Hey, ich weiß nicht was du über die orthogonale Projektion weißt und welche Sätze du zur Verfügung hast aber ich versuchs mal, eine einfache Art das zu zeigen ist:

a)
Eine Projektion ist eine Abbildung für die gilt P^2=P. Die gegebene Abbildung P=A*(A^T*A)^(-1)*A^T ist offensichtlich eine stetige lineare Abbildung mit Bild ran(P)=ran(A). Und es gilt 
P^2=A*(A^T*A)^(-1)*A^T*A*(A^T*A)^(-1)*A^T=A*((A^T*A)^(-1)*A^T*A)*(A^T*A)^(-1)*A^T=A*(A^T*A)^(-1)*A^T=P. 
P ist also eine stetige lineare Projektion.
Außerdem gilt  P^T=(A*(A^T*A)^(-1)*A^T)^T=A*(A^T*A)^(-1)*A^T=P
also ist P selbstadjungiert. Ein bekannter Satz besagt, dass eine stetige lineare Projektion die selbstadjungiert ist eine Orthogonalprojektion ist.

b)
Ich habe das jetzt nicht nachgerechnet aber wenn das stimmt was du ausgerechnet hast, dann kannst du so weitermachen:
Weil für die Orthogonalprojektion P ja gilt P^2=P gilt, gilt Px=x für alle x\el\ ran(A). Wäre also Ax=y dann ist y\el\ ran(A) also müsste gelten Py=y was in deinem Fall nicht zutrifft. Also gibt es keine Lösung.

c)
Hier ist ein z\el\ ran(A) gesucht, sodass norm(z-y) minimal wird. Eine weitere bekannte Eigenschaft der Orthogonalprojektion ist, dass diese genau diese Minimierungsproblem löst. Also suchst du ein x sodass gilt Ax=z=Py=(A*(A^T*A)^(-1)*A^T)y. Also zum Beispiel x=((A^T*A)^(-1)*A^T)y

mfg Herijuana