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Mathematik » Topologie » Punktweise Konvergenz
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Universität/Hochschule Punktweise Konvergenz
Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-08-08


Hallo.


Wir haben als Beispiele für punktweise Konvergenz in einem topologischen Raum folgende Menge als Beispiel gegeben:


X = C[0, 1] := {f : [0, 1] → R : f ist stetig}



Punktweise Konvergenz ist ja definiert als:

fn → f punktweise ⇐⇒ fn(t) → f(t) ∀t ∈ [0, 1].

Bei wikipedi ist als Beispiel angegeben:

Folge\(f_n: x \rightarrow x^n\) konvergiert im Intervall [0,1] gegen die Funktion \(f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) mit

f(x) = 0 wenn \(0\le x <1\)
     = 1 wenn x=1

weil \(lim x^n =0 (n\rightarrow \infty) , x \in [0,1)\) und lim \(x^n =1(n\rightarrow \infty)\)  wenn x=1


Warum nimmt man denn überhaupt das Intervall [0,1]?


Ein weiteres Beispiel wäre \(C(\mathbb{R})\). Das ist ja der Raum der stetigen Funktionen auf ganz \(\mathbb{R}\).
Hat da jmd ein Bsp?

Generell kann man doch sagen, dass punktweise Konvergenz bedeutet, dass eine Folge punktweise gegen eine Funktion konvergiert,  also dass die Folge dann aussieht wie die  Funktion  oder was soll das  bedeuten?

GlG



PS:  hat evtl jmd ein Beispiel mit "Rechnung" UND Graf?, damit ich mir das iwie vorstellen kann

GlG




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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-08-08


Hallo
dass man eine Funktionenfolge auf einem festen Intervall ansieht , hier [0,1] ist halt das Beispiel, das mit f_n=x^n ist ein Beispiel dafür, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, aber die Grenzfunktion nicht stetig ist.
die Graphen von x^n die sich immer mehr der x-achse anschmiegen kannst du doch selbst plotten?
auf ganz RR kannst du ja mal   fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
bis dann, lula
 


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Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-09


Hallo lula,
danke für die Antwort, ich habe die Funktionenfolge nun mal gezeichnet und jetzt ein etwas besseres Verständnis.


Ein weiteres Beispiel - für punktweise Konvergenz - war bei uns:

X = C(Ω) := {f : Ω → R stetig} mit Ω ⊂ R
d offen.

Dieser Raum ist wohl auch lokalkonvexer Raum.

Was ist das denn für ein Raum?
ist Omega der Maßraum?

Kann mir jmd hierfür auch ein Beispiel geben?

Ich habe die Vorlesung gewählt  habe aber  Maßtheorie nicht besucht und deshlab nun große Schwierigkeiten.

GlG



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