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  Grundlagen Mathematik Beispielaufgabe zur Binomialentwicklung Tipler S 1409 |
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Mathe_Burnout
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 |      Themenstart: 2018-07-21 20:02
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Also die Beispiel Aufgabe lautet wie folgt:
Berechne Sie mithilfe der Gleichung
  
(1 + x)^n \approx\ 1 + nx für abs(x) << 1
einen Näherungswert für die Wurzel aus 101.
Problembeschreibung: Die Zahl 101 legt die Zerlegung in das Binom (100 + 1) nahe. Um einen Näherungswert mithilfe der Binomialentwicklung bestimmen zu können, muss man diesen Ausdruck so umfromen, dass wir ein Binom bestehend aus 1 und einem Term kleiner als 1 erhalten.
Lösung:
Schritt 1. Schreiben Sie die Wurzel als (101)1/2; nun können Sie einen Ausdruck der Form (1 + x)n herleite, in dem x viel kleiner als 1 ist:
Schritt 2. Verwenden Sie nun Gleichung
(1 + x)^n \approx\ 1 + nx für abs(x) << 1 mit n = 1/2 und x = 0,01 und berechnen Sie die Entwicklung von (1 + 0,01)^(1/2):
Schritt 3. Wegen |x| << 1 ist zu erwarten , dass der Betrag der Terme von zweiter und noch höherer Ordnung erheblich kleiner ist als der Betrag des Terms erster Ordnung. Bestimmen Sie einen Näherungsausdruck für das Binom a) nur mit den Termen nullter und erster Ordnung und b) mit den ersten beiden Termen:
a) Bei Berücksichtigung nur der Terme nullter und erster Ordnung ergibt sich
b) Berücksichtigen wir zusätzlich noch den Term zweiter Ordnung, so haben wir
Schritt 4. Setzen Sie diese Ergebnisse in die Gleichung von Schritt 1 ein:
Bei Berücksichtigung nur der Terme nullter und erster Ordnung ergibt sich
Bei zusätzlicher Berücksichtigung der Terme zweiter Ordnung ergibst sich
Plausibilitätsprüfung: Es ist zu erwarten, dass unsere Antwort 0,001 % genau ist. Der von (101)1/2 beträgt, auf acht Stellen agegeben, 10,049876. Der Unterschied zu 10,050000 beträgt nur 0,000124, der Näherungswert weicht als erst in der vierten signifikanten Stelle ab
(1:10000). Zu 10,049875 tritt erst in der siebten signifikanten Stelle eine Differenz auf (1:10000000).
Das was ich nicht verstehe ist Schritt 4, hier soll Schritt 3 also die Ergebnisse der Entwicklungen der nullten und der ersten Ordnung in Schritt 1 eingesetzt worden sein.
Die Plausibilitätsprüfung verstehe ich ebenfalls nicht also wie man auf 0,001 % kommt, die signifikanten Stellen bestimmt, der Näherungswert 0,000124 und halt die Verhältnisse (1:10000). Hoffe mir kann bei meinen Problemen geholfen werden.
VG :)
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rlk
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Aus: Wien
| Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-21 21:27
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\(\begingroup\)
Hallo Mathe_Burnout,
herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!
\ Im 4. Schritt wurden die Näherungen 1. und 2. Grades (1+x)^(1/2)\approx 1 + 1/2\.x = y_1 (1+x)^(1/2)\approx 1 + 1/2\.x - 1/8\.x^2 = y_2 in die Gleichung y=sqrt(101)=10\.(1+1/100)^(1/2) eingesetzt. Bei der Plausibilitätsprüfung wurden die Differenzen y_i-y \(absolute Fehler) zwischen den Näherungswerten und dem auf 8 Stellen gerundeten Wert von y sowie die relativen Fehler (y_i-y)/y berechnet. Bei der Angabe der signifikanten Stellen wird aber nicht klar zwischen absoluten und relativen Fehlern unterschieden. Ich schlage vor, dass Du diese Rechnung ausführst und in Deinen eigenen Worten kommentierst. Servus, Roland
\(\endgroup\)
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Mathe_Burnout
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-21 21:58
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Mir fällt das einsetzen der y - Werte irgendwie schwierig hahaha.
Also wenn ich jetzt annehme y1 ist 1,0050000 und ich den Wert, dann in folgende Formel einsetze: y = sqrt(101), dann das doch 1,0050000 = sqrt(101) -> 1,0050000^2 = 101 hmm irgendwie macht das auch keinen Sinn.
Vielleicht wäre es besser wenn du das mal anhand der Werte veranschaulichen könntest. Also die Formel verstehe ich ja nur wenn ich das einsetze, komme ich nicht auf die besagten 10,050000 hmm und das mit (yi - y)/y ist ebenfalls ein Problem. Also wenn ich jetzt mal sage das 1,0050000 = y1 ist und 1,0049875 = y2, dann wäre yi hier z.b y1 oder y2. Also wäre doch dann (y1-y)/y = (1,0050000 - 10,04987562)/10,04987562 = -0,8999987625.
Muss das glaub ich einmal richtig gesehen haben, mit den Werten, wie ich das dann auf andere Aufgaben analog anwenden kann.
und was ist mit absolutem und relativem Fehler gemeint ?
VG :)
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rlk
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Aus: Wien
| Beitrag No.3, eingetragen 2018-07-21 23:35
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Hallo Mathe_Burnout,
es tut mir leid, wenn ich Dich durch meine sehr ungeschickten Bezeichnungen in Beitrag 1 verwirrt habe.
\ Ich versuche es noch einmal: y_1 und y_2 sind die Näherungen erster und zweiter Ordnung für sqrt(1+x)=(1+x)^(1/2) y_1 = 1 + 1/2\.x y_2 = 1 + 1/2\.x - 1/8\.x^2 Diese liefern für x=1/100 Näherungen Y_1 und Y_2 für Y=sqrt(101), indem wir sie in die Formel sqrt(101)=10\.(1+x)^(1/2) einsetzen: Y_1 = 10\.y_1 = 10\.(1+0.005) = 10.05 Y_2 = 10\.y_2 = 10\.(1+0.005-0.0000125) = 10.049875 Jetzt können wir die absoluten Fehler, die Differenzen Y_1-Y und Y_2-Y berechnen: Y_1-Y = 10.05 - 10.0498756211 = 1.243789*10^(-4) Y_2-Y = 10.049875 - 10.0498756211 = -6.211*10^(-7) Die relativen Fehler erhält man, indem man durch Y teilt: (Y_1-Y)/Y = (1.243789*10^(-4)) / 10.0498756211 \approx 1.238*10^(-5) (Y_2-Y)/Y = (-6.211*10^(-7)) / 10.0498756211 \approx -6.180*10^(-8) Ich hoffe, dass es jetzt besser verständlich ist. Servus, Roland
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Mathe_Burnout
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Aus:
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-21 23:42
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Ja es ist etwas verwirrend gewesen, da ich jetzt nicht so ein Ass in Mathe oder in Physik bin. Jedoch gebe ich mir jeden Tag Mühe, um meine Kenntnisse auf die diverse Themen und Gebiete zu erweitern und zu vertiefen. Jedoch ist das hier natürlich nur der Einstieg von dem was eigentlich abverlangt wird. Jedoch gewinnt in der Prüfung nur die Person, die auch Sachen hinterfragt.
Diese Erläuterung hat mir jetzt gefallen. Top :)
VD und VG :)
Die nächste Frage kommt bestimmt :D
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