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Mathematik » Stochastik und Statistik » Standardabweichung der Grundgesamtheit oder der Stichprobe
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Autor
Kein bestimmter Bereich J Standardabweichung der Grundgesamtheit oder der Stichprobe
zwiebelfisch
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.07.2018
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-07-15


Hallo!

Ich bin mir unsicher, ob ich im folgenden Fall die Standardabweichung der Grundgesamtheit oder die der Stichprobe nehmen muss:

Angenommen man hat einen elektrischen Widerstand mit einem Nennwert von 100 ohm. Jetzt misst man diesen 20x mit einem Ohm-Meter. Aus den Werten kann man dann den Mittelwert sowie die Standardabweichung berechnen. Ist das jetzt eine Stichprobe, weil ich die Messung nicht unendlich oft wiederhole oder die Grundgesamtheit, weil es sich nur um einen Widerstand handelt und dieser auch ausgemessen wurde?

Meine Recherche im Netzt hat mich nur noch mehr verwirrt... Statistik ist schon ein seltsames Gebiet xD

Danke!



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Buri
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Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45599
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-15


HI zwiebelfisch,
es handelt sich um eine Stichprobe.
Gruß Buri



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AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
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Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-07-15

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Huhu Zwiebelfisch und herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!

Die Erklärungen mit Grundgesamtheit vs. Stichprobe, die man gelegentlich findet, um zwischen den der empirischen Varianz $\tilde{s}^2=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (x_j-\bar{x})^2$ und der (korrigierten) Stichprobenvarianz $s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^n (x_j-\bar{x})^2$ zu unterscheiden halte ich für eher wenig zielführend.

$\tilde{s}^2$ ist ein empirisches Maß zur Beschreibung einer Stichprobe in der deskriptiven Statistik und spielt in der Schätztheorie (von wenigen recht künstlichen Konstellationen) eigentlich keine Rolle, denn der so berechneter Schätzer ist nicht erwartungstreu.

Als Faustregel kannst Du also davon ausgehen, dass $s^2$ das Mittel der Wahl ist. Und so auch hier:

Du hast zwar eine Angabe über den Widerstand (100 Ohm), benutzt diesen Wert jedoch gar nicht für die Ermittlung (=Schätzung) des Widerstands und der Unsicherheit (Streuung). Stattdessen schätzt Du den Widerstand (als Mittelwert $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n x_j$).
Und somit greift die zweite Faustregel: Immer dann, wenn Du den Mittelwert schätzt, ist die korrigierte Stichprobenvarianz $s^2$ als Schätzer für die Varianz der zugrundeliegenden Verteilung zu wählen.

lg, AK.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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zwiebelfisch
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.07.2018
Mitteilungen: 12
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-15


Danke für die Aufklärung.

Ich hätte noch eine Anschlussfrage:
In welchem Zusammenhang würde denn der Standardfehler in meinem obigen Beispiel auftauchen? Also wie lautet die Fragestellung, deren Antwort die Berechnung des Standardfehler notwendig macht?
Danke!



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-07-16

\(\begingroup\)
Huhu Zwiebelfisch,

eine derartige Aufgabestellung wäre etwa:
  • "Quantifizieren Sie die Güte/Genauigkeit der Schätzung des Widerstands!" (ziemlich unpräsize und interpretationsanfällig) oder
  • "Geben Sie ein Konfidenzintervall (zum Niveau $\alpha'$) für den wahre Widerstandswert an."

In zweitem Falle würde man den Standardfehler $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \approx \frac{s}{\sqrt{n}}$ der Mittelwertsschätzung berechnen und das Konfidenzintervall ergäbe sich aus der Forderung $\mathbb{P}[\mu \in \bar{x} \pm \delta ] \geq 1-\alpha'$ (mit dem wahren Widerstand $\mu$) zu $\delta = t_{1-\alpha'/2;n} \cdot \sigma_\bar{x}$, wobei $t_{1-\alpha'/2;n}$ das $1-\alpha'/2$-Quantil der t-Verteilung mit $n$ Freiheitsgraden bezeichnet.

lg, AK.
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zwiebelfisch
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-16


Hallo AnnaKath,

danke für die Antwort aber könntest du das evtl. an einem Beispiel etwas anschaulicher formulieren. Ich muss leider sagen, dass meine Statistik-Kenntnisse doch eher begrenzt sind ^^



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AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-07-16

\(\begingroup\)
Huhu Zwiebelfisch,

das mache ich doch gerne*!

Hier sind einmal $20$ Beobachtungen (aus einer $\mathcal{N}(100;10)$-Verteilung per SAS unter Verwendung von RAND gesampelt):
SAS output
90.52     108.419   99.54     101.051   77.128
93.702    96.249    85.873    111.818   116.851
112.618   120.764   127.287   105.148   109.62
103.683   92.317    96.243    119.171   103.808

Schätzen wir den Mittelwert durch das arithmetische Mittel $\bar{x}=103.95$ und die Standardabweichung durch die empirische Stichprobenvariant $s^2=159.32$ (und somit $s=12.62$). Der Standardfehler wird dann durch $\overline{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{s}{\sqrt{n}} = 2.82$ geschätzt.

Wählen wir als Fehlerniveau $\alpha'=0.05$ und ermitteln aus einer Tabelle (oder per Wolfram Alpha) das entsprechende Quantil $t_{0.975;20}=2.086$ der t-Verteilung, so ergibt sich die Aussage $\mathbb{P}(\mu\in [103.95\pm 2.086\cdot 2.82]) \geq 0.95$ bzw. $\mathbb{P}(\mu\in [97.70,109.48]) \geq 0.95$. Der wahre Wert des Widerstandes (den ich ja in meinem Beispiel auf die Herstellerangabe von $\mu=100$ Ohm gesetzt habe), liegt erwartungsgemäß in diesem Intervall.

lg, AK.

*)die Zahlenangaben, die ich hier mache, sind meist zwar mit 2 (oder 3) Nachkommastellen angegeben, gerechnet habe ich aber mit 10 signifikanten Nachkommastellen, es mag also kleine Rundungsabweichungen geben, wenn Du die Berechnungen nachvollziehst.
\(\endgroup\)


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zwiebelfisch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-16

\(\begingroup\)
ahh, danke das Bild wird langsam klarer :)

D.h. also, wenn man ein Konfidenzintervall angibt, dann benötigt man den Standardfehler und wenn man nur die Streuung hat, dann die empirische Standardabweichung? Warum werden dann aber so oft bei Messungen nur die Standardabweichungen als "Fehler" angegeben, müsste man das nicht generell mit einem Konfidenzintervall machen?


Was mich gerade auch ein wenig verwirrt: Ich habe hier ein Buch: "Messunsicherheit nach GUM" von B. Pesch. Dort werden folgende Definitionen gegeben:

Standardabweichung: \[\sigma =  \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}\]
Varianz: \[\sigma^2 = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]
Das kann doch aber nicht stimmen, da seine Definition der Varianz doch der Standardfehler ist, oder?


Liegt das eigentlich nur an mir oder ist Statistik ein schwer zugängliches Gebiet mit vielen Missverständnissen?
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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-07-16


Huhu Zwiebelfisch,

Statistik ist ein sehr anwendungsbezogenes Gebiet, dass von vielen (nichtmathematischen) Praktikern (Ingenieuren, Medizinern,  Sozialwissenschaftlern usf.) genutzt und auch weiterentwickelt wird. Viele der mit Statistik beschäftigten Menschen brauchen (und wollen) sich nicht mit der zu Grunde liegenden mathematischen Theorie beschäftigen; insofern verwundert es vielleicht nicht, dass Bezeichnungen, Notation und das Verständnis/die Definition des unter gleichen Namen Bezeichneten sehr heterogen ist.

Die übliche Verwirrung rührt daher, dass meist nicht (aus mathematischer Sicht) "sauber" zwischen Zufallsvariablen, deren Realisationen (Stichproben), Schätzern und Eigenschaften der Grundgesamtheit unterschieden wird; auch die rein mathematische Sicht ist nicht ganz fehlerfrei, da gleiche Begriffe der deskriptiven und induktiven Statistik nicht unbedingt exakt das gleiche meinen.

Wenn Du Dich an einem Buch orientierst, benutze die dortigen Bezeichnungen und Notationen und ignoriere geflissentlich, was andere Menschen über Statistik sagen.

Um konkret zu bleiben: Natürlich sind die Bezeichnungen aus dem von Dir genutzen Buch nicht völlig absurd: seine "Standardabweichung" ist die "(korrigierte oder empirische) Stichprobenstandardabweichung" in unserer bisherigen Terminologie und ist tatsächlich ein "(erwartungstreuer Schätzer für die) Standardabweichung (der zugrunde liegenden Verteilung)". Und auch seine "Varianz", also der "Standardfehler" in unserer bisherigen Terminologie, ist tatsächlich ein "(erwartungstreuer Schätzer für die) Varianz (des Mittelwertschätzers)".

lg, AK.



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zwiebelfisch
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Danke für deine Antworten, die haben mir sehr weitergeholfen :)



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