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Physik » Mathematische Physik » Zerlegung in irreduzible Darstellungen
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Universität/Hochschule Zerlegung in irreduzible Darstellungen
muphys
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 06.08.2017
Mitteilungen: 10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-08-14

\(\begingroup\)
Hi zusammen,

Ich bereite mich gerade auf eine Prüfung zum Thema "mathematische Methoden der Physik" vor und bin dabei auf folgende Aufgabe gestossen, die ich nicht gelöst bekomme:

Aufgabe:

Sei \( \rho : \mathrm{SU}(3) \to \mathrm{GL}(V) \) die Darstellung von \(\mathrm{SU}(3)\) auf dem Raum
\[ V=\left\{ X \in \mathrm{Mat}_{3}(\mathbb{C}) \thinspace | \thinspace \mathrm{Tr}(X)=0 \right\} \] der spurfreien \(3\times3\) Matrizen durch Konjugation
\[ \rho(U):X\mapsto U X U^{-1}, U  \in \mathrm{SU}(3) \]
Zerlegen Sie \(V\) als direkte Summe von irreduziblen Darstellungen der (zu \(\mathrm{SU}(2)\) isomorphen) Untergruppe der Matrizen der Form
\[
\begin{pmatrix}
A & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
, \hspace{0.5cm}
A \in \mathrm{SU}(2)
\]
Meine Ideeen:
Ich weiss was es bedeutet einen Darstellungsraum \(V\) in eine direkte Summe von irreduziblen Darstellungen zu zerlegen. Man findet nämlich (Unter der Voraussetzung, dass die Darstellung vollständig reduzibel ist) "einfach" die unter der Darstellung \(\rho \) invarianten Unterräume, also Unterräume \( W \subset V \), für die \( \forall g \in \mathrm{G} : \rho(g)W \subset W \) gilt. Leider verstehe ich bei dieser Aufgabe nicht einmal genau was gemeint ist mit "[...] als direkte Summe von irreduziblen Darstellungen der Untergruppe der Matrizen der Form [...]". Ich wäre deshalb wirklich sehr dankbar um eine Erklärung, was in der Aufgabe überhaupt gemeint ist und vielleicht auch um einen kleinen Denkanstoss, wie man die Aufgabe lösen könnte.

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!
Muphys
\(\endgroup\)


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