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Gewöhnliche DGL » Systeme von DGL » Zeigen, dass A(t) schiefsymmetrisch ist
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Autor
Universität/Hochschule J Zeigen, dass A(t) schiefsymmetrisch ist
Marie97
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.07.2018
Mitteilungen: 10
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-07-16

\(\begingroup\)
Guten Morgen, Leute.

Ich habe bei einer Aufgabe ein riesen Problem und komme überhaupt nicht weiter :-?

Es geht um folgende Aufgabe:




Bevor ich mit dem Ansatz anfange, habe ich mir klar gemacht, was die einzelnen Parameter bedeuten:


Zeit = t

Bahn eines Punktes zum Zeitpunkt t: \(x(t) =  D(t)x_0\) mit \(D(t) \in SO(3)\), wobei \(SO(n)\) die spezielle orthogonale Gruppe \(SO(n) = \{ A \in O(n) \vert det(A) = 1 \}\) und O(n) die Orthogonale Gruppe ist, die von den orthogonalen n x n - Matrizen gebildet wird.




Ich habe schon Probleme mit der a), denn wenn ich schreibe



\(A^T(t) = ... \)dann weiß ich nicht, wie ich das in die Form

\(A(t)^T\) bringen kann, sodass ich folgendes machen kann:



\(A^T(t) = A(t)^T = (D'(t) * D^{-1} (t))^T = (A(t) * D(t))^T * D^{-1} (t))^T = A(t)^T *D(t)^T * D^{-1} (t))^T = A(t)^T * E^T = A(t)^T\)


Aber ich komme wieder auf das selbe Ergebnis... Wie kann man das anders beweisen?


Bei b) und c) habe ich das Problem, dass ich nicht einmal die Fragestellung verstehe.... Was meinen sie mit u x v ? Etwa das Kreuzprodukt?


Wie kann man die b) beweisen? Weiß überhaupt nicht, wie ich die Existenz eines Isomorphismus zeige soll, die die in der b) genannten Eigenschaft erfüllt  :-?  :-?  :-?

Genauso Hilfe bräuchte ich bei der c).. Wie kann man da am besten anfangen? Ich habe dazu leider keinen Ansatz :-(


Ich bin für jede Hilfe dankbar...


liebe Grüße

Eure Marie
\(\endgroup\)


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dromedar
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5092
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-16

\(\begingroup\)
Hallo Marie97,

willkommen im Forum.

2018-07-16 01:00 - Marie97 im Themenstart schreibt:
Aber ich komme wieder auf das selbe Ergebnis... Wie kann man das anders beweisen?

Differenziere die Identität

    $1=D(t)D(t)^{-1}=D(t)^{-1}D(t)$

(die Funktion $D^{-1}$ in der Aufgabe ist nichts anderes als $D^{-1}(t):=D(t)^{-1}$).

2018-07-16 01:00 - Marie97 im Themenstart schreibt:
Was meinen sie mit u x v ? Etwa das Kreuzprodukt?

Genau das.

2018-07-16 01:00 - Marie97 im Themenstart schreibt:
Weiß überhaupt nicht, wie ich die Existenz eines Isomorphismus zeige soll, die die in der b) genannten Eigenschaft erfüllt

Rechne für eine beliebige schiefsymmetrische Matrix $A$ einfach mal $Av$ in Komponenten aus und für einen beliebigen Vektor $u$ zum Vergleich mal $u\times v$. Dann siehst Du sofort, wie $L$ zu konstruieren ist.

2018-07-16 01:00 - Marie97 im Themenstart schreibt:
Genauso Hilfe bräuchte ich bei der c).. Wie kann man da am besten anfangen? Ich habe dazu leider keinen Ansatz :-(

Hier musst Du nur noch die Bewegungsgleichung $\dot x(t)=A(t)x(t)$ aus der Aufgabenstellung unter Verwendung der Ergebnisse von (a) und (b) umschreiben.

Grüße,
dromedar
\(\endgroup\)


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Marie97
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.07.2018
Mitteilungen: 10
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-16

\(\begingroup\)
Erst mal danke für die hilfreiche Antwort smile
Aber ich habe da noch ein paar Fragen:


zu a)


Warum muss ich die Ableitung der Identität bilden? Dies wäre ja einfach die Nullmatrix. Aber ich weiß nicht genau, warum man das darf und wo das in meiner Gleichung nützlich ist.. Kannst du es mir vielleicht zeigen? confused

zu b)

Wie genau sieht die Form einer schiefsymmetrischen Matrix aus?
Ich habe zwar eine gefunden, aber ich weiß nicht, ob es für alle schiefsymmetrischen Matrizen gilt:


Ich hätte da:

Sei \( A = \begin{pmatrix}
0 & u_1 & -u_2 \\
-u_1 & 0 & u_3 \\
u_2 & -u_3 & 0 \\
\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\end{array} \right)\)


Dann: \( \begin{pmatrix}
0 & u_1 & -u_2 \\
-u_1 & 0 & u_3 \\
u_2 & -u_3 & 0 \\
\end{pmatrix} * \left( \begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}0*v_1 + u_1 * v_2 - u_2*v_3\\-u_1*v_1 + 0*v_2 + u_3*v_3\\u_2 *v_1 - u_3*v_2 + 0 * v_3\end{array} \right) =

\left( \begin{array}{c} u_1 * v_2 - u_2*v_3\\ u_3*v_3 - u_1*v_1\\u_2 *v_1 - u_3*v_2\end{array} \right) \)


Aber irgendwie komme ich trotz richtiger Matrix-Vektor-Multiplikation nicht auf das Kreuzprodukt... Wie genau soll das funktionieren? confused  confused


mfg
Marie
\(\endgroup\)


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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45599
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-07-16


Hi Marie97,
dein Ergebnis ist tatsächlich das Kreuzprodukt der Vektoren u und v.
//EDIT: Nein, doch nicht.
Man muss die schiefsymmetrische Matrix A mit
fed-Code einblenden
Gruß Buri



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dromedar
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Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5092
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-07-16

\(\begingroup\)
2018-07-16 12:49 - Marie97 in Beitrag No. 2 schreibt:
Warum muss ich die Ableitung der Identität bilden?

Warum das so ist, sieht man nicht auf den ersten Blick, aber dennoch hilft Dir das weiter.

2018-07-16 12:49 - Marie97 in Beitrag No. 2 schreibt:
Dies wäre ja einfach die Nullmatrix.

Richtig, das Ergebnis ist von der Form $0=(\hbox{dies})+(\hbox{das})$ und diese Gleichung sagt Dir, dass $A$ schiefsymmetrisch ist.

2018-07-16 12:49 - Marie97 in Beitrag No. 2 schreibt:
Aber ich weiß nicht genau, warum man das darf [...]

Warum solltest Du eine differenzierbare Funktion nicht differenzieren dürfen? Mach es einfach.
\(\endgroup\)


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Marie97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-16

\(\begingroup\)
Weil das Kreuzprodukt in meinen Skript so definiert ist:



\(
\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_1\\u_2\\u_3\end{array} \right)\) kreuz \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\end{array} \right)\) =\(\left( \begin{array}{c}u_2*v_3 - u_3*v_2\\u_3*v_1 - u_1*v_3\\u_1*v_2 - u_2*v_1\end{array} \right)\)


Deswegen bin ich jetzt verwirrt...

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
\(\endgroup\)


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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-07-16

\(\begingroup\)
Es wäre doch ein großer Zufall, wenn die willkürliche Nummerierung der $u_i$, die Du für das Hinschreiben der schiefsymmetrischen Matrix gewählt hast, gerade das Kreuzprodukt mit der Nummerierung, die die $u_i$ als Komponenten eines Vektors haben, ergäbe. Aber das ist zu Definition des Isomorphismus $L$ auch gar nicht erforderlich.
\(\endgroup\)


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Marie97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-16

\(\begingroup\)
Danke für eure Antworten.

Ich verwende  trotzdem mal die Matrix von Buri mit einen Vorzeichenwechsel.


Sei \( A := \begin{pmatrix}
0 & -u_3 & u_2  \\
u_3 & 0 & -u_1 \\
-u_2 & u_1 & 0

\end{pmatrix}\) eine beliebige schiefsymmetrische Matrix


 und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\end{array} \right)\) ein beliebiger Vektor.

Daraus folgt:


\(\begin{pmatrix}
0 & -u_3 & u_2  \\
u_3 & 0 & -u_1 \\
-u_2 & u_1 & 0

\end{pmatrix} *  \left( \begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\end{array} \right)\) = \(\left( \begin{array}{c}0*v_1 - u_3*v_2 + u_2*v_3\\-u_3*v_1 + 0*v_2 - u_1*v_3\\-u_2*v_1 + u_1*v_2 + 0*v_3\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}  u_2*v_3 - u_3*v_2 \\ u_3*v_1 - u_1*v_3\\ u_1*v_2 -u_2*v_1\end{array} \right) \)


Nun soll ich zeigen, dass es einen Isomorphismus gibt, so dass \(L(u)*v = u \) x v ist, \(\forall v \in \mathbb{R}^3\)


Aber lies sich nicht jede lineare Abbildung durch solche eine Matrixmultiplikation darstellen? Somit habe ich doch schon einen Isomorphismus gefunden, oder etwa nicht?

Oder was genau wird bei der b) noch erwartet?
Müsste ich in diesem Fall noch zeigen, dass diese lineare Abbildung bijektiv ist? Oder wird da eine Abbildungsvorschrift erwartet?

mfg
Marie
\(\endgroup\)


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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-07-16

\(\begingroup\)
2018-07-16 19:33 - Marie97 in Beitrag No. 7 schreibt:
Aber lies sich nicht jede lineare Abbildung durch solche eine Matrixmultiplikation darstellen?

Ja, aber hier war noch mehr zu zeigen:
1. Die sich ergebende Matrix soll schiefsymmetrisch sein.
2. Die Abbildung Vektor $\mapsto$ schiefsymmetrische Matrix soll ein Isomorphismus sein.

Beides hast Du mit Deiner Rechnung schon gezeigt, auch wenn Dir das offenbar gar nicht klar ist...
\(\endgroup\)


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Marie97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-16




Dass die Matrix schiefsymmetrisch ist weiß ich. Was ich aber nicht weiß, ist, waru ich autom. gezeigt habe, dass die Abbildung ein Isomorphismus ist. Woran erkennt man das ohne nachzurechnen?

mfg
Marie



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-07-16

\(\begingroup\)
2018-07-16 20:10 - Marie97 in Beitrag No. 9 schreibt:
Woran erkennt man das ohne nachzurechnen?

Deine Abbildung ist

    $\begin{align*}
L\colon\;&{\Bbb R}^3\to S=\{A\in{\Bbb R}^{3\times3}:A^T=-A\}\;,\\[1.5ex]
&\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}
\mapsto\begin{pmatrix}
0&u_3&-u_2\\-u_3&0&u_1\\u_2&-u_1&0
\end{pmatrix}\quad.\end{align*}$

Jetzt musst Du zeigen:
1. $L(u)v=u\times v$.
2. $L$ ist linear.
3. $L$ ist injektiv.
4. $L$ ist surjektiv.

(1) hast Du nachgerechnet.

Außerdem hast Du festgestellt, dass die Matrix auf der rechten Seite schon die allgemeine Form einer schiefsymmetrischen Matrix ist. Wenn Du nun im ${\Bbb R}^3$ und in $S$ jeweils die Basen verwendest, für die $u_1$, $u_2$ und $u_3$ die Koordinaten sind, also

    $\displaystyle
{\Bbb R}^3\colon\;
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$

    $\displaystyle
S\colon\;
\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$

wird $L$ in Bezug auf diese Basen als Einheitsmatrix dargestellt. Daraus folgen (2), (3) und (4).
\(\endgroup\)


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Marie97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-16


danke für dein Feedback.

Aber ich verstehe nicht wirklich, wie daraus 2, 3 und 4 folgen kann.

Eine lin. Abb. ist injektiv, wenn Ker{L} = 0

uns surjektiv, wenn das Bild (L)= S ist.

Für den Isomorphismus müssen ja beide Eigenschaften erfüllt sein. Ich verstehe aber nicht, wie aus den Basisvektoren von R^3 und S folgt, dass Kern{L} = 0 und Bild(L) = S ist.

Kannst du es mir vllt ausführlicher erklären?

Hoffentlich nerve ich mit diesen scheinbar trivialen Fragen nicht confused


mfg
Marie



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-07-16

\(\begingroup\)
2018-07-16 21:55 - Marie97 in Beitrag No. 11 schreibt:
Ich verstehe aber nicht, wie aus den Basisvektoren von R^3 und S folgt, dass Kern{L} = 0 und Bild(L) = S ist.

Überleg Dir doch mal allgemein: Wenn $V$ und $W$ Vektorräume mit Basen $(e_1,\ldots,e_n)$ bzw. $(f_1,\ldots,f_n)$ sind, dann ist die lineare Abbildung $T\colon V\to W$ mit $Te_i=f_i$ sowohl injektiv wie auch surjektiv.
\(\endgroup\)


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Marie97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-20


Tut mir leid für die späte Antwort. Ich habe es am Ende hingekriegt.
Vielen Dank für eure Hilfe! biggrin



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Marie97 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Marie97 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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