Die Mathe-Redaktion - 24.09.2018 04:36 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 259 Gäste und 3 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Gockel Dune
Mathematik » Topologie » Dualräume von topologischen Vektorräumen
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Dualräume von topologischen Vektorräumen
Aegon
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.11.2017
Mitteilungen: 134
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-07-09


Hallo,

ich habe mich jetzt etwas mit topologischen Vektorräumen beschäftigt und häufig gelesen, dass sie wichtig in der Funktionalanalysis, zum Beispiel bei Dualräumen oder in der Distributionentheorie.

Dazu wollte ich etwas genauer wissen wieso man topologische Vektorräume braucht, es werden ja häufig einfach normierte Räume als topologische Vektorräume aufgefasst, wieso bringt das Vorteile? Oder gibt es auch wichtige Anwendungen von topologischen Vektorräumen, die keine normierten Räume sind?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
darkhelmet
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2442
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-09


2018-07-09 18:33 - Aegon im Themenstart schreibt:
Oder gibt es auch wichtige Anwendungen von topologischen Vektorräumen, die keine normierten Räume sind?

Hier ist eine Liste von Frechet-Räumen (spezielle topologische Vektorräume), die keine nomierten Räume sind: en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_space#Examples

Außerdem ist die Theorie fürs Verständnis wichtig, weil man zwar oft nur normierte Räume behandelt, aber sich trotzdem "in der Kategorie der topologischen Vektorräume bewegt": Ein Isomorphismus von normierten Räumen wäre eigentlich ein normerhaltender Vektorraumisomorphismus, aber in der Funktionalanalysis (zumindest in den Quellen, die ich kenne) gilt als Isomorphismus bereits ein Vektorraumisomorphismus, der gleichzeitig ein Homöomorphismus ist, also ein Isomorphismus von topologischen Vektorräumen.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Aegon
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.11.2017
Mitteilungen: 134
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-10


Hallo,

aber wo genau werden denn Frechet Räume verwendet?
Und ich verstehe dann trotzdem nicht, wieso man es als topologische Vektorräume auffassen muss? Also nur weil es dann auch ein Homöomorphismus ist? Das ist ja nur eine Definition..



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
darkhelmet
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2442
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-07-10


2018-07-10 15:05 - Aegon in Beitrag No. 2 schreibt:
aber wo genau werden denn Frechet Räume verwendet?

Die Frage verstehe ich nicht. Über den Link bekommst du eine Liste von topologischen Vektorräumen, deren Topologie nicht durch eine Norm erzeugt werden kann. Die Frage, für was man diese Räume braucht, ist von Raum zu Raum verschieden zu beantworten.

2018-07-10 15:05 - Aegon in Beitrag No. 2 schreibt:
Also nur weil es dann auch ein Homöomorphismus ist?

Das ist aber eine arg verkürzte Wiedergabe von dem, was ich geschrieben habe.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Aegon
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.11.2017
Mitteilungen: 134
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-11


Hallo,

also zum ersten Punkt, was ich meine ist, in welchen Theorien werden denn Frechet-Räume verwendet? Ich habe was von Distributionen gelesen, allerdings kenne ich mich bei diesem Thema überhaupt nicht aus und kann mir da nichts vorstellen.

zum zweiten, nein schon klar, aber wenn ich es richtig verstanden habe geht es einfach darum, dass ein Isomorphismus auf topologischen Vektorräumen anders definiert ist als auf normierten Räumen. Das ist aber nur eine Definitionssache. Ich sehe noch nicht so richtig den Vorteil darin einen normierten Raum als topologischen Vektorraum aufzufassen ...



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Aegon
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.11.2017
Mitteilungen: 134
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-11


Tut mir Leid wenn die Fragen dumm sind, ich habe mich allerdings bisher nur mit den Grundlagen von topologischen Vektorräumen beschäftigt, nicht wirklich mit den Anwendungen etc.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
darkhelmet
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2442
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-07-11


Distributionen (bzw. Testfunktionenräume) sind wahrscheinlich schon die wichtigsten Beispiele. Es ist ein schwieriges Thema. Ich kann es sicher nicht besser erklären als die vielen verfügbaren Texte zu dem Thema. Um wirklich zu verstehen, warum genau eine bestimmte Topologie auf den Räumen interessant ist, muss man außerdem schon ein wenig tiefer einsteigen.

2018-07-11 20:36 - Aegon in Beitrag No. 4 schreibt:
aber wenn ich es richtig verstanden habe geht es einfach darum, dass ein Isomorphismus auf topologischen Vektorräumen anders definiert ist als auf normierten Räumen.

Ja, aber mein eigentlicher Punkt ist: wenn man in der Funktionalanalysis normierte Räume betrachtet, verwendet man den Isomorphiebegriff von topologischen Vektorräumen und nicht den von normierten Räumen. Man fasst also implizit sowieso normierte Räume als topologische Vektorräume auf. Begriffe wie Konvergenz und Stetigkeit sind topologische Begriffe, die nicht an der Norm hängen.

Die Frage, warum das so ist, ist wieder nicht so leicht zu beantworten. Aber eigentlich finde ich, dass der Begriff des topologischen Vektorraums mindestens so naheliegend ist wie der Begriff des normierten Raums.

2018-07-11 20:36 - Aegon in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich sehe noch nicht so richtig den Vorteil darin einen normierten Raum als topologischen Vektorraum aufzufassen ...

Wahrscheinlich verstehst du unter "auffassen" etwas anderes als ich. Natürlich bringt es auf einen konkreten Raum bezogen keinen Vorteil, Informationen über ihn zu ignorieren. Aber es bringt einen Vorteil, Sätze, die für topologische Vektorräume gelten, nicht nur für normierte Räume zu formulieren.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Aegon
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.11.2017
Mitteilungen: 134
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-11


Ok, vielen Dank schonmal dafür.

Sehe ich es dann richtig, dass es konkret für normierte Räume keine neuen Aussagen hervorbringt, wenn man sie als topologische Vektorräume auffasst, aber es ist halt praktisch, Aussagen für allgemeine topologische Vektorräume zu definieren, also nicht nur für normierte Räume?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
darkhelmet
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2442
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-07-11


Ja, aber die Frage ist komisch. Das schreibe ich nicht, weil ich dir gern noch eins reinwürgen will, sondern weil du vielleicht das Verhältnis zwischen den beiden Begriffen falsch verstehst. Hast du denn Beispiel in der Mathematik, in dem deiner Meinung nach eine ähnliche Situation vorliegt, und in dem man durch "Auffassen" "neue Aussagen hervorbringt"?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8224
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-07-11


Also, Aegon,

versuche doch mal  eine "vernünftige" Bedingung zu formulieren, wann eine Folge stetiger, auf dem offenen Intervall <math>(0,1)</math> definierter Funktionen gegen Null (die Nullfunktion also) geht.

Jede Wette, dass du ganz von alleine in den topologischen Vektorräumen landest.

Wally



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Aegon
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.11.2017
Mitteilungen: 134
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-12


Hallo,

@darkhelmet

ich würde sagen dass zwischen metrischen und topologischen Räumen ein ähnliches Verhältnis besteht, topologische Räume sind auch eine Verallgemeinerung metrischer Räume



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MeWi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.03.2011
Mitteilungen: 563
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-07-12


Einer der wichtigsten Gründe, warum topologische Vektorräume mehr als eine mathematische Kuriosität sind, ist Kompaktheit. In allen möglichen Anwendungen sind die auftretenden Vektorräume Funktionenräume, die bis auf langweilige Ausnahmen unendlich-dimensional sind. Nun weißt du wahrscheinlich schon, dass die Einheitskugel in diesem Fall nie kompakt ist (Lemma von Riesz). Das heißt, selbst wenn man eine gewisse Freiheit bei der Wahl des Funktionenraums und der zugehörigen Norm hat, wie es in Anwendungen oft der Fall ist, ist Kompaktheit nicht zu bekommen.

Viel besser sieht die Situation aus, wenn du dich von der Einschränkung "normierter Raum" löst und stattdessen allgemeinere topologische Vektorräume zulässt. Dann gibt es den Satz von Banach-Alaoglu, der besagt, dass die Einheitskugel im Dualraum eines Banachraums stets schwach*-kompakt (also kompakt in einem topologischen Vektorraum) ist! Man kann die Bedeutung dieses Satzes wohl kaum überschätzen.

Ich kann bei Interesse auch konkreter werden, aber hier ist die grobe Strategie für viele Anwendungen: Ich habe ein Problem (eine partielle Differentialgleichung, ein Optimierungsproblem etc.), das ich nicht lösen kann. Ich finde aber approximative Probleme (Diskretisierungen, fast-Optimierer etc.), für die es Lösungen gibt. Durch geeignete a-priori-Abschätzungen sehe ich, dass die Lösungen der approximierenden Probleme beschränkt in einem geeigneten (hoffentlich reflexiven) Funktionenraum sind. Nun kann ich schwach*-Kompaktheit nutzen, um zu zeigen, dass die Lösungen der approximativen Probleme (zumindest entlang einer Teilfolge) konvergieren. Mit etwas Arbeit kann man dann oft zeigen, dass der Grenzwert tatsächlich eine Lösung meines ursprünglichen Problems ist.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Aegon
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.11.2017
Mitteilungen: 134
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-12

\(\begingroup\)
Hallo, vielen Dank schonmal für die Antwort, allerdings bin ich jetzt extrem verwirrt, denn ich kenne einen Satz, der besagt, dass wenn es eine präkompakte (also insbesondere wenn es eine kompakte Umgebung) der $0$ in einem Hausdorffschen topologischen Vektorraum gibt, dass dieser dann endlich-dimensional ist..


Kann man daraus folgern, dass die Einheitskugel in der schwachen Topologie keine Umgebung der $0$ enthält?
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
darkhelmet
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2442
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-07-12


2018-07-12 09:26 - Aegon in Beitrag No. 10 schreibt:
Hallo,

@darkhelmet

ich würde sagen dass zwischen metrischen und topologischen Räumen ein ähnliches Verhältnis besteht, topologische Räume sind auch eine Verallgemeinerung metrischer Räume

Ja, stimmt genau. Und bekommt man deiner Meinung nach neue Aussagen, indem man "einen metrischen Raum als topologischen Raum auffasst"?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MeWi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.03.2011
Mitteilungen: 563
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-07-12

\(\begingroup\)
@Aegon: Erst einmal geht es um die schwach*-Topologie. Die stimmt mit der schwachen Topologie nur überein, wenn der Raum reflexiv ist.

Zu deiner eigentlichen Frage: Genau so ist es. Ich will hier den Beweis des Lemmas nicht wiederholen, sondern lieber etwas Intuition geben. Betrachte einen unendlich-dimensionalen Hilbertraum $H$. Dieser Fall ist besonders einfach, weil ein Hilbertraum sein eigener Dualraum ist. Nach der Parseval'schen Ungleichung ist jede orthonormale Folge $(e_n)$ eine schwache (=schwach* in diesem Fall) Nullfolge. Das Gleiche gilt dann natürlich auch für die Folge $(100 e_n)$. Wäre die Einheitskugel eine schwache Nullumgebung, dann müsste $100e_n$ für hinreichend großes $n$ darin liegen. Das ist aber offenstlich nicht der Fall.

Anschaulich kann man es sich so vorstellen, dass Norm-Nullfolgen solche sind, bei denen die Masse gegen Null geht, wohingegen schwache Nullfolgen solche sind, bei denen die restliche Masse nach unendlich transportiert wird. Im letzteren Fall kann ich natürlich gar nicht erwarten, dass die Masse gegen Null geht.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Aegon
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.11.2017
Mitteilungen: 134
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-13


@darkhelmet

Ich würde sagen nicht, nur dass man es halt verallgemeinern kann..



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Aegon
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.11.2017
Mitteilungen: 134
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-13


@MeWi

Ok, vielen Dank!



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
darkhelmet
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2442
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-07-13


2018-07-13 12:37 - Aegon in Beitrag No. 15 schreibt:
@darkhelmet

Ich würde sagen nicht, nur dass man es halt verallgemeinern kann..

Ok, genau so ist es bei topologische Vektorräume vs normierte Räume auch.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Aegon hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2018 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]