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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-08-12


Gegeben sei eine Reihe von 10 aufeinanderfolgenden Gliedern aus der arithmetischen Folge 2k-1, von denen 7 Primzahlen sind.

Leiten Sie daraus  die Aussage ab: Die 10 muß sich als Summe zweier verschiedener PZ darstellen lassen.

Hilfestellung:



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BerndLiefert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-08-12


Hallo,

die Zehn ist GNP (gerade Nichtprimzahl). Die Sieben PZ sind nicht alle größer, also muss eine davon kleiner sein. Man kann jetzt eine der größeren addieren und hat Zehn.

Das lässt sich auch sehr leicht grafisch an der von dir geposteten Tabelle ablesen.



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-12


2018-08-12 17:55 - BerndLiefert in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,
Das lässt sich auch sehr leicht grafisch an der von dir geposteten Tabelle ablesen.

Wo genau liest Du das ab?


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-08-12


Hallo Bekell,
hast du mal ein Beispiel für solch eine Reihe von 10 aufeinanderfolgenden Gliedern aus der arithmetischen Folge 2k-1, von denen 7 Primzahlen sind? (Am besten eine, die nicht gerade mit 1, 3 oder 5 beginnt.)



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-12


2018-08-12 18:24 - StrgAltEntf in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo Bekell,
hast du mal ein Beispiel für solch eine Reihe von 10 aufeinanderfolgenden Gliedern aus der arithmetischen Folge 2k-1, von denen 7 Primzahlen sind? (Am besten eine, die nicht gerade mit 1, 3 oder 5 beginnt.)

Haha, es gibt nur diese eine, weil es in zwei aufeinanderfolgenden Dekaden nicht  2 mal denselben PZ-Zwilling geben kann. (P; P+2)

Im Übrigen verweist auch die PZ-Summe 10, um die es geht auf eine niedrige Lage der Reihe....

Aber meine Frage ist noch offen. Es soll ja die additive PZ Zerlegung der Zehn zwingend abgeleitet sein.


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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-08-12


2018-08-12 18:32 - Bekell in Beitrag No. 4 schreibt:
2018-08-12 18:24 - StrgAltEntf in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo Bekell,
hast du mal ein Beispiel für solch eine Reihe von 10 aufeinanderfolgenden Gliedern aus der arithmetischen Folge 2k-1, von denen 7 Primzahlen sind? (Am besten eine, die nicht gerade mit 1, 3 oder 5 beginnt.)

Haha, es gibt nur diese eine, weil es in zwei aufeinanderfolgenden Dekaden nicht  2 mal denselben PZ-Zwilling geben kann. (P; P+2)

Die Antwort verstehe ich nicht. Unter 10 aufeinander folgenden ungeraden Zahlen sind mindestens 3 durch 3 teilbar und 2 durch 5 teilbar. Es ist aber höchstens eine durch 3 und durch 5 teilbar. Somit sind maximal <math>10-3-2+1=6</math> Zahlen weder durch 3 noch durch 5 teilbar. Unter 7 von 10 aufeinander folgenden ungeraden Zahlen ist also eine dabei, die durch 3 oder 5 teilbar ist.
Wenn also 7 von 10 aufeinander folgenden ungeraden Zahlen Primzahlen sind, so ist die kleinste dieser Primzahlen 3 oder 5. In jedem Fall ist aber 5 unter diesen Primzahlen.


Im Übrigen verweist auch die PZ-Summe 10, um die es geht auf eine niedrige Lage der Reihe....

Aber meine Frage ist noch offen. Es soll ja die additive PZ Zerlegung der Zehn zwingend abgeleitet sein.

Hier genügt es eigentlich, dass 5 eine der 7 Primzahlen ist, da <math>10=5+5</math> ist.



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-12


2018-08-12 19:00 - ochen in Beitrag No. 5 schreibt:

Aber meine Frage ist noch offen. Es soll ja die additive PZ Zerlegung der Zehn zwingend abgeleitet sein.

Hier genügt es eigentlich, dass 5 eine der 7 Primzahlen ist, da <math>10=5+5</math> ist.

ich hatte gemeint und geschrieben "als Summe zweier verschiedener PZ ...."


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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-12


(2018-08-12 19:00 - ochen in
(2018-08-12 18:32 - Bekell
Haha, es gibt nur diese eine, weil es in zwei aufeinanderfolgenden Dekaden nicht  2 mal denselben PZ-Zwilling geben kann. (P; P+2)
Die Antwort verstehe ich nicht.

Die Struktur der arithmetischen Folgen 10k+7 und 10k+9 bedingt, daß es einen PZ-Zwilling 7-9 nicht in zwei aufeinanderfolgenden Dukaten geben kann, weil die durch 3 teilbaren Elemente jeweils invers positioniert sind.



Unter 10 aufeinander folgenden ungeraden Zahlen sind mindestens 3 durch 3 teilbar und 2 durch 5 teilbar. Es ist aber höchstens eine durch 3 und durch 5 teilbar. Somit sind maximal <math>10-3-2+1=6</math> Zahlen weder durch 3 noch durch 5 teilbar. Unter 7 von 10 aufeinander folgenden ungeraden Zahlen ist also eine dabei, die durch 3 oder 5 teilbar ist.
Wenn also 7 von 10 aufeinander folgenden ungeraden Zahlen Primzahlen sind, so ist die kleinste dieser Primzahlen 3 oder 5. In jedem Fall ist aber 5 unter diesen Primzahlen.

Das ist richtig aber kompliziert gedacht. Der Leser sollte draufkommen, daß es sich nur um die ersten 10 ungeraden Zahlen handeln kann....

Noch fehlt aber der Beweis ...




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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-08-12


Bekell,
möchtest du uns hier einfach nur ein wenig veralbern, oder bist du tatsächlich der Ansicht, hier eine Knobelei gestellt zu haben?



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Bekell
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2018-08-12 23:36 - StrgAltEntf in Beitrag No. 8 schreibt:
Bekell,
möchtest du uns hier einfach nur ein wenig veralbern, oder bist du tatsächlich der Ansicht, hier eine Knobelei gestellt zu haben?

Ja, es scheint wieder mal schwer, meine Intention rüberzubringen. Es geht mir darum, nichtnumerisch den Nachweis zu erbringen, daß die Zehn eine Zahl ist, die sich different-PZ-additiv zerlegen lassen muß, was z.B. von der 4 nicht gilt.
Der Weg führt über die Anzahl der Ergebnisse, der Additionen und Summanden und der beteiligten PZ aus der Tabelle.
Die allgemeine Frage: Wie kann man überhaupt beweisen, daß sich eine Zahl x bzw. eine Reihe gerader Zahlen aus einer Folge kx, die zwischen da und dort liegt,  different-PZ-additiv zerlegen lässt.

Beispielgedankengang

Mit den 10 ersten ungeraden Zahlen kann man unter Verwendung von  je zwei verschiedenen davon laut Dreieckszahl 45 Ergebnisse additiv erreichen. Unter den 10 ersten ungeraden Zahlen sind 7 PZ und 3 ZZ. Folglich gibt es 3 (1+2) Ergebnisse zZ+zZ, 21 (1+2+3+4+5+6) Ergebnisse Pz+Pz und 3*7=21 Ergebnisse gemischt (pZ+zZ). Das höchstmöglichste differentsummandig-additive Ergebnis ist 36 (17+19) das kleinste 8 (5+3).

Einschließlich der beiden Grenzzahlen 36 und 8 sind das 15 gerade Zahlen, die als Ergebnis einer Addition zweier ungerader primSummanden auftauchen können. Hiervon muß noch die 34 herausgenommen werden, weil sie nicht als Ergebnis zweier ungleicher PZ kleiner 20 darstellbar ist. So bleiben 14 gerade Zahlen, die als Ergebnis jeweils einer Addition zweier verschiedener PZ darstellbar sind.

Lässt sich jetzt beweisen, daß aufgrund unserer Angaben genau jede gerade Zahl zwischen 37 und 7, das sind 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32 und 36 = 14 Stück, mindestens einmal additiv als Ergebnis zweier ungleicher Pz kleiner 20 dargestellt wird?

Wir wissen, sollten 2 Ergebnisse identisch sein, müssen 4 verschiedene Summanden daran beteiligt sein.

21 additive Ergebnisse haben 42 Summanden, auf 7 verschieden PZ aufgeteilt, macht das einen sechsmaligen Gebrauch/Pz

Mit 7 verschiedenen Pz kann man maximal ein Ergebnis 3 mal erreichen, wobei von den 42 Summanden 6 verbraucht werden, da die Summanden notwendig verschieden sind. Es bleiben nur noch 36 Summanden und 6 PZ mit 5-maligen Gebrauch und 1 PZ mit 6-maligem Gebrauch.

Es bleibt also von den 14 verschiedenen geraden Ergebnis Zahlen nur noch 13, und von den  21 Additionen nur noch 18.

Frage: Wieviel gerade Zahlen kann man genau als Ergebnis zweier und nur zweier verschiedener PZ kleiner 20, von denen 6 5mal und 1 7mal benutzt werden dürfen, zweimal additiv darstellen?

Die doppelte additiv-differente Darstellung ein und derselben geraden Zahl erfordert 4 verschieden Summanden.

Wenn man 5 DoppelErgebnisse mit 4 Summanden ausstattet, gehen 20 Summanden drauf. Es müssen 4 verschiedene Summanden pro Doppelergebnis sein.

Von den 18 Additionen bleiben 18-(5*2) Doppelergebnisse = 8 Einzelergebnisse mit 36 - 20 = 16 Summanden. Es muß also zwischen 7 und 37 noch 8 gerade Zahlen geben, die sich pz-diifferent-additiv darstellen lassen.

Soviel zur Verteilung der Additionen.

Wie kommt man jetzt auf die einzelnen Zahlen, also welche Ergebnisse mit welchen geraden Zahlen zu verbinden sind. Man nimmt die Summe aller Zahlen des Bereiches, 1-19 = 100, teils durch 4! (wegen der ungeraden Zahlen). Dort liegt die gerade Zahl mit den 3 additiven Zusammensetzungen. Da es eine gerade Zahl sein muß, ist es die 24. Warum nicht die 26? Die könnte es auch sein,  lassen wir das für unsere Frage in der Schwebe. Wir wissen, es handelt sich bei der Verteilung der Ergebnisse, wenn man unsere Einengung, daß 2 mal dieselbe PZ als Ergebnis (quadratlive Addition) nicht gewertet als wird, außen vor lassen, um eine symmetrische Glockenkurve. Wir wissen, daß es nur 1-er, 2-er und 3-er Lösungen gibt, daß die mit den meisten Ergebnissen in der Mitte liegt und die Lösungen mit nur einer Gleichung am Rand und wir wissen die Anzahl der Lösungen. Dass es nämlich 8 1-er Lösungen sind. Wenn wir die symmetrisch aufteilen, mit einer Unsicherheit von 1, dann wissen wir, daß zumindest die 8, die 10 und die 12, sowie die 36 und die 32 als Ergebnis einer different-Pz-Addition existieren müssen. Das heißt, diese Zahlen muß man additiv in 2 nichtgleiche PZ zerlegen können.

was innumerativ zu beweisen war ....



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GrafZahl
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2018-08-12 23:31 - Bekell in Beitrag No. 7 schreibt:

Das ist richtig aber kompliziert gedacht. Der Leser sollte draufkommen, daß es sich nur um die ersten 10 ungeraden Zahlen handeln kann....

Noch fehlt aber der Beweis ...



Hm,

wo ist dann mein Fehler ?

5     prim
7     prim
9     = 3 * 3
11    prim
13    prim
15    = 3 * 5
17    prim
19    prim
21    = 3 * 7
23    prim

Und da ist die niedrigste Summe verschiedener Primzahlen aus dieser Menge: 12

MfG
Graf Zahl



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Bekell
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2018-08-14 17:50 - GrafZahl in Beitrag No. 10 schreibt:
Hm, wo ist dann mein Fehler ?

dann gibt es tatsächlich 2 solche Reihen .....


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