie?
Moritz21
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  Themenstart: 2018-07-09

Einen wunderschönen Nachmittag, liebe Community :-) Ich schreibe morgen eine Klausur in Analysis I und bearbeite momentan alle Blätter durch, wobei ich beim letzten Blatt bei einer Aufgabe überhaupt nicht weiter komme. (Wir hatten keine Zeit, das Blatt im Tutorium zu besprechen, aber trotzdem kommen einige Themen von diesem Blatt morgen dran) Die Aufgabe lautet folgendermaßen: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50252_te.PNG Mein Ansatz zu a) _____________________ Das epsilon-delta-Kriterium lautet ja: \(\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in D: \vert x - a \vert < \delta_{\epsilon} \Rightarrow \vert f(x) - f(a) \vert < \epsilon\) Wir wissen also: \(\vert x - a \vert < \delta_{\epsilon}\) Es gilt: \(\vert f_n(x) - f_n(a) \vert = \vert \frac{nx}{1 + \vert nx \vert} - \frac{na}{1 + \vert na \vert} \vert = \vert \frac{nx(1 + \vert na\vert) - na(1+ \vert nx \vert)}{(1 + \vert nx \vert)(1 + \vert na \vert)} \vert\) Aber ab da weiß ich nicht mehr weiter. Denn ich kann den Term nicht so vereinfachen, dass ich am Ende durch \(\vert x - a \vert < \delta_{\epsilon}\) abschätzen kann... Kann mir jemand dabei helfen? Ich verzweifle langsam daran :-? ZU b) habe ich leider nicht wirklich eine Idee. Was meint man überhaupt mit "punktweise"? Und wie kann man so eine Funktion finden? Bin da auch schon überfordert... Bei der c) würde mir, denke ich, erst mal einen Ansatz reichen, weil man danach mit dem epsilon-delta-Kriterium weiterarbeiten kann. Wenn mir jemand helfen könnte, wäre das echt super! Ich bedanke mich schon mal im Voraus!


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Wirkungsquantum
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  Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-09

Hallo, zu a) bei Brüchen bietet es sich oft an so zu abschätzen, das der Nenner entweder kleiner wird oder sogar weg ist. Wenn du das machst sollte die Delta Abschätzung gelingen. zu b) Schlage am besten nochmal in euren Skript oder Buch punktweise Konvergenz von Funktionsfolgen nach. zu c) Hier gilt wohl das selbe wie in b). Du meinst aber vermutlich gleichmäßige Stetigkeit oder? Gesucht ist aber gleichmäßige Konvergenz. Grüße, h


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loop_
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  Beitrag No.2, eingetragen 2018-07-09

Wie wäre es, wenn du den Zäher ausmultiplizierst und vereinfachst. Dann kannst du den Zähler abschätzen. Danach würde ich den Nenner ausmultiplizieren und abschätzen. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Moritz21
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-09

Hey, danke für eure Antworten! Ich habe versucht, eine geeignete Abschätzung zu finden und bekam das hier: \(\vert \frac{nx*(1+\vert a \vert) - na *(1 + \vert nx \vert)}{(1 + \vert nx \vert)(1 + \vert na \vert)} \vert = \vert \frac{nx*(1+\vert a \vert) - na *(1 + \vert nx \vert)}{1 + \vert na \vert + \vert nx \vert + \vert nx \vert * \vert na \vert } \vert = \vert \frac{nx*(1+\vert a \vert) - na *(1 + \vert nx \vert)}{ \vert nx \vert * \vert na \vert } \vert = ... = \vert \frac{\vert nx \vert - \vert na \vert}{ \vert nx \vert * \vert na \vert } \vert\) Nun kann ich \(\delta\) gut abschätzen, aber ich weiß nicht, ob der Nenner kleiner als 1 sein kann. Ich denke schon, denn ist eine reelle Zahl. Somit geht hier die Rechnung nicht unbedingt auf... Wie findet man eine bessere Abschätzung? lg Moritz


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Wirkungsquantum
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  Beitrag No.4, eingetragen 2018-07-09

Was ist denn bei Schritt 2 zu Schritt 3 passiert? Grüße, h


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Moritz21
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-09

Ich habe die ersten 3 Summanden im Nenner weggelassen. Darf man doch, oder?


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Wauzi
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  Beitrag No.6, eingetragen 2018-07-09

Hallo, der Nenner ist a) bei "=" falsch b) bei "<=" ungeschickt abgeschätzt bzw falsch Gruß Wauzi


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Moritz21
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-09

Danke für den Hinweis. Wie kann man denn da geschickt abschätzen? Ich rechne da seit ca. 2 Stunden rum und bekomme kein vernünftiges Ergebnis...


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loop_
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  Beitrag No.8, eingetragen 2018-07-09

Der Nenner ist doch entweder 1 oder größer als 1. Was bietet sich denn für eine Abschätzung an?


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Moritz21
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-09

Wie meinst? Gleich beim ersten Term oder nachdem ich das so umgeformt habe?


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Wauzi
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  Beitrag No.10, eingetragen 2018-07-09

Kürze zuerst mit n. Dann geht es leicht


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Moritz21
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-29

hatte noch nicht die Gelegenheit mich zu bedanken. Mit deinem Tipp habe ich es doch noch geschafft :) Vielen Dank. liebe Grüße Moritz


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Moritz21 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Moritz21 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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