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Mathematik » Zahlentheorie » Beweis für jede Ziffernfolge in Pi?
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Schule Beweis für jede Ziffernfolge in Pi?
cubeAD
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-08-13


Guten Abend,


viele Internetartikel berichten begeistert über die Tatsache, dass in der Kreiszahl Pi alle Informationen der Menschheitsgeschichte kodiert sind. (Beispiel: www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematik-ist-die-kreiszahl-pi-normal-a-895876.html )

Das hängt selbstverständlich mit der Tatsache zusammen, dass jede endliche lange Ziffernfolge in der Dezimaldarstellung von Pi mindestens einmal vorkommt und dass diese sich in alle möglichen Texte "übersetzen" lassen.

Ich wollte mich nun nach einem formalen Beweis für diesen Zusammenhang erkundigen, habe aber leider nichts dazu gefunden:

Warum folgt aus der Nicht-Periodizität einer irrationalen reellen Zahl die Tatsache, dass jede endlich lange Ziffernfolge mindestens einmal in dessen Dezimaldarstellung vorkommt?


Ich wünsche weiterhin einen schönen Abend!

mit besten Grüßen,
cubeAD



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-08-13


2018-08-13 23:38 - cubeAD im Themenstart schreibt:
Warum folgt aus der Nicht-Periodizität einer irrationalen reellen Zahl die Tatsache, dass jede endlich lange Ziffernfolge mindestens einmal in dessen Dezimaldarstellung vorkommt?



Das folgt nicht daraus, weil es nicht stimmt.


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Primzahlen sind auch nur Zahlen



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-08-13


Hallo cubeAD,

wenn du den Spiegelartikel aufmerksam liest, dann erfährst du, dass es keineswegs bewiesen ist, dass Pi "normal" ist, dass darni also jede Zeichenfolge irgendwann vorkommt.

Eine irrationale Zahl weist diese Normalität i. A. erst einmal nicht auf.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Kezer
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Mitteilungen: 175
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-08-13

\(\begingroup\)
2018-08-13 23:38 - cubeAD im Themenstart schreibt:
Warum folgt aus der Nicht-Periodizität einer irrationalen reellen Zahl die Tatsache, dass jede endlich lange Ziffernfolge mindestens einmal in dessen Dezimaldarstellung vorkommt?

Hi,

zum Beispiel ist $0.10110111011110 \dots$ irrational und offensichtlich stimmt deine Aussage nicht  smile

Übrigens ist nicht bekannt, ob tatsächlich jede endliche Ziffernfolge in $\pi$ auftaucht.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei
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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-08-13


Ich würde das nicht so hoch hängen.

Die Geschichte ist gewesen und da kann man immer etwas hinbiegen , das es passt. Ist auch die Zukunft in Pi ? Was ist bei Dekodierfehlern ?
Lasst das Pi in Ruhe :-)

Genauso kann man behaupten, alles ist in e oder in speziellen Cosinus oder Sinuswerten enthalten...sind ja auch eine Art Reihenentwicklung....ins unendliche führbar.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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Primentus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-08-14

\(\begingroup\)
Hallo cubeAD,

ich persönlich zweifle es an, dass Pi wirklich jede beliebige Ziffernfolge enthält, wie etwa ganze Bücher, wenn man sie in Zahlen codieren würde.
Denn wirklich jede Information zu enthalten würde z. B. auch bedeuten, dass irgendwo $10^{100}$mal hintereinander die Ziffer 7 vorkommen müsste und das kann ich mir nur schwer vorstellen. Es wurden ja schon Untersuchungen gemacht, bei denen herauskam, dass die Ziffern von Pi so gut verteilt sind, dass es wie Zufall wirkt, d. h. dass die Ziffernfolge in Pi als brauchbare Grundlage für einen Zufallsgenerator verwendet werden könnte und den bekannten sonstigen Pseudozufallszahlengeneratoren fast in nichts nachsteht. Aber Pi wäre schon ein merkwürdiger Zufallsgenerator, wenn es so oft hintereinander die gleiche Ziffer hervorbringen würde. Also passt das nicht zusammen.

Aber dass doch nicht jede beliebige Ziffernfolge vorkommt, kann ich genauso wenig beweisen wie dass ich beweisen könnte, dass das Gegenteil der Fall ist.

LG Primentus

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-08-14

\(\begingroup\)
2018-08-14 00:01 - Primentus in Beitrag No. 5 schreibt:
Denn wirklich jede Information zu enthalten würde z. B. auch bedeuten, dass irgendwo $10^{100}$mal hintereinander die Ziffer 7 vorkommen müsste und das kann ich mir nur schwer vorstellen.

Hallo Primentus,

wenn man von einem echten Zufallszahlengenerator ausgeht, der die Ziffern 0,1,...,9 erzeugt, dann ist die 7 nach 10 Ziffern zu erwarten. Bis zur 77 muss man durchschnittlich 2*100 mal warten. Bis zur 777 dauert es 3*1000 mal usw. (Tatsächlich geht es sogar schneller, aber die Berechnung ist mir jetzt zu kompliziert wink )

Für 10^100 Siebenen braucht es erwartungsgemäß weniger als 10^100*10^(10^100) Ziffern.

Pi hat unendlich viele Ziffern - das sind ganz schön viel!
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AnnaKath
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Mitteilungen: 2903
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-08-14

\(\begingroup\)
Ich würde keinem Zufallsgenerator trauen, der nicht $10^{100}$-mal in Folge die Zahl $7$ erzeugen könnte... lg, AK.
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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-08-14

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2018-08-14 00:28 - AnnaKath in Beitrag No. 7 schreibt:
Ich würde keinem Zufallsgenerator trauen, der nicht $10^{100}$-mal in Folge die Zahl $7$ erzeigen könnte... lg, AK.

Wie man's nimmt ... vermulich existiert bis dahin das Universum nicht mehr ... oder die Herstellergewährleistung ist abgelaufen wink
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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-08-14


Huhu,

siehe auch hier. Eine nette Geschichte hat Qiaochu Yuan in Antwort 2 verlinkt. Dort geht es um die Bibliothek von Babel, leider ist sie recht groß - man muss also bei der Recherche etwas Glück haben.

Gruß,

Küstenkind



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-08-14


Womit wir wieder hier wären:
dilbert.com/strip/2001-10-25

Aber im Ernst, das zeigt wie wichtig es ist, Dinge mal zu hinterfragen :)


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to fight! (Don Quijote de la Mancha)



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-08-14


Ich würde mir da keine Gedanken machen. Jede Stelle in Pi ist immer derselbe Wert. Von Zufall kann ja keine Rede sein, weil diese beliebige Position aus einer Reihenentwicklung her entstanden ist..also einer Bildungsvorschrift.

Auch sowas passiert: Der Feynman-Punkt ist eine Folge von sechsmal der Ziffer 9 ab der 762. Stelle.

Genauso könne man auch Fragen, ob die ersten Primzahlen in Folge bis 1000 in PI zu finden sind , was ist dann bis 1009 ?
(...2357111317192329...991997.......)

Oder nach einem kleinsten billionstelligen Primzahl 10-ling ??

Das sind Fragen, die die Dauer des Universums überstehen.
Das verrückte ist aber, es existiert ein Information darüber...



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-08-14


Ich weiß nicht, wie es um pi steht, aber fast alle reellen Zahlen sind normal, also sollte man vielleicht eher an seiner Vorstellungskraft arbeiten, wenn es daran scheitert. In einer unendlich langen Folge ist nunmal sehr viel Platz.


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⊗ ⊗ ⊗



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Primentus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-08-14

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2018-08-14 00:22 - StrgAltEntf in Beitrag No. 6 schreibt:
2018-08-14 00:01 - Primentus in Beitrag No. 5 schreibt:
Denn wirklich jede Information zu enthalten würde z. B. auch bedeuten, dass irgendwo $10^{100}$mal hintereinander die Ziffer 7 vorkommen müsste und das kann ich mir nur schwer vorstellen.
Für 10^100 Siebenen braucht es erwartungsgemäß weniger als 10^100*10^(10^100) Ziffern.

Pi hat unendlich viele Ziffern - das sind ganz schön viel!

Ja gut, im Vergleich zur Unendlichkeit sind Zahlen wie 10^100 oder 10^100*10^(10^100) zwar immer noch lächerlich klein, aber ich halte mir da immer vor Augen, dass es ca. 10^80 Atome im Weltall geben soll, so dass man sagen kann, dass einem von Zahlen, die jenseits der Anzahl Atome im Weltall liegen, eigentlich schon regelrecht schwindelig werden müsste. Man muss wohl begreifen, dass Unendlich etwas so großes ist, dass man es sich eigentlich gar nicht mehr vorstellen kann. Aber ein Zufallsgenerator soll immer noch ein Zufallsgenerator sein, obwohl er noch öfter hintereinander die gleiche Ziffer generiert als es Atome im Weltall gibt? Das ist zwar theoretisch denkbar, aber praktisch irgendwie nur noch schwer vorstellbar. Das bringt mein Verständnis von Zufall ehrlich gesagt schon ein bisschen durcheinander.

@Kuestenkind:

Sehr schönes anschauliches Beispiel diese Bibliothek von Babel - gefällt mir!

@gonz:

Lustiger Comic - aber er verdeutlicht sehr gut, dass der Zufall etwas sehr tückisches sein kann! Jetzt könnte man natürlich fragen "was ist Zufall?" und würde dann wohl im Philosophischen landen.

LG Primentus
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Bernhard
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-08-14


Hallo!

2018-08-13 23:38 - cubeAD im Themenstart schreibt:
Warum folgt aus der Nicht-Periodizität einer irrationalen reellen Zahl die Tatsache, dass jede endlich lange Ziffernfolge mindestens einmal in dessen Dezimaldarstellung vorkommt?

Das muß noch nicht mal bei Zufallsfolgen sein.

Man könnte z.B. auch aus Pi. alle Einsen oder alle geraden Ziffern herausnehmen. Wenn man annimmt, daß es sich um eine Zufallsfolge handelt, dann sind die ja auch zufallsverteilt und es bleibt danach ebnfalls eine Ztufallsfolge.

Falls jetzt die 1 für den Buchstaben A gestanden hat, dann klappt das mit dieser Dekodierungsmethode nicht mehr - dann muß man sich eine neue ausdenken.

Viele Grüße, Bernhard


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"Wichtig ist, daß man nie aufhört zu fragen"
"Weisheit ist nicht das Ergebnis der Schulbildung, sondern des lebenslangen Versuches, sie zu erwerben"
Albert Einstein



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-08-14

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@Bernhard:
Mit "Zufallsfolge" sollte hier gemeint sein: An jeder Stelle kommt jede Ziffer mit gleicher W'keit vor, und die Ziffern sind stochastisch unabhängig voneinander. Dann kommt tatsächlich in einer Zufallsfolge jede beliebige endliche Teilfolge irgendwann einmal vor. (Sprich: mit W'keit 1.)

2018-08-14 00:28 - AnnaKath in Beitrag No. 7 schreibt:
Ich würde keinem Zufallsgenerator trauen, der nicht $10^{100}$-mal in Folge die Zahl $7$ erzeugen könnte... lg, AK.

Blöd nur, wenn die Siebenen alle am Anfang kommen. ... Tatsächlich werden in der Praxis Zufallszahlengeneratoren (RNG) ständig auf "Lebendigkeit" geprüft. In der Praxis erzeugt ein RNG Nullen und Einsen. Wenn der RNG so-und-so-oft (die genaue Zahl weiß ich nicht) nur Nullen oder nur Einsen produziert, gibt es eine Alarmmeldung, und das Gerät (etwa ein Kryptogerät) verweigert weitere Arbeit.
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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-08-15

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Huhu StrgAltEntf!

2018-08-14 23:55 - StrgAltEntf in Beitrag No. 15 schreibt:
Blöd nur, wenn die Siebenen alle am Anfang kommen. ... Tatsächlich werden in der Praxis Zufallszahlengeneratoren (RNG) ständig auf "Lebendigkeit" geprüft. In der Praxis erzeugt ein RNG Nullen und Einsen. Wenn der RNG so-und-so-oft (die genaue Zahl weiß ich nicht) nur Nullen oder nur Einsen produziert, gibt es eine Alarmmeldung, und das Gerät (etwa ein Kryptogerät) verweigert weitere Arbeit.
Ein realer Zufallszahlengenerator, der millionenfach das gleiche Resultat erzeugt, erschiene mir genauso "praktisch unbrauchbar" wie vermutlich den meisten Menschen und auch den automatischen Kontrollmechanismen.

Wir sprechen hier aber doch von abstrakten Konzepten.

Physikalische Objekte, die uns wie Kreise/Kugeln erscheinen, besitzen sicherlich ebenfalls ein anderes Verhältnis von Umfang zu Durchmesser als $\pi$, unendlich lange Zufallsfolgen gibt es schlicht nicht (lassen wir Platon für diese praktischen Überlegungen in Frieden ruhen); das abstrakte Konzept enthält allerdings f.s. jede beliebige endliche Folge als Teilfolge. Sonst wäre die einzelnen Folgeglieder nicht unabhängig (oder nicht gleichverteilt).

lg, AK.
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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-08-15


Statt vieler Worte & Vermutungen nur Fakten:

unter BisZuWelcherNKalleStringKombi.htm

findet man die Zahlenfolge und eine passende Näherungsformel, wieviel Nachkommastellen nötig sind, um jede erdenkliche dezimale n-stellige Zahlenfolge in Pi zu finden. Für ein 8stelliges Muster (00000000 ...alle Geburtsdatenkombinationen... 99999999) sind es genau 1816743912.

Bisher deutet nichts darauf hin, dass diese Zahlenfolge plötzlich enden sollte (also dass z.B. ab einer Position plötzlich eine Ziffer nie wieder auftaucht).

Viele LINKs zur Normalität einer Zahl sind auch vorhanden. Entscheidend ist die betrachtete Basis. Bailey und Crandal konnten mit ihren BBP-Formeln (Berechnung einzelner Stellen ohne die vielen Vorgänger mit berechnen zu müssen) einiges erreichen & Bailey glaub bereits fest an die Normalität von Pi.

Für mich reicht zu wissen, dass jedes Buch garantiert mit Pi verschlüsselt werden kann. Ob das auch noch mit Mustern oberhalb Grahams Zahl funktioniert ist praktisch irrelevant, da diese Zahl nicht mal mit Potenztürmen aus "Anzahl der Atome im Weltall" darstellbar ist.

Und da hier auch schon die Unendlichkeit von Primzahlen angesprochen wurde: es gibt eine untrennbare Verbindung von Primzahlen und Pi:
Kreiszahlalgorithmen ab §3e1.
Warum sollte sich hier plötzlich ganz weit draußen was ändern...



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2018-08-15

\(\begingroup\)
2018-08-15 06:43 - AnnaKath in Beitrag No. 16 schreibt:
Ein realer Zufallszahlengenerator, der millionenfach das gleiche Resultat erzeugt, erschiene mir genauso "praktisch unbrauchbar" wie vermutlich den meisten Menschen und auch den automatischen Kontrollmechanismen.

Wir sprechen hier aber doch von abstrakten Konzepten.

Physikalische Objekte, die uns wie Kreise/Kugeln erscheinen, besitzen sicherlich ebenfalls ein anderes Verhältnis von Umfang zu Durchmesser als $\pi$, unendlich lange Zufallsfolgen gibt es schlicht nicht (lassen wir Platon für diese praktischen Überlegungen in Frieden ruhen); das abstrakte Konzept enthält allerdings f.s. jede beliebige endliche Folge als Teilfolge. Sonst wäre die einzelnen Folgeglieder nicht unabhängig (oder nicht gleichverteilt).

Volle Zustimmung!

Grüße
StrgAltEntf
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Bernhard
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2018-08-15


Hallo StrgAltEntf!

2018-08-14 23:55 - StrgAltEntf in Beitrag No. 15 schreibt:
@Bernhard:
Mit "Zufallsfolge" sollte hier gemeint sein: An jeder Stelle kommt jede Ziffer mit gleicher W'keit vor, und die Ziffern sind stochastisch unabhängig voneinander. Dann kommt tatsächlich in einer Zufallsfolge jede beliebige endliche Teilfolge irgendwann einmal vor. (Sprich: mit W'keit 1.)

Das verstehe ich schon, aber ist das wirklich ein Argument?
Ist nicht ein gezinkter Würfel, der nicht jedesmal und voraussagbar eine 6 liefert, immernoch ein Zufallsexperiment, wenn auch mit unterschiedlich gewichteten Wahrscheinlichkeiten? Das entspräche etwa dem, wenn ich bei einer Zufallsfolge, wie Du sie oben beschreibst, jede zweite 1 zu einer 6 umschreibe. Kalkulierbar ist sie damit immernoch nicht und alle Ziffern kommen zufällig verteilt über die ganze Folge hinweg von.

Viele Grüße, Bernhard

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2018-08-15


Hallo Bernhard,

das Wort Zufallsfolge ist natürlich ein total schwammiger Begriff. Natürlich kann man jede Ergebnisfolge von nacheinander stattfindenden Zufallsexperimenten als Zufallsfolge bezeichnen. Deswegen schrieb ich "sollte".

Die Vermuutung ist ja, dass sich die Ziffernfolge von Pi scheinbar so verhält, wie ich es beschrieben habe, nämlich als Abfolge von unabhängigen gleichverteilten Zufallsvariablen. (Ist es natürlich nicht, da die Ziffernfolge von Pi deterministisch ist.) Und daraus würde dann aber folgen, dass jede denkbare endliche Teilfolge irgendwann in dieser Folge vorkommt. Ich hoffe, das beseitigt die Unklarheiten smile



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