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Universität/Hochschule Halbnormensystem
Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-08-15


Hallo,

es heißt durch eine wachsende Folge von Halbnormen

\(||\centerdot||_1< ||\centerdot||_2....\) wird eine Topologie induziert.

Kann mir  jemand erklären was das heißen soll?

Heißt das, dass durch eine wachsende Folge von Halbnormen eine Topologie entstehen kann?


Gibt es dazu auch iwie ein anschauliches Beispiel?

GlG



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Herijuana
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.05.2014
Mitteilungen: 49
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-08-15


Hey, ich weiß nicht ob ich wirklich dafür qualifiziert bin darauf zu antworten aber vielleicht hilft es ja.

Durch eine Halbnorm kann immer eine Topologie definiert werden indem man diese als die gröbste Topologie definiert bezüglich der die Halbnorm stetig ist. Genauso kann man für eine Familie von Halbnormen die gröbste Topologie definieren bezüglich der jede Halbnorm der Familie stetig ist. Diese kann man konstruieren indem man die Urbilder aller offenen Mengen in den reellen Zahlen unter der Familie von Halbnormen als eine Subbasis wählt und die von dieser Subbasis definierte Topologie betrachtet.

In deinem Fall würde ich vermuten, dass die von dieser Folge von Halbnormen induzierte Topologie wie oben beschrieben gemeint ist. Ich vermute der Sinn der Wahl einer monoton wachsende Folge von Halbnormen ist es der Topologie günstigere Eigenschaften verleihen. Die von einer Halbnorm induzierte Topologie ist zum Beispiel im Allgemeinen nicht hausdorfsch. Ich bin mir nicht sicher aber ich würde mir Bedingungen für lokalkonvexe Röume ansehen.

Anschauliche Beispiele aind in diesem Fall wahrscheinlich schwierig zu finden.

Mit freundlichen Grüßen Herijuana



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bdominik
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 22.05.2017
Mitteilungen: 28
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-10-01


Hey,
Zuerst kann man immer durch eine Halbnorm eeine Halbmetrik bekommen und somit eine Topologie ( eine Menge ist offen, wenn um jeden Punkt eine Halbnorm-Kugel passt).

Hast du mehrere Normen, geht man z.B. meistens, wie bei Lokalkonvexen Räumen wie folgt vor.
Die Topologie wird dann von folgenden Mengrn erzeugt (d.h. beliebige Vereinigung solcher Mengen sind die offenen Mengen:

$$U_{p_1,...,p_n,\epsilon,a}:= \{x\in X \mid \forall k=1,...,n :  p_k(x-a)< \epsilon\}= \bigcap\limits_{k=1}^n B_{\epsilon}^{p_k}(a)$$ $p_1,...,p_n \in \mathcal{P},\epsilon >0,a\in X$ beliebig.
$\mathcal{P}$ sei eine beliebige Mengen von Halbnormen ist und B_{\epsilon}^{p_k}(a) die Kugel mit Radius ε um a bezüglich $p_k$

Die aufsteigende Eigenschaft braucht man also garnicht.



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