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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » ϕ(A)=(A^T)-A , Bild, Kern, Dimension
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Universität/Hochschule ϕ(A)=(A^T)-A , Bild, Kern, Dimension
Aconex
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.07.2018
Mitteilungen: 13
Aus: Gladbeck
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-07-15


Hallo,

Ich hab diese Aufgabe in einer der vorherigen Klausuren gefunden:
Sei ϕ:Mnn->Mnn with ϕ(A)=A^T - A

a) Zeige ϕ ist linear.

b) Charakterisiere Bild(ϕ) and Kern(ϕ).

c) Gebe die dim von Image(ϕ) und Kern(ϕ) an.

Mein Lösungsversuch:

a)

ϕ(A)+ϕ(B)=(A^T -A)+(B^T -B)=A^T -A+BT -B=A^T -B^T -A-B=(A^T +B^T )-(A+B)=(A+B)^T -(A+B)=ϕ(A+B)

a*ϕ(A)=a(A^T -A)=aA^T -aA=(aA^T )-(aA)=(aA)^T -(aA)=ϕ(aA)

=> ϕ ist linear

b)

Für das Bild(ϕ) würde ich sagen, dass A^T - A schief-symmetrisch sein muss und Jedes aij = aji und jedes aii = 0.
Aber das reicht nicht, oder?

Für Kern(ϕ) hätte ich: A^T - A=0 => A^T =A

Also muss Kern(ϕ) nur symmetrische Matrizen enthalten, bei denen gilt:
Jedes aij = aji und jedes aii frei wählbar.
Würde das reichen?

Für c) Habe ich jetzt noch nicht wirklich was, weil ich mir bei b) noch nicht sicher war und dies ja Vorraussetzung für c) ist.

Danke im Vorraus! :)



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dromedar
Senior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5123
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-15

\(\begingroup\)
Hallo Aconex,

willkommen im Forum.

2018-07-15 20:51 - Aconex im Themenstart schreibt:
[...] weil ich mir bei b) noch nicht sicher war und dies ja Vorraussetzung für c) ist.

Bei (b) hast Du gezeigt, dass jede Matrix aus dem Bild schiefsymmetrisch und jede Matrix aus dem Kern symmetrisch ist.

Jetzt fehlt noch die umgekehrte Richtung: Jede schiefsymmetrische Matrix liegt im Bild und jede symmetrische im Kern.

Um ersteres zu zeigen, kannst Du z.B. ausnutzen, dass $\phi$ bis auf einen Faktor ein Projektor ist. Und für letzteres gibt es eine analoge Überlegung.

Grüße,
dromedar
\(\endgroup\)


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Aconex
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.07.2018
Mitteilungen: 13
Aus: Gladbeck
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-15


Leider bin ich mir nicht genau sicher wie man das machen könnte.
Vielleicht so?

Sei B = Bild(ϕ)


B = (b1  a2  a3 ...   an )
    (a2  b2  a4 ...  an+1)
    (............................)
    (an an+1 an+2...  bn )

Leider steh ich komplett auf dem Schlauch und komme nichtmal auf einen Ansatz :/



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dromedar
Senior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5123
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-07-15

\(\begingroup\)
Was Du hingeschrieben hast, ergibt leider keinen Sinn. $\mathop{\rm Bild}(\phi)$ ist eine Menge von Matrizen. Was soll Dein $B$ sein?

Du musst eine beliebige schiefsymmetrische Matrix $A$ hernehmen und zeigen, dass $A\in\mathop{\rm Bild}(\phi)$ ist.

Und auch wenn Du vermutlich nicht sofort siehst, wofür das gut sein soll: Rechne für eine beliebige schiefsymmetrische Matrix $A$ mal $\phi(A)$ aus.
\(\endgroup\)


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Aconex
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.07.2018
Mitteilungen: 13
Aus: Gladbeck
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-15


Ich hab einfach mal eine Matrix A genommen:
 0  1 2
-1  0 4 und das mit ϕ(A)= (darunter)
-2 -4 0

0 -1 -2    0  1 2   0 -2 -4
1  0 -4 - -1  0 4 = 2  0 -8
2  4  0   -2 -4 0   4  8  0

Hier wäre die schief-symmetrische Matrize so gesehen verdoppelt und wäre immer noch schief-symmetrisch und im Bild(ϕ).
Aber müsste man das nicht allgemein zeigen, oder genügt ein Beispiel?



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dromedar
Senior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5123
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-07-15

\(\begingroup\)
2018-07-15 22:07 - Aconex in Beitrag No. 4 schreibt:
Aber müsste man das nicht allgemein zeigen, oder genügt ein Beispiel?

Das musst Du allgemein zeigen.

Das sollte aber kein Problem sein: Die Rechnung, um sich allgemein von

    $A^T=-A\implies\phi(A)=-2A$

zu überzeugen, ist einfacher als die Rechnung in einem bestimmten Beispiel.
\(\endgroup\)


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Aconex
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.07.2018
Mitteilungen: 13
Aus: Gladbeck
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-15


Achso!
Da A^T in einer Matrize = -A
=> -A - A = -2A
Macht Sinn, danke  smile

Wäre es dann für Kern(ϕ) so ähnlich?
Also A^T-A = 0 => A^T = A
Da A^T = -A
=> -A = A
Also muss symmetrisch sein.



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dromedar
Senior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5123
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-07-15

\(\begingroup\)
2018-07-15 22:30 - Aconex in Beitrag No. 6 schreibt:
Also muss symmetrisch sein.

Das ist die falsche Richtung.

Du muss zeigen:

    $A$ symmetrisch $\implies A\in\mathop{\rm Kern}(\phi)$

Und bedeutet ja nichts anderes als

    $A^T=A\implies \phi(A)=0$  ,

was sich wieder einfach nachrechnen lässt.
\(\endgroup\)


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Aconex
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.07.2018
Mitteilungen: 13
Aus: Gladbeck
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-15


Okay, also
A^T - A = 0
A^T wird A
A-A = 0
0 = 0
Super, danke



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Aconex
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.07.2018
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Aus: Gladbeck
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-15


So, dann ran an c)
dim vom bild wäre ja dann der Rang(ϕ)
Der Rang ist die Anzahl lin. Unabh. Vektoren. Da in jeder schief-symmetrischen Matrix aii = 0 sind alle Vektoren lin. Unabh.
=> Rang(ϕ) = n, bei nxn
=> dim(Bild(ϕ))=n

Für dim von Kern wüsste ich leider keinen Ansatz.



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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 918
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-07-15

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2018-07-15 22:58 - Aconex in Beitrag No. 9 schreibt:
So, dann ran an c)
Du bist mit b) noch nicht fertig. Du musst immer noch zeigen, dass alle schiefsymmetrischen Matrizen im Bild liegen. Bisher hast du nur den Tipp, dass $\phi(A)=-2A$ für schiefsymmetrische Matrizen gilt, bewiesen. Wenn die Charakteristik des Körpers ungleich 2 ist, dann bist du mit dem Tipp schon fast am Ziel.

Mit einem anderen Ansatz muss man den Charakteristik 2 Fall nicht gesondert betrachten: Betrachte das Bild der Standardbasis $E_{ij} ~(1\leq i,j\leq n)$ von $M_{n\times n}$.


dim vom bild wäre ja dann der Rang(ϕ)
Der Rang ist die Anzahl lin. Unabh. Vektoren. Da in jeder schief-symmetrischen Matrix aii = 0 sind alle Vektoren lin. Unabh.
Von welchen Vektoren ist hier die Rede?
\(\endgroup\)


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Aconex
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Dabei seit: 15.07.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-16


Reicht es für B dann nicht einfach zu beweisen, dass -2A schief-symmetrisch ist und in Bild(ϕ) mit z.B. -2*A als allgemein-Matrix?

Bei c) mit Vektoren sind die Spaltenvektoren gemeint.



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-07-16

\(\begingroup\)
2018-07-16 00:46 - Aconex in Beitrag No. 11 schreibt:
Reicht es für B dann nicht einfach zu beweisen, dass -2A schief-symmetrisch ist und in Bild(ϕ) mit z.B. -2*A als allgemein-Matrix?

Du willst zeigen: $A^T=-A\implies A\in\mathop{\rm Bild}(\phi)$

Dabei hilft Dir $A^T=-A\implies \phi(A)=-2A$ weiter, indem Du $A$ als $A=\phi\left(-{1\over2}A\right)$ darstellst.

Wie Nuramon schon in Beitrag No. 10 schrieb, funktioniert dieser Weg nicht für einen Körper der Charakteristik 2. Hier musst Du Dir zu einer (schief)symmetrischen Matrix $A$ – die Begriffe schiefsymmetrisch und symmetrisch fallen hier zusammen – eine andere Matrix $\tilde A$ konstruieren, mit der dann $A=\phi(\tilde A)$ gilt.
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-07-16


2018-07-16 00:46 - Aconex in Beitrag No. 11 schreibt:
Bei c) mit Vektoren sind die Spaltenvektoren gemeint.
Spalten wovon?

Im Allgemeinen besteht das Bild der Abbildung aus allen schiefsymmetrischen Matrizen mit nur Nullen auf der Diagonalen. (Wenn die Charakteristik nicht 2 ist, dann ist letztere Bedingung natürlich automatisch für jede schiefsymmetrische Matrix erfüllt).



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Aconex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-16


Leider hatten wir keine Körper durchgenommen, deswegen weiß ich jetzt nicht wirklich, was ihr mit Körper mit Charakteristik 2 meint  confused



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-07-16

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2018-07-16 15:11 - Aconex in Beitrag No. 14 schreibt:
Leider hatten wir keine Körper durchgenommen, deswegen weiß ich jetzt nicht wirklich, was ihr mit Körper mit Charakteristik 2 meint  confused
Das finde ich ziemlich überraschend. Geht es in eurer Vorlesung ausschließlich um reelle Vektorräume? (insbesondere müssen die Einträge der Matrizen, die hier betrachtet werden, dann aus $\mathbb R$ stammen.)

Wenn dem so ist, dann kannst du den Hinweis auf die Charakteristik ignorieren. (Probleme würden nur dann entstehen, wenn man nicht durch zwei teilen darf; in $\mathbb R$ ist das immer möglich)
\(\endgroup\)


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Aconex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-16


Ist halt nur eine FH. War mal an einer TU, da gabs Körper, aber war mir zu zäh biggrin
Ja, normalerweise sind die Vektorräume bei uns aus R.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-16


Und bei c) ist dim(Bild) doch dann n oder nicht?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2018-07-16


2018-07-16 16:04 - Aconex in Beitrag No. 17 schreibt:
Und bei c) ist dim(Bild) doch dann n oder nicht?
Nicht. Wo dein Fehler ist, kann ich dir nicht sagen, weil ich deine Überlegung nicht verstehe. Deshalb hatte ich nachgefragt von welcher Matrix du die Spalten betrachten willst.



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Aconex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-16


Ich dachte mir, das jedes Bild eine schief-symmetrische Matrix ergibt und diese auf der Diagonalen immer 0 haben, weshalb jeder Spaltenvektor aus diesen Matrizen lin. Unabhängig wäre und es n Spalten gibt und deshalb die dim=n ist.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2018-07-16

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2018-07-16 16:17 - Aconex in Beitrag No. 19 schreibt:
Ich dachte mir, das jedes Bild eine schief-symmetrische Matrix ergibt und diese auf der Diagonalen immer 0 haben, weshalb jeder Spaltenvektor aus diesen Matrizen lin. Unabhängig wäre und es n Spalten gibt und deshalb die dim=n ist.
1. Die Behauptung, dass in einer schiefsymmetrischen Matrix die Spalten linear unabhängig sein müssen ist falsch: Betrachte als triviales Gegenbeispiel die Nullmatrix, oder als nichttriviales Gegenbeispiel die Matrix $\begin{pmatrix}0&0&1\\ 0&0&1\\ -1&-1&0\end{pmatrix}$.

2. Selbst wenn diese Behauptung richtig wäre, sehe ich nicht wie man daraus etwas über die Dimension des Bildes folgern könnte.

Versuch mal folgende Fragen zu beantworten:
- Welche Dimension hat der Vektorraum aller $n\times n$-Matrizen?
- Wie viele "Freiheitsgrade" hat man um eine antisymmetrische $n\times n$- Matrix hinzuschreiben?
- Gleiche Frage mit symmetrischen Matrizen.
\(\endgroup\)


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Aconex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-16


Die Dimension des Vektorraums aller nxn Matrizen müsste Spalten*Zeilen sein, also n².

Freiheitsgrade hat eine schief-symmetrische Matrix laut Google n*(n-1)/2.
Bei symmetrischer Matrix, vielleicht n*(n-1)/2+n?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2018-07-16


Das ist richtig. Kannst du es auch begründen?



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Aconex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-16


Bei der schief-symmetrischen Matrix ist es ja an der Diagonalen invers gespiegelt, weshalb nur noch die Hälfte aller Elemente in Frage kommen würden. Da nun die Diagonale 0 ist, ist die Breite aller Elemente um eins reduziert. Alles also sogesehen wie die Hälfte der Fläche eines Quadrates mit einer reduzierten Breite von 1: n*(n-1)/2
Für die symmetrische Matrix wäre es dasselbe, nur das in der Diagonalen nun n Elemente frei sind, weshalb n*(n-1)/2+n zustande kommt.
Ich weiß, ist ein wenig umständlich beschrieben, aber naja.



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