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Moderiert von Wally haerter
Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » Variation der Konstanten DGL 2. Ordnung
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Universität/Hochschule Variation der Konstanten DGL 2. Ordnung
Tareq
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 16.07.2018
Mitteilungen: 28
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-07-16


Hallo! Ich stehe vor einem (FÜR MICH) großen Problem!
Wir müssen folgende DGL y`` +2y´+y = 1 mit y(0)=2 , y`(0)= 1 .
Der e-Ansatz fuhrt auf ein charakteristische Polynom , der eine doppelte Nullstelle =-1 hat.
Die Lösung der homogenen Gleichung lautet y= c1. e^-t + c2.t.e^-t .
Und jetzt Variation der Konstanten .. ich komme auf folgende Gleichung
y= c1(t).e^-t + c2(t).t.e^-t
y`=c1`(t).e^-t - c1(t).e^-t + c2`(t).t.e^-t - c2(t).t.e^-t

ich weiß leider nicht, wie ich weiter komme, damit ich die partikuläre Lösung bestimmen kann !!

Ich bedanke mich im Voraus!!



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gonz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 2907
Aus: Oberharz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-16


Hallo Tareq,
und herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!

Bist du sicher, dass du hier wirklich die "Variation der Konstanten" anwenden musst? Es gibt andere Methoden, um sich eine part. Lösung der inhomogenen Gleichung zu verschaffen. Du benötigst ja nur "irgendeine" Lösung, und es lohnt sich oft, erst einmal genauer hinzusehen und dabei Variationen der Inhomogenität zu betrachten. Die Inhomogenität ist in diesem Fall ja die konstante Funktion 1, und damit könnte dir etwas auffallen - schau mal genauer hin!

Solltest du andererseits dich mit der Variation der Konstanten beschäftigen wollen, auch wenn es in diesem Fall irgendwie "mit Kanonen auf Spatzen geschossen" ist, dann wäre der nächste Schritt, die von dir bestimmten Terme für y und y' nun in die DGL einzusetzen und daraus Gleichungen zur Bestimmung der Funktionen c_1 und c_2 zu bestimmen. Dazu müsstest du uns einfach mal zeigen, was du ausprobiert hast.

Eine Nebenbemerkung zum Stil deines Eingangsposts - Großschreibung und doppelte Ausrufezeichen empfinde ich persönlich als etwas aufdringlich, so als würdest du uns anschreien. Das mag deiner Not mit der Aufgabe geschuldet sein, aber ... wir können das einfach und ruhig angehen :)

Grüsse aus dem Harz
und frohes Schaffen wünscht -
Gerhard/gonz

 



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to fight! (Don Quijote de la Mancha)



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Tareq
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 16.07.2018
Mitteilungen: 28
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-16


@gonz

Hallo gonz, ich danke dir sehr für die Antwort. Zu deiner nebenbemerkung möchte ich sagen, dass es vielleicht daran liegt, dass das mein erster Beitrag hier ist.
Also mit deinem Hinweis kann ich sofort sagen, dass die part. Lösung y(t)=1 ist .
Das scheint mir richtig zu sein. Gibt es eine rechnerische Methode wo man die part. Lösung bestimmen kann oder muss die part. Lösung immer aus dem Störterm betrachtet werden?
Danke nochmal ✌ :-)



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gonz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 2907
Aus: Oberharz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-07-16


Hi Tareq,

danke für die Rückmeldung!

Der Ansatz mit der Variation der Konstanten ist schon das richtige, wenn man mit "genauerem Hinsehen" oder einer "Kombination aus den Störtermen" nicht weiterkommt. Man könnte das spasseshalber hier auch machen, einfach um das Verfahren zu üben.

Etwas Erfahrung hilft auch, zB wenn der Störterm eine sin-Funktion ist, mal eine Linearkombination aus sin und cos ausprobieren etc. Es ist eigentlich dann eine Frage der Effizienz, zumindest, wenn man es "händisch" machen soll/will. Ausser dem genannten ist mir da auch jetzt kein weiteres konkretes Verfahren bekannt.

gonz





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to fight! (Don Quijote de la Mancha)



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dietmar0609
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Dabei seit: 29.06.2007
Mitteilungen: 2711
Aus: Oldenburg , Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-07-16


@Tareq,

Zu dem , was Gonz schreibt, ist nichts hinzuzufügen. Hier die Aufgabenstellung mit dem fedgeo geschrieben, liest sich für alle besser.

Klick einfach mal auf folgenden Text ...

fed-Code einblenden

Gruss Dietmar



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gonz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 2907
Aus: Oberharz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-07-17


Da das Thema ja "Variation der Konstanten" ist, wäre es vielleicht gut, das Verfahren hier auch nochmal durchzuziehen. Wir behalten im Kopf, dass wir nur eine Lösung benötigen und nicht alle, und vereinfachen entsprechend den Ansatz, in der Hoffnung, damit fündig zu werden:  wir benutzen nur eine der beiden Fundamentallösungen, natürlich die einfachere. Es ergibt sich, wie du ja schon oben vorgerechnet hast dann ( hier mit c(t) als der einen variierten Konstante):

fed-Code einblenden

In diesem Sinne, einfach um das Verfahren hier einmal durchgespielt zu haben.

Grüsse aus dem Harz
Gerhard/Gonz




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to fight! (Don Quijote de la Mancha)



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Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1038
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-07-17

\(\begingroup\)
Huhu Tareq,

wenn du das noch mal üben möchtest löse doch die DGL:

\[y''+y=\sec(x)\]
Viel Erfolg!

Gruß,

Küstenkind

\(\endgroup\)


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Tareq
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Dabei seit: 16.07.2018
Mitteilungen: 28
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-18


@gonz

Danke gonz nochmal, ich habe mehrere Übungen gelöst und bin dazwischen drauf gekommen, wie ich mit VDK für DGL 2.Ord. umgehe. Das Thema ist ziemlich wichtig und    wenn man es googelt ist einfach nicht's hilfreiches zu finden.

Viele Grüße, Tareq



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Tareq
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 16.07.2018
Mitteilungen: 28
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-18


@Dietmar

Hallo, das werde ich mir für nächstes mal merken.
Danke für die Hinweis.

Viele Grüße, Tareq



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Tareq
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-18


@Küstenkind

Hallo, ich werde diese DGL lösen und werde dementsprechend mich bei dir melden falls ich Schwierigkeiten hätte.
Dankeschön.

Viele Grüße, Tareq



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