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Universität/Hochschule J Ähnlichkeit und Nilpotenz
WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-08-16


Hallo zusammen,

folgende Aufgabe meine ich gelöst zu haben und bräuchte eine kurze Rückmeldung, ob das so korrekt ist:

fed-Code einblenden

Stimmt das so?

viele Grüße
WagW



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TomTom314
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Mitteilungen: 905
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-08-16

\(\begingroup\)
Hallo WagW,

die Idee ist schon gut - bei der Ausführung mußt aber noch ein wenig nachbesser, d.h. statt des char. Polynoms ist es hier sinnvoller mit dem Minimalpolynom zu arbeiten.

Zum Verleich. Die Einheitsmatrix ist NST des Polynoms \(X-1\) und somit Nullstelle jeden Polynoms der Gestalt \(f(X)\cdot(X-1)\). Also gibt schon viele Polynome, die eine bestimmte Matrix als Nullstelle haben kann.
\(\endgroup\)


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WagW
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.02.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-16

\(\begingroup\)
Hi TomTom314,

Danke für Deine Antwort, ich stehe gerade nen bisschen auf dem Schlauch...

2018-08-16 19:32 - TomTom314 in Beitrag No. 1 schreibt:

Zum Verleich. Die Einheitsmatrix ist NST des Polynoms \(X-1\) und somit Nullstelle jeden Polynoms der Gestalt \(f(X)\cdot(X-1)\). Also gibt schon viele Polynome, die eine bestimmte Matrix als Nullstelle haben kann.

In diesem Beispiel zur Einheitsmatrix wäre doch aber das Polynom \(f(X)\cdot(X-1)\) kein charakteristisches Polynom, da es ggf. nicht normiert ist bzw. gar nicht vom Grade n, also der Dimension der Einheitsmatrix wäre. Oder?

Und was meinst Du genau damit, dass man besser mit dem Minimalpolynom arbeiten sollte? Beide Polynome sind doch eindeutig für eine Matrix.

viele Grüße

WagW
\(\endgroup\)


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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-08-16

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Die Polynome $(X+1)(X-1)=X^2-1$ und $(X-1)^2=X^2-2X+1$ sind beide normiert und annulieren die $2\times 2$-Einheitsmatrix. Aber höchstens eines der beiden kann das charakteristische Polynom der Einheitsmatrix sein.
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Dabei seit: 12.05.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-08-16

\(\begingroup\)
Ich bleib zunächst bei der Einheitsmatrix \(E_n\). Wenn Du irgendein Polynom f vom Grad n-1 nimmst, dann ist \(E_n\) Nullstelle von \(f(X)\cdot (X-1)\), d.h. es gibt in diesem Fall unendlich viele Polynome vom Grad n, die \(E_n\) als Nullstelle haben. Das der Punkt, wo dein Beweis kaputt geht. Sei \(\mu_A\) das Minimalpolynom von A.

Falls \(grad(\mu_A)<n\) gilt (was wahrscheinlich/nicht ausgeschlossen ist), kannst Du einfach dieses mit einem Polynom vom Grad \(n-grad(\mu_A)\) multipizieren und erhälst ein Polynom vom Grad n, welches nicht das char. Pol. ist und A trotzdem eine NST ist.

Das Argument mit dem Minimalpolynom. Falls für ein \(f\in\IC[X]\), \(f(A)=0\) gilt, dann folgt daraus \(\mu_A\mid f\), falls außerdem noch \(grad(\mu_A)=grad(f)\) gilt, unterscheiden sind \(\mu_A,f\) nur durch einen konstanten Faktor, d.h. es gibt erheblich weniger Polynome vom Grad \(grad(\mu_A)\), die auch A als NST haben.

Wenn Du jetzt Deine Rechung mit \(\mu_A\) statt \(\chi_A\) durchführst, kannst Du am Ende mit dem obigen Mipo-Argument arbeiten.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\(\endgroup\)


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WagW
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Mitteilungen: 34
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-16

\(\begingroup\)
Ah ok,
ich glaube ich habe das charakteristische Polynom in meinem Kopf falsch "abgespeichert". Es ist einfach nur dasjenige, welches sich aus \(\chi(T)=Det(E_{nn} T -A)\) ergibt und hat dann die Eigenschaft, dass \(\chi(A)=0\). Also kann es in Nuramons Beispiel auch nur (X-1)² sein.

2018-08-16 21:32 - TomTom314 in Beitrag No. 4 schreibt:
falls außerdem noch \(grad(\mu_A)=grad(f)\) gilt, unterscheiden sind \(\mu_A,f\) nur durch einen konstanten Faktor, d.h. es gibt erheblich weniger Polynome vom Grad \(grad(\mu_A)\), die auch A als NST haben.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]

Zum Minimalpolynom noch: Wir haben es bei uns immer als ein normiertes Polynom definiert, also ist es ja dann eindeutig.

Hier noch mal ein neuer Versuch mit dem Minimalpolynom.

fed-Code einblenden

Geht das so?

viele Grüße

WagW
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-08-16

\(\begingroup\)
So hatte mir das vorgestellt smile

Den 0-ten Koeffizienten kannst Du auch in die Summen aufnehmen, da überlicherweise \(A^0 = E_n\) vereinbart ist.
\(\endgroup\)


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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-08-16

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Der Vollständigkeit halber sollte man noch den Fall $m=0$ gesondert betrachten. Für den Schluss, dass alle Koeffizienten der beiden Polynome gleich 0 sind, braucht man nämlich, dass $m>0$ ist.
\(\endgroup\)


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WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-16


Ok, Danke euch beiden :)

viele Grüße

WagW



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WagW hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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