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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Galois Kohomologie, Inflationsabbildung
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Autor
Universität/Hochschule Galois Kohomologie, Inflationsabbildung
Mandelbrot99
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Aus: Heidelberg, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-07-12

\(\begingroup\)
Hallo zusammen,
ich halte ein Seminar über die Brauer Gruppe und den Isomorphismus
$$H^2(K) = \underset{\longrightarrow_L}{\lim}H^2(G_{L|K},L^*) \cong  \underset{\longrightarrow_L}{\lim} Br(L|K) = Br(K)$$
wobei $G_{L|K}$ die Galoisgruppe einer endlichen Galoiserweiterung $L|K$ bezeichne. Allerdings haben wir keine Gruppenkohomologie behandelt und die Inflationsabbildung, die das induktive System für den induktiven Limes der Kohomologie liefert, fällt einfach so vom Himmel:
$$inf_{F\subset L} : H^2(G_{L|K}/G_{L|F}, F^*) \to H^2(G_{L|K},L^*), \quad [\bar f] \mapsto [f]$$
mit
$$ f: G_{L|K} \times G_{L|K} \to G_{L|K}/G_{L|F} \times G_{L|K}/G_{L|F} \overset{\bar f}{\longrightarrow}F^*\hookrightarrow L^*$$
Lediglich die Injektivität wird überprüft und der Leiter des Seminars meinte, es sei nicht unbedingt erforderlich, alle Details zu kennen. Allerdings würde ich schon gerne verstehen, warum das alles so funktioniert und woher die Inflation kommt, insbesondere, warum es tatsächlich ein induktives System liefert.
Also meine Frage: Kennt jemand Literatur dazu oder hat selber eine Erklärung zu dem Thema?

Danke im Voraus,
Mandelbrot99
\(\endgroup\)


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KidinK
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-13


Ich empfehle Neukirch, Cohomology of Number Fields, Kapitel 1.

Viele Grüße
KidinK



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-07-13


Die Injektivität folgt aus Hilbert 90 und der Hochschild-Serre-Spektralfolge.



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Mandelbrot99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-13

\(\begingroup\)
Danke für die Hinweise.
kurtg, könntest du das vielleicht noch etwas ausführen, da mir die Spektralsequenz nicht geläufig ist?
KidinK, danke. Ich habe nur noch eine Frage zur Funktorialität der Inflation, die ja die Transitivität liefert: Folgt die einfach aus der Tatsache, dass Anwendung des Komplexes auf die Abbildungen
$$G^{n+1} \to (G/V)^{n+1} \to (G/U)^{n+1}$$
wobei $V\subseteq U\subseteq G$ normale Untergruppen sind, Komplexhomomorphismen
$$C^\bullet(G/U,A^U) \to C^\bullet(G/V, A^V) \to C^\bullet(G,A)$$
liefert? Inwiefern werden die Komplexhomomorphismen induziert?
Viele Grüße

Mandelbrot99
\(\endgroup\)


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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-07-13


In Cohomology of Number Fields wird die 5-Term-Folge der HSSF auch elementar bewiesen.



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-07-13


Siehe (1.6.7) auf Seite 67 von NSW2.2.pdf.



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Mandelbrot99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-13


Alles klar, danke!



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-07-13


Außerdem brauchst du nur die ersten 2 Terme der 5-term exact sequence, das ist noch einfacher.



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Mandelbrot99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-13

\(\begingroup\)
Stimmt, nur nochmal zu dem Komplexhomomorphismus: klar die Kommutativität mit den $\partial^n$'s muss man eben nachrechnen, aber wie kommt man auf den Komplexhomomorphismus?
Auf Seite 20 unten steht:

Let $U,V$ run through the open normal subgroups of $G$. If $V \subseteq U$, then the projections
$$G^{n+1} \to (G/V)^{n+1} \to (G/U)^{n+1}$$
induce homomorphisms
$$C^n(G/U,A^U) \to C^n(G/V, A^V)\to C^n(G,A)$$
Mir ist nicht klar, wodurch diese induziert werden. Den Rest habe ich soweit verstanden.
\(\endgroup\)


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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-07-13


Schreib dir doch mal die Definition der Kokettengruppen hin.



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Mandelbrot99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-13

\(\begingroup\)
Es ist
$$C^n(G/U, A^U) = \text{Map}((G/U)^{n+1},A^U)^{G/U}$$
Also $A^U$ ist Teilmenge von $A^V$, das heißt, man kann die Abbildungen schon einbetten und, dass für Elemente $x:(G/U)^{n+1} \to A^U$ für die gilt $$x(\sigma \sigma_0,  \ldots, \sigma \sigma_n) = \sigma x(\sigma_0, \ldots, \sigma_n)$$ für alle $\sigma \in G/U$ erfüllen dies auch für alle $\sigma$ aus $G/V$ erfüllt ist, liegt daran, dass $G/V$ ja in $G/U$ eingebettet werden kann?
\(\endgroup\)


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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-07-13

\(\begingroup\)
Kennst du $\mathrm{Map}(-,-)$ als Bi-Funktor? en.wikipedia.org/wiki/Hom_functor
\(\endgroup\)


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Mandelbrot99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-13


Er wurde mal in einem Beispiel für einen Bifunktor erwähnt. Allerdings ohne weiter darauf einzugehen.



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-07-13


Schau dir auf en.wikipedia.org/wiki/Hom_functor mal die Tabelle auf: Kontravariant im ersten, kovariant im zweiten Argument.



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Mandelbrot99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-13

\(\begingroup\)
Ah klar, dann folgt das einfach durch Anwendung des Funktors. Danke! Nur welche Rolle spielt das "$|^{G/U}$" bei dem Ganzen? Kommt das durch Anwendung des Fixmodul-Funktors zustande?
Muss auch sagen, dass ich die Bar-Auflösung aus einem anderen Artikel nur ohne das "$|^{G/U}$" kenne.
\(\endgroup\)


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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-07-13

\(\begingroup\)
Ja, in NSW2.2.pdf ist $C^n(G,A) = X^n(G,A)^G$.
\(\endgroup\)


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Mandelbrot99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-13


Ok, danke nochmal!



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