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Mathematik » Topologie » Homologiegruppe, punktiertes Möbiusband
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Universität/Hochschule Homologiegruppe, punktiertes Möbiusband
Teddyboer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-09-04


Hallo zusammen,

ich möchte folgende Aufgabe lösen:

Let $M$ be the Möbius strip. Show $H_2(M,M-\{x\})\simeq \mathbb{Z}$ for any $x\in\mathbb{Z}$. Pick a generator $\mu_x$ and descibe what happens to $\mu_x$ if one walks along the meridian of the Möbius strip.

Ich habe mir schon den Kopf zerbrochen. Ich dachte erst es gäbe einen Deformationsretrakt von $M-\{x\}$ auf den Rand von $M$. Dann könnte man $M/ S^1 \simeq \mathbb{R}P^2$ nutzen, aber das ist offensichtlich falsch.

Kann mir jemand einen Hinweis geben?



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-04


Hi,

Ausschneidung. Das geht für beliebige Mannigfaltigkeiten.



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Teddyboer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-05


Das passt auch in den Kontext der Aufgabe (bei der vorherigen war Ausschneidung als Tipp angegeben). Ich sehe aber nicht  was man hier ausschneiden sollte.



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-09-05


Es gibt eine offene Umgebung von $x$, die isomorph zu $\mathbb{R}^2$ ist.



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Teddyboer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-05


Ahh ich sehe es. Wähle ich $U$ als offene Umbegung von $x$ in $M$, so kann ich $X-U$ ausschneiden und erhalte
$H_n(M,M-\{x\}) \simeq H_n(U,U- \{x\}) \simeq H_n(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^2-\{0\})$. Aus der langen exakten Sequenz folgt dann $H_2(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^2- \{0\}) \simeq H_{1}(\mathbb{R}^2-\{0\}) \simeq H_{1}(S^1) \simeq \mathbb{Z}$.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-09-05


Genau.



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Teddyboer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-05


Jetzt fehlt mir noch der zweite Teil. Da habe ich auch so meine Schwierigkeiten. Wenn $\delta : H_2(M,M-\{x\}) \rightarrow H_1(S^1)\simeq \mathbb{Z}$ den entsprechenden Isomorphismus bezeichnet, kann ich als Erzeuger das Urbild $\delta^{-1}( [\alpha_w] )$, $\alpha_w(t_0,t_1) = w(1-t_0) := e^{2\pi i\cdot(1-t_0)}$, wählen, bzw. einfach $\delta^{-1}(1)$.

Was ist damit gemeint, dass ich den Erzeuger entlang eines Innenkreises "bewege"?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-09-05


Ein Erzeuger ist sowas wie eine lokale Orientierung. Wenn du einmal rumgehst, kommt die Umgekehrte raus. Also ist das Möbiusband im Gegensatz zum trivialen Geradenbündel über $S^1$ nicht orientierbar.



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Teddyboer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-05


Ok, danke. Das heißt die Beantwortung der Frage ist eher anschaulich als das man versucht das detailliert zu beweisen.



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-09-05


Man kann das auch richtig beweisen, ich wollte nur die Intuition vermitteln.



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Teddyboer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-11


Ich habe mir in Hatchers Buch einen Abschnitt über lokale Orientierungen durchgelesen. Ich würde jetzt gerne beweisen, dass ein ausgewählter Erzeuger $\mu_x \in H_2(M,M-\{x\})$ zu $-\mu_x$ wird, wenn ich einmal um das Möbiusband herum fahre.

Ich versuche einmal meine Verständnisprobleme klar auszudrücken: mir ist nicht klar wie ich sowas wie "einen Weg" zwischen verschiedenen lokalen Homologiegruppen definieren soll.

Ganz konkret: wenn $x,y\in M$ gegeben sind, dann haben die Gruppen $H_2(M,M-\{x\})$ und $H_2(M,M-\{y\})$ a priori nichts  miteinander zu tun. Ich weiß nur, dass ich jeweils Isomorphismen $\phi_x:H_2(M,M-\{x\})\rightarrow \mathbb{Z}$ (analog $\phi_y$) finde.

Wenn ich jetzt $\mu_x = \phi_x^{-1}(1)$ fixiere und $x$ und $y$ durch einen Weg $w:[0,1]\rightarrow M$, $w(0)=x,w(1)=y$ verbinde, dann liefert mir dies noch keine Vorschrift welchen Erzeuger $\mu_{w(t)}$ für $t>0$ darstellen soll.

Hatcher definiert eine Abbildung $p(\mu_x) = x$ für $x\in M$, $\mu_x$ ein Erzeuger, führt eine Topologie auf dem Raum der lokalen Orientierungen ein und zeigt, dass $p$ eine $2$\,-\,blättrige Überlagerung ist.

Dann könnte man lokal Orientierungen auf lokal trivialen Umgebungen festlegen. Das müsste man nur noch geeignet anneinander heften - und dann (mir auch noch unklar wie) feststellen, dass nach einer Umrundung eines Mittelkreises $-\mu_x$ herauskommt.

Aber die Konstruktion der Überlagerung ist doch für die einfache Lösung der Aufgabe etwas viel, daher muss das doch direkter gehen.

Für  eine  Bemerkung wäre ich sehr dankbar:)



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-09-11


Ich hätte es auch so wie Hatcher gemacht, dass das eine Garbe ohne nichttriviale globale Schnitte definiert. Oft finde ich abstrakte Lösungen mit mehr Technik besser als einfache direkte.



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Ex_Mitglied_4018
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-09-14


In der Regel sind abstrakte Argumente vorzuziehen - vor allem dann, wenn die Argumente leichter werden.

In diesem Fall sehe ich nicht ein, warum man den ganzen Apparat der Garbentheorie erst einmal aufbauen muss, damit man am Ende genau die gleichen Argumente benutzt werden können wie wenn man nicht über Garben spricht.

1) Man definiere einen Atlas mit zwei Karten
2) Es gibt nun 2 Möglichkeiten, die Karten zu orientieren. Beide führen nicht zu einer globalen Orientierung.

Übersetzt in die Garbensprache:
1a) definiere die Garbe wie von Hatcher vorgeschlagen
2a) zeige durch ein "Lokal-zu-Global"-Argument, dass diese Garbe keinen nichttrivialen Schnitt enthält.

1a finde ich deutlich aufwendiger als 1, aber 2 nur ein bisschen aufwendiger als 2a. Der Vorteil der Garben-Methode ist, dass man damit etwas über Garben gelernt hat und vielleicht verstanden hat, wie das bei allgemeinen Räumen funktioniert.



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