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Mathematik » Topologie » Injektive, stetige, eigentliche Abbildung bereits Homöomorphismus
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Universität/Hochschule J Injektive, stetige, eigentliche Abbildung bereits Homöomorphismus
maddio14
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-08-22


Hallo,

ich habe mir folgenden Satz überlegt und bewiesen. Kann mir jemand bestätigen, dass ich keinen Fehler gemacht habe?


Satz: Seien \(X, Y\) topologische Räume von denen \(Y\) erstabzählbar und hausdorffsch ist. Ferner sei \(f: X \rightarrow Y\) eine injektive, stetige und eigentliche (d.h. Urbilder kompakter Mengen sind kompakt) Abbildung. Dann ist \(f\) bereits ein Homöomorphismus auf das Bild.

Beweis: Der einzige noch zu zeigende Teil ist die Stetigkeit der Abbildung \(f^{-1}: f(X) \rightarrow X\). Da \(Y\) erstabzählbar ist, ist auch der Unterraum \(f(X) \subseteq Y\) erstabzählbar. Insbesondere ist \(f(X)\) kompakt erzeugt. Es genügt daher zu zeigen, dass für jede kompakte Teilmenge \(K \subseteq f(X)\) die Restriktion \(f^{-1}|_K: K \rightarrow f^{-1}(K)\) stetig ist.

Als kompakte Teilmenge von \(f(X)\) ist \(K\) auch kompakt in \(Y\). Da \(f\) eine eigentliche Abbildung ist, ist \(f^{-1}(K) \subseteq X\) kompakt. Damit ist \(f|_{f^{-1}(K)}: f^{-1}(K)\rightarrow K\) eine stetige und bijektive Abbildung auf einem kompakten Raum in einen Hausdorffraum. Bekanntlich impliziert dies bereits, dass \(f|_{f^{-1}(K)}\) ein Homöomorphismus ist. Insbesondere ist die inverse Funktion \(f^{-1}|_K: K\rightarrow f^{-1}(K)\) stetig. Damit ist der Satz bewiesen.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-08-22


Hallo maddio14,

Es genügt daher zu zeigen, dass für jede kompakte Teilmenge \(K \subseteq f(X)\) die Restriktion \(f^{-1}|_K: K \rightarrow f^{-1}(K)\) stetig ist.
Dieser Schritt ist mir nicht klar. Kannst dieses noch etwas erläutern?

Der Rest des Beweises sieht gut aus. Zur besseren Lesbarkeit, hätte ich \(f:X\to Y\) bijekttiv vorgezogen. Dann mußt Du dich im Beweis nicht mehr mit der Unterscheidung f(X) vs Y beschäftigen.



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maddio14
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-22


Danke für die Antwort!

2018-08-22 14:59 - TomTom314 in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo maddio14,

Es genügt daher zu zeigen, dass für jede kompakte Teilmenge \(K \subseteq f(X)\) die Restriktion \(f^{-1}|_K: K \rightarrow f^{-1}(K)\) stetig ist.

Dieser Schritt ist mir nicht klar. Kannst dieses noch etwas erläutern?


Siehe dazu beispielsweise hier:


The continuity of a map defined on compactly generated space X can be determined solely by looking at the compact subsets of X. Specifically, a function f : X → Y is continuous if and only if it is continuous when restricted to each compact subset K ⊆ X.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-08-22


Das ist mir entgangen. Dann habe ich keine Einwände mehr.



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maddio14
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-22


Vielen Dank!



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