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Schulmathematik » Trigonometrie » Geometrischer Beweis des Summensatzes für sin(x) + sin(y)
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Autor
Universität/Hochschule Geometrischer Beweis des Summensatzes für sin(x) + sin(y)
Chandler
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.03.2011
Mitteilungen: 997
Aus: Hamburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-08-03


Hallo zusammen,

gibt es einen elementaren(geometrischen) Beweis des Additionstheorems

<math>\displaystyle
\sin(x) + \sin(y) = 2 ( \sin( \frac{1}{2}(x+y)) \cos( \frac{1}{2}(x-y))
</math>

welcher nicht die normalen Additionstheoreme benötigt?

(Hintergrund ist natürlich, dass man diese Formel zur Berechnung der Ableitung des Sinus verwenden kann)

Viele Grüße
Chandler



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Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1105
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-08-03


Huhu Chandler,

schau mal hier.

Gruß (und ein schönes Wochenende wünscht),

Küstenkind



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Buri
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Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45729
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-08-03


2018-08-03 12:16 - Kuestenkind in Beitrag No. 1 schreibt:
... schau mal hier.
Hi Küstenkind,
an dieser Stelle wird aber nach dem Beweis mit Additionstheoremen gefragt.
Gruß Buri



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Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1105
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-08-04

\(\begingroup\)
Huhu Buri,

es wurde aber auch eine Antwort (von abel) gegeben, die das geometrisch herleitet. Da ich gerade mich versuche etwas mit geogebra zu beschäftigen, habe ich das ganze mal versucht dort zu konstruieren (bitte seid gnädig mit mir):



Nun einfach den Strahlensatz bemühen:

\(\displaystyle \frac{|CB|}{|DU|}=\frac{|BO|}{|UO|}\)

bzw.

\(\displaystyle \frac{\sin((s+t)/2)}{((\sin(t)+\sin(s))/2)}=\frac{1}{(\cos((t-s)/2)}\)

Hast du diese übersehen, oder stört dich etwas an dieser Methode?

Dir auch ein schönes Wochenende!

Gruß,

Küstenkind (der mächtig stolz ist, ein erstes Bild mit geogebra erstellt zu haben)
\(\endgroup\)


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cis
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.08.2002
Mitteilungen: 15550
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-08-05

\(\begingroup\)

2018-08-03 11:57 - Chandler im Themenstart schreibt:
gibt es einen elementaren(geometrischen) Beweis des Additionstheorems Summensatzes

<math>\displaystyle
\sin(x) + \sin(y) = 2 ( \sin( \frac{1}{2}(x+y)) \cos( \frac{1}{2}(x-y))
</math>

welcher nicht die normalen Additionstheoreme benötigt?



Betrachte die Figur

<math>

%http://mathworld.wolfram.com/ProsthaphaeresisFormulas.html
\begin{tikzpicture}[scale=3.0,
>=latex]
% KoSy
\draw[->] (-1.25,0) -- (1.25,0);
\draw[->] (0,-0.25) -- (0,1.25);
%\node[anchor=north east]{$O$};

\coordinate (M) at (0,0);
\def\Radius{1}
\def\Startangle{0}

% Einheitskreis
\def\StartAngle{-5}
\def\EndAngle{185}
\draw[] ([shift={(\StartAngle : \Radius)}]M)  arc[start angle=\StartAngle, end angle=\EndAngle, radius=\Radius];


% Winkel
% Alpha
\def\AlphaRadius{0.45}
\pgfmathsetmacro\Alpha{120}
\pgfmathsetmacro\SinusEndAlpha{sin(\Alpha)}
\pgfmathsetmacro\CosinusEndAlpha{cos(\Alpha)}
\coordinate[label=] (P) at (\Alpha:\Radius);
\node[anchor=south east] at (P) {$(\cos(\alpha),\sin(\alpha))$};
\fill[] (P) circle(0.5pt);

\draw[->] ([shift={(\Startangle : \AlphaRadius)}]M)  arc[start angle=\Startangle, end angle=\Alpha, radius=\AlphaRadius] node[midway, right] {$\alpha$};

\draw[] (P) -- (M);
\draw[] (P) -- (\CosinusEndAlpha, 0);

% Beta
\def\BetaRadius{0.55}
\pgfmathsetmacro\Beta{40}
\pgfmathsetmacro\SinusEndBeta{sin(\Beta)}
\pgfmathsetmacro\CosinusEndBeta{cos(\Beta)}
\coordinate[label=] (Q) at (\Beta:\Radius);
\node[anchor=south west] at (Q) {$(\cos(\beta),\sin(\beta))$};
\fill[] (Q) circle(0.5pt);

\draw[->] ([shift={(\Startangle : \BetaRadius)}]M)  arc[start angle=\Startangle, end angle=\Beta, radius=\BetaRadius] node[midway, right] {$\beta$};

\draw[] (Q) -- (M);
\draw[] (Q) -- (\CosinusEndBeta, 0);

% Delta
\def\DeltaRadius{0.1}
\pgfmathsetmacro\Delta{(\Alpha+\Beta)/2}

\draw[red, double] ([shift={(\Startangle : \DeltaRadius)}]M)  arc[start angle=\Startangle, end angle=\Delta, radius=\DeltaRadius] node[midway, above] {$\delta$};

% Phi1
\def\PhiRadius{0.3}
\pgfmathsetmacro\Phi{(\Alpha-\Beta)/2}

\draw[red, double] ([shift={(\Delta : \PhiRadius)}]M)  arc[start angle=\Delta, end angle=\Phi+\Delta, radius=\PhiRadius] node[midway, above] {$\varphi$};

% Phi2
%\def\PhiRadius{0.1}
\pgfmathsetmacro\Phi{(\Alpha-\Beta)/2}

\draw[double] ([shift={(\Beta : \PhiRadius)}]M)  arc[start angle=\Beta, end angle=\Phi+\Beta, radius=\PhiRadius] node[midway, above, xshift=3.5] {$\varphi$};



% Plandreieck
\draw[] (P) -- (Q);

\pgfmathsetmacro\u{(cos(\Alpha)+cos(\Beta))/2}
\pgfmathsetmacro\v{(sin(\Alpha)+sin(\Beta))/2}
\coordinate[label=] (R) at (\u,\v);
\node[above, xshift=3mm] at (R) {$(u,v)$};


\draw[thick] (R) -- (M) node[near start, left]{$s$};
\draw[thick] (R) -- (\u,0) -- (M);

% Rechte Winkel
\draw[]  (\u,0) -- (\u, 0.055) -- (\u+0.055, 0.055)  -- (\u+0.055, 0) ;

\draw[]  (R) -- ($(R)!0.075!(M)$) -- ($($(R)!0.075!(M)$)!0.075!(P)$) -- ($(R)!0.075!(P)$);
\end{tikzpicture}
</math>


· Hierin ist einerseits  <math>u = \dfrac{\cos(\alpha) + \cos(\beta)}{2}</math>  und  <math>v = \dfrac{\sin(\alpha) + \sin(\beta)}{2}</math>  
[da <math>(u,v)</math> Mittelpunkt der Strecke zwischen den Punkten <math>(\cos(\alpha),\sin(\alpha))</math> und <math>(\cos(\beta),\sin(\beta))</math>, die mit dem Ursprung ein gleichschenkliges Dreieck bilden].  


· Für die Hilfswinkel <math>\varphi</math> und <math>\delta</math> ist <math>\alpha = \delta + \varphi</math> und <math>\beta = \delta - \varphi</math>. Also <math>\delta =  \dfrac{\alpha + \beta}{2}</math> und <math>\varphi =  \dfrac{\alpha - \beta}{2}</math>.


· Ferner ist <math>\cos(\varphi) = \dfrac{s}{1}</math> und <math>\sin(\delta) = \dfrac{v}{s}</math>, d.h. <math>v = \cos(\varphi) \cdot \sin(\delta)</math>.
Und <math>\cos(\delta) = \dfrac{u}{s}</math>, d.h. <math>u = \cos(\varphi) \cdot \cos(\delta)</math>.


· Also hat man gefunden:

<math>\displaystyle
\sin(\alpha) + \sin(\beta)
= 2 \cdot
\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right)
\cdot
\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right)
</math>

und

<math>\displaystyle
\cos(\alpha) + \cos(\beta)
= 2 \cdot
\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right)
\cdot
\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right)
</math>



_____________________
PS: Es handelt sich hier, anders als im Titel angegeben, nicht um ein 'Additionstheorem' [f(a+b) = g(f(a),f(b))], sondern um einen 'Summensatz' [f(a) + f(b) = h(f(a),f(b))].



-----------------
Wenn man alles ausgeschaltet hat, was unmöglich ist, bleibt am Ende etwas übrig, das die Wahrheit enthalten muß - mag es auch noch so unwahrscheinlich sein...
(Sherlock Holmes)
·
\(\endgroup\)


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cis
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.08.2002
Mitteilungen: 15550
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-08-10

\(\begingroup\)
Interessant sind auch die Differenzen <math>\sin(\alpha) - \sin(\beta)</math> bzw. <math>\cos(\alpha) - \cos(\beta)</math>



<math>
\begin{tikzpicture}[scale=3.0,
>=latex]
%http://mathworld.wolfram.com/ProsthaphaeresisFormulas.html
% KoSy
\draw[->] (-1.25,0) -- (1.25,0);
\draw[->] (0,-0.25) -- (0,1.25);


\coordinate (M) at (0,0);
\def\Radius{1}
\def\Startangle{0}

% Einheitskreis
\def\StartAngle{-5}
\def\EndAngle{185}
\draw[] ([shift={(\StartAngle : \Radius)}]M)  arc[start angle=\StartAngle, end angle=\EndAngle, radius=\Radius];


% Winkel
% Alpha
\def\AlphaRadius{0.45}
\pgfmathsetmacro\Alpha{120}
\pgfmathsetmacro\SinusEndAlpha{sin(\Alpha)}
\pgfmathsetmacro\CosinusEndAlpha{cos(\Alpha)}
\coordinate[label=] (P) at (\Alpha:\Radius);
\node[anchor=south east] at (P) {$(\cos(\alpha),\sin(\alpha))$};
\fill[] (P) circle(0.5pt);

\draw[->] ([shift={(\Startangle : \AlphaRadius)}]M)  arc[start angle=\Startangle, end angle=\Alpha, radius=\AlphaRadius] node[midway, right] {$\alpha$};

\draw[] (P) -- (M);
\draw[] (P) -- (\CosinusEndAlpha, 0);

% Beta
\def\BetaRadius{0.55}
\pgfmathsetmacro\Beta{40}
\pgfmathsetmacro\SinusEndBeta{sin(\Beta)}
\pgfmathsetmacro\CosinusEndBeta{cos(\Beta)}
\coordinate[label=] (Q) at (\Beta:\Radius);
\node[anchor=south west] at (Q) {$(\cos(\beta),\sin(\beta))$};
\fill[] (Q) circle(0.5pt);

\draw[->] ([shift={(\Startangle : \BetaRadius)}]M)  arc[start angle=\Startangle, end angle=\Beta, radius=\BetaRadius] node[midway, right] {$\beta$};

\draw[] (Q) -- (M);
\draw[] (Q) -- (\CosinusEndBeta, 0);

% Delta
\def\DeltaRadius{0.1}
\pgfmathsetmacro\Delta{(\Alpha+\Beta)/2}

\draw[red, double] ([shift={(\Startangle : \DeltaRadius)}]M)  arc[start angle=\Startangle, end angle=\Delta, radius=\DeltaRadius] node[midway, above] {$\delta$};

% Phi1
\def\PhiRadius{0.25}
\pgfmathsetmacro\Phi{(\Alpha-\Beta)/2}

\draw[ double] ([shift={(\Delta : \PhiRadius)}]M)  arc[start angle=\Delta, end angle=\Phi+\Delta, radius=\PhiRadius] node[midway, above] {$\varphi$};

% Phi2
\draw[double, red] ([shift={(\Beta : \PhiRadius)}]M)  arc[start angle=\Beta, end angle=\Phi+\Beta, radius=\PhiRadius] node[midway, above, xshift=5.5] {$\varphi$};

% Phi2
\draw[double, red] ([shift={(-90 : \DeltaRadius)}]P)  arc[start angle=-90, end angle=\Delta-90, radius=\DeltaRadius] node[midway, right, xshift=0.5] {$\delta$};



% Plandreieck
\draw[thick, red] (P) -- (Q) node[midway, above, red]{$2\sin(\varphi)$};

\pgfmathsetmacro\u{(cos(\Alpha)+cos(\Beta))/2}
\pgfmathsetmacro\v{(sin(\Alpha)+sin(\Beta))/2}
\coordinate[label=] (R) at (\u,\v);
%        \node[above] at (R) {$(u,v)$};


\draw[] (R) -- (M);

\draw[thick] (P) |- (Q) node[very near end, below]{$u$};

\node[left, yshift=-10] at (P) {$v$};

% Rechte Winkel
\draw[]  (R) -- ($(R)!0.075!(M)$) -- ($($(R)!0.075!(M)$)!0.075!(P)$) -- ($(R)!0.075!(P)$);
\end{tikzpicture}
</math>


· Hierin ist einerseits  <math>u = \cos(\beta) - \cos(\alpha)</math>  und  <math>v = \sin(\alpha) - \sin(\beta)</math>  

· Für die Hilfswinkel <math>\varphi</math> und <math>\delta</math> ist <math>\alpha = \delta + \varphi</math> und <math>\beta = \delta - \varphi</math>. Also <math>\delta =  \dfrac{\alpha + \beta}{2}</math> und <math>\varphi =  \dfrac{\alpha - \beta}{2}</math>.

· Ferner ist <math>\sin(\delta) = \dfrac{u}{2\sin(\varphi)}</math> und <math>\cos(\delta) = \dfrac{v}{2\sin(\varphi)}</math>, d.h. <math>u = 2\sin(\varphi) \cdot \sin(\delta)</math> und <math>v = 2\sin(\varphi) \cdot \cos(\delta)</math>.



· Also hat man gefunden:

<math>\displaystyle
\sin(\alpha) - \sin(\beta)
= 2 \cdot
\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right)
\cdot
\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right)
</math>

und

<math>\displaystyle
\cos(\beta) - \cos(\alpha)
= 2 \cdot
\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right)
\cdot
\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right)
</math>
\(\endgroup\)


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