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Analysis » Funktionen » Ganzzahlige Nullstellen von Polynomen
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Universität/Hochschule Ganzzahlige Nullstellen von Polynomen
leroxxx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-08-14


Hallo, momentan poste ich hier ziemlich oft etwas, woraufhin ich mich erstmal für eure Unterstützung bedanken will!

Ich habe nun aber folgende Aufgabe, bei der ich wieder einfach nicht weiß, wie ich auf die richtige Lösung komme.

Wir benutzen im Folgenden für ganze Zahlen die Notation a|b für die Aussage a teilt b, d.h. es gibt k ∈ Z (ganze Zahlen) mit ak = b. Sie dürfen veerwenden, dass sich jede ganze Zahl eindeutig in Primfaktoren zerlegen lässt.  

I) Wir betrachten in dieser Aufgabe die Polynomgleichung x^n+p1*x^(n-1)+p2*x^(n-2)+..+pn-1*x+pn = 0 mit ganzzahligen Koeffizienten, das heißt es gilt pk ∈ Z für alle k ∈ {1,..n}. Es stehe immer n für den Grad des Polynoms und somit pn für den Absolutkoeffizienten.

a) Zeigen Sie: Wenn x ∈ Z eine ganzzahlige Lösung der Gleichung ist, so gilt x | pn.  

b) Zeigen Sie: Wenn x ∈ Q eine rationale Lösung der Gleichung ist, muss sogar x ∈ Z sein.

Zur a) Mir ist klar, dass ich in dem Term xn+p1*xn-1+p2*xn-2+..+pn-1*x ein x ausklammern muss und begründen muss, dass dann der Term in der Klammer ganzzahlig ist.

Nun habe ich beispielsweise die Form:
x · (x^(n-1)+p1x^(n-2)+p2x^(n-3)+..+pn-1) = -pn.
Muss aber zu:   x·k = pn.

Kann mir da jemand helfen? Vielen Dank vorab!




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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-08-14

\(\begingroup\)
Hallo,

zu a):


Zur a) Mir ist klar, dass ich in dem Term xn+p1*xn-1+p2*xn-2+..+pn-1*x ein x ausklammern muss und begründen muss, dass dann der Term in der Klammer ganzzahlig ist.

Nein. Denn du kannst $x$ gar nicht ausklammern.

Du hast ja:

$x^n+p_{n-1}x^{n-1}+\dotso +p_1x+p_0=0$

Daher kommt $x$ nicht in jedem Summanden vor und wir können $x$ nicht sinnvoll ausklammern so, dass es uns weiterhilft.

Nutze schriftliche Division bzw. Polynomdivision.


a) Zeigen Sie: Wenn $x\in\mathbb{Z}$ eine ganzzahlige Lösung der Gleichung ist, so gilt $x \mid p_0$.

(Bemerke, dass ich es meiner obigen Notation angepasst habe)

Ist die Aufgabenstellung wirklich so gestellt? Also, dass $x\in\mathbb{Z}$ eine ganzzahlige Lösung sein soll?
Wir betrachten ja das Polynom in der Variablen $x$. Daher macht das nicht so viel Sinn, da wir $x$ schon belegt haben. Es ist denke ich eher gemeint, dass etwa $a\in\mathbb{Z}$ eine ganzzahlige Lösung der Gleichung sein soll.

Und da hilft wie gesagt Polynomdivision, oder anders gesagt ausklammern von $(x-a)$.



\(\endgroup\)


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cyrix
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Aus: Flensburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-08-14


Man kann die Aussage schon so formulieren, wie es die Aufgabenstellung aus dem Startbeitrag tut: Für alle <math>x, p_1, \dots , p_{n} \in \mathbb{Z}</math> gilt:

<math>x^n+p_{1} \cdot x^{n-1} + \dots p_{n-1} \cdot x + p_n = 0 \Rightarrow x|p_n</math>.

Auch die Beweisidee ist schon richtig im Startbeitrag gegeben: Es ist

<math>-p_n = x \cdot (x^{n-1} + p_1 x^{n-2} + \dots + p_{n-1})</math>, wobei der Ausdruck in den Klammern aufgrund der Abgeschlossenheit von <math>\mathbb{Z}</math> bezüglich Addition und Multiplikation selbst wieder eine ganze Zahl ist. Also folgt <math>x|(-p_n)</math> und damit natürlich auch <math>x|p_n</math>. qed.

(Natürlich kann man das auch den Term auf der linken Seite der Ausgangsgleichung als Polynom in <math>x</math> auffassen und dann zeigen, dass jede ganzzahlige Nullstelle <math>a</math> davon das Absolutglied <math>p_n</math> teilt. Aber das wäre nur eine unnötige Verkomplizierung der hier zu zeigenden Aussage, auch wenn sie natürlich äquivalent sind.)

Zum Teil b): Stelle <math>x</math> als vollständig gekürzten Bruch <math>\tfrac{p}{q}</math> dar und leite eine analoge Gleichung wie in Teil a) her, in der nur noch ganze Zahlen vorkommen. Was kannst du dann über deren ganzzahligen Lösungen in der Variablen <math>q</math> aussagen?

Cyrix



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leroxxx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-14


Hallo,

vielen Dank für deine ausführliche Rückmeldung!

Ja, die Aufgabe ist extakt so gestellt (also dass, wenn x Element der ganzen Zahlen ist, so gilt: x | pn. Ich werde das dann wahrscheinlich so machen wie du, cyrix, gesagt hast. :)

Zur b)

Wir haben dann also:

fed-Code einblenden

Wäre das so richtig? Oder hab ich das falsch verstanden?


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-08-14


Ja, sorry. Cyrix hat natürlich vollkommen recht.
Ich hatte bei deiner Lösung mit dem ausklammern auch nicht richtig hingesehen und gedacht, dass du falsch ausgeklammert hast...

Bei deinem Ansatz für die b) solltest du einige (Tipp)Fehler gemacht haben.
Magst du das korrigieren?



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leroxxx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-14


Hallo, danke für die Rückmeldung :) Stimmt, ich glaube ich bin da etwas verrutscht:

Eigentlich müsste es also lauten:

fed-Code einblenden

Würde mich über eine Info freuen :)



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cyrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-08-14


Dass in deiner Gleichung kein q mehr vor kommt, sollte dich stutzig machen, insbesondere, weil ich oben direkt danach frage, wie du den Teil a) auf die Variable q deiner neuen Gleichung anwenden kannst und was daraus folgt...

Cyrix



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leroxxx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-15


fed-Code einblenden

So?



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-08-15

\(\begingroup\)
Nein.
Du multiplizierst nach wie vor nicht korrekt mit $q^n$. Du vergisst eigentlich überall den richtigen Faktor $q$.

Du solltest:

$p^n+p_{n-1}p^{n-1}q+p_{n-2}p^{n-2}q^2+\dotso+ p_{2}p^2q^{n-2}+p_1pq^{n-1}+p_0q^{n}=0$

(Ich habe die Indizierung hier wieder geändert, da ich es so übersichtlicher finde, wenn man entsprechend der Potenzen indiziert)

Wieso soll der Term auf der linken Seite nun durch $p$ teilbar sein?
\(\endgroup\)


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leroxxx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-15


Gut, ich habe einen Fehler gemacht. Ich bin davon ausgegangen, dass bei
fed-Code einblenden

Der Term auf der linken Seite müsste durch p teilbar sein, weil wir ja als Voraussetzung gegeben haben "x teilt p_n" und der obere Term ja im Prinzip in Faktoren zerlegt wurden, die mit p_n multipliziert wurden und somit dann wieder durch p teilbar sein muss?



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-08-15

\(\begingroup\)

Der Term auf der linken Seite müsste durch p teilbar sein, weil wir ja als Voraussetzung gegeben haben "x teilt p_n"

[Edit: Ja, in dieser Form können wir ablesen, dass $p|p_nq^n$ gilt. Wir wollen zeigen, dass $\frac{p}{q}\in\mathbb{Z}$. Daher $q\in\{\pm 1\}$]

Wir können die Gleichung auch umschreiben, wenn wir $p^n$ auf die andere Seite bringen.

Dann haben wir:

$p_{n-1}p^{n-1}q+p_{n-2}p^{n-2}q^2+\dotso+ p_{2}p^2q^{n-2}+p_1pq^{n-1}+p_0q^{n}=-p^n$

Wie sieht es nun mit der Teilbarkeit durch $q$ aus?

2018-08-15 09:13 - leroxxx in Beitrag No. 9 schreibt:
Gut, ich habe einen Fehler gemacht. Ich bin davon ausgegangen, dass bei
fed-Code einblenden


Warum sollte das der Fall sein?
Wir multiplizieren mit $q^n$ und haben überall im Bruch eine q-Potenz.

Wichtig ist aber, dass du deinen Fehler siehst.
\(\endgroup\)


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