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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Existenz Richtungsableitung
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Universität/Hochschule J Existenz Richtungsableitung
alex1205
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-07-18

\(\begingroup\)
Hallo ich habe leider ein Problem mit folgender Aufgabe :( :
Sei $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ gegeben durch
f(x,y)= $\frac{sin(x^3 +y^3)}{x^2+y^2}$  für (x,y)$\neq$ (0,0)
und f(x,y)=0 für (x,y)=(0,0)

Nun soll man untersuchen für welche Richtungen $v \in \mathbb{R}^2$\{0} die Richtungsableitung $\delta_v f(0,0)$ existiert und diese gegenfalls bestimmen, und zusätzlich ist gefragt ob f im Ursprung total differenzierbar ist.


Als Hinweis ist angegeben: $lim_{s \rightarrow 0} \frac{sin(s)}{s}=1$

Danke an alle die Hinweise/Lösungsvorschläge geben :)

was ich versucht habe:
Die Richtungsableitung in Richtung v von im Punkt $x_0$ ist ja definiert als folgender Grenzwert $lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0 +hv)-f(x_0)}{h} $
 Setzen wir hier für die Funktion f ein, $x_0=(0,0),v=(v_1,v_2)$ so erhalten wir
$lim_{h\rightarrow 0}$ $\frac{sin(h^3(v_1^3+v_2^3))}{h h^2 (v_1^2 +v_2^2)}$ und hier weiß ich leider nicht mehr weiter da ich den Tipp nicht anwenden kann und nicht sehe für welche Richtungen $v=(v_1,v_2)$ der Grenzwert existiert
\(\endgroup\)


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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-18


willkommen auf dem Matheplaneten,

Interessante Aufgabe. Hast du schon versucht, die partiellen Ableitungen zu bilden und zu untersuchen.

Der Matheplanet liefert keine kompletten Lösungen, sondern nur Denkanstösse und Hilfen.

Also schau mal in deine Unterlagen und fange mit den partiellen Ableitungen an.

Gruss Dietmar

Kannst du den Rechtschreibfehler im Titel noch beheben?



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dietmar0609
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Mitteilungen: 2667
Aus: Oldenburg , Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-07-18


Ich hab dir mal die ersten partiellen Ableitungen nach x und y hingeschrieben. Kannst du damit etwas anfangen ?

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alex1205
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-18


Dank für die Antwort aber leider seh ich nicht, was es bringen sollte. Ich hab meinen Ansatz ja schon oben hingeschrieben. Ich sehe nur nicht wann der Grenzwert existiert



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-07-18


2018-07-18 16:53 - alex1205 im Themenstart schreibt:

Setzen wir hier für die Funktion f ein, <math>x_0=(0,0),v=(v_1,v_2)</math> so erhalten wir
<math>\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h^3(v_1^3+v_2^3))}{h h^2 (v_1^2 +v_2^2)}</math> und hier weiß ich leider nicht mehr weiter da ich den Tipp nicht anwenden kann und nicht sehe für welche Richtungen <math>v=(v_1,v_2)</math> der Grenzwert existiert


Beachte, dass <math>v_1^3+v_2^3</math> und <math>v_1^2+v_2^2</math> Konstanten sind. Wenn also
<math>\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h^3(v_1^3+v_2^3))}{h^3 (v_1^2 +v_2^2)}</math> existiert und <math>v_1^3 +v_2^3\neq 0</math>, dann existiert auch
 <math>\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h^3(v_1^3+v_2^3))}{h^3 (v_1^2 +v_2^2)}\cdot
\frac{v_1^2 +v_2^2}{v_1^3 +v_2^3}</math> und es gilt
<math>\displaystyle \ldots=
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h^3(v_1^3+v_2^3))}{h^3 (v_1^3 +v_2^3)}=
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h^3(v_1^3+v_2^3))}{h^3 (v_1^2 +v_2^2)}\cdot
\frac{v_1^2 +v_2^2}{v_1^3 +v_2^3}=
\frac{v_1^2 +v_2^2}{v_1^3 +v_2^3}
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h^3(v_1^3+v_2^3))}{h^3 (v_1^2 +v_2^2)}
</math>

 



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alex1205
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-18


ja das macht Sinn, vielen Dank ochen!! :)



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