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Matroids Matheplanet Forum Index » Rätsel und Knobeleien (Knobelecke) » **Konstruktion rechtwinkliges Dreieck Umfang und Innenkreisdurchmesser gegeben.
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Schule **Konstruktion rechtwinkliges Dreieck Umfang und Innenkreisdurchmesser gegeben.
Caban
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Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-09-08 01:21


Hallo

Von einem rechtwinkligem Dreieck ist der Umfang und der Innenkreisdurchmesser gegeben. Gesucht ist ein möglichst einfacher Konstruktionsplan. Viel Spaß!

Die Lösungen können direkt gepostet werden, aber bitte verstecken (Hidebereich)!

Tschüss!



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haribo
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-08 05:17






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Caban
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Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 28
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-08 09:41


Hallo haribo!

Schöne Konstruktion! Ich kann aber noch nicht jeden Schritt nachvollziehen.
Mein eigener Plan geht etwas anders und ist etwas komplexer.

Tschüss!



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-09-08 11:34


2018-09-08 09:41 - Caban in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo haribo!

Schöne Konstruktion! Ich kann aber noch nicht jeden Schritt nachvollziehen.
Mein eigener Plan geht etwas anders und ist etwas komplexer.

Tschüss!

moin caban,
habe die 7 zeichenschritte durchnummeriert, bei welchem haperts?

haribo



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MartinN
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Dabei seit: 05.08.2016
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-09-08 13:12

\(\begingroup\)
So würde ich das machen, mit dem Inkreisradius \(r\) und den Umfang \(u\)

Die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks seien A, B, C; sowie die Höhe h und Fläche F:
\(ur = 2F = Ch \to h = \frac{ur}{C}\\
2C = C + C = C + ((A-r)+(B-r)) = C+A+B - 2r = u - 2r \to C = \frac{u-2r}{2}\)

Daraus ergibt sich:
\(h = \frac{2ur}{u-2r}\)

Oder anders:
\(h:r = (2u):(u-2r)\)

Daher konstruieren wir zuerst die Länge \(h\) über die Strahlensätze, etwa:
1) Zeichne eine Gerade g durch einen Punkt P
2) Trage von P die Länge r (zu Punkt R) und die Länge u (zu Punkt U) in eine Richtung ab
3) Trage von U zwei mal in Richtung P die Länge r ab (zu Punkt V)
4) Zeichne die Senkrechten auf g durch R und V
5) Trage auf der Senkrechten durch V zweimal u in eine Richtung ab (zu Punkt W)
6) Die Gerade PW schneidet nun die Senkrechte durch R in H
RH hat dann die Länge h

Nun zur Konstruktion des rechtwinkligen Dreiecks ABC:
1) Konstruiere ein Quadrat mit Seitenlänge r und Eckpunkten A'CB'M
- C beinhaltet dabei den rechten Winkel von ABC
- auf A'C liegt A; auf B'C liegt B
- M ist der Inkreismittelpunkt von ABC mit Radius r
2) Zeichne um C einen Kreis mit Radius h
3) Zeichne um M einen Kreis mit Radius r (falls aus 1 nicht schon vorhanden)
- beide Kreise schneiden sich dann im Höhenfußpunkt des Punktes C auf die Seite AB
4) Bestimme einen Schnittpunkt beider Kreise und benenne ihn H
5) Zeichne eine Senkrechte c auf HM durch H
- auf der Senkrechten liegt AB
6) Verlängere die Seiten CA' zu b und CB' zu a (falls aus 1 nicht schon vorhanden)
7) Bestimme den Schnittpunkt von c und b, dies ist der Punkt A
8) Bestimme den Schnittpunkt von c und a, dies ist der Punkt B

Damit sind alle 3 Punkte des Dreiecks ABC konstruiert.
Sicherlich lässt sich die Konstruktion von h mit jener des Dreiecks verbinden, und auch die Konstruktion des anfänglichen Quadrates so machen, dass sich insgesamt Schritte sparen lassen ^^


Edit...
Ach ne, das ist falsch :D
Damit das passt, müsste das rechtwinklige Dreieck auch noch gleichschenklig sein (und da kann man sich den ersten Teil auch sparen)
\(\endgroup\)


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MartinN
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Mitteilungen: 928
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-09-08 13:30


Dann halt anders...

1) Konstruiere h wie in meinem letzten Post
2) Konstruiere die Seite AB des Dreieckes mit der Länge AB = c = u - r/2
3) Zeichne einen Thaleskreis um AB
4) Zeichne eine Parallele zu AB mit Abstand h
5) Die Parallele und der Thaleskreis schneiden sich in C




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Caban
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Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-08 14:53


Hallo Martin,

ich schau mir mal deine Lösung an. Sieht interessant aus!

gruß Cabsn



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MartinN
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Dabei seit: 05.08.2016
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-09-08 16:20





Ich hab das mal gemacht...
1) Punkt A mit Gerade g zeichnen
2) Senkrecht zu g durch A die Gerade f zeichnen
3) Um A auf g und f den Umfang u abtragen, welcher g in B_1 und f in C schneidet (AC = AB_1 = u)
4) Von B_1 in Richtung A zweimal r abtragen (zu B_2 und dann B_3: AB_3 = u-2r)
5) AB_3 halbieren zu M_1 (AM_1 = (u-2r)/2 = c)
6) AM_1 halbieren zu M_2 (Mittelpunkt des Thaleskreises)
7) Kreis k mir Radius AM_2 um M_2 zeichnen = Thaleskreis
8) Von M_1 Richtung A einmal r abtragen (zu D)
9) Senkrecht zu g durch D die Gerade / Senkrechte s zeichnen
10) Gerade / Diagonale d durch M_1 und C zeichnen
11) Schnittpunk von s und d ist dann S, dabei gilt:
- AC : AM_1 = DS : DM_1
- u : c = DS : r
- DS = u*r/c = h
12) Senkrecht zu s durch S die Gerade p (Parallele zu g mit Abstand h) zeichnen
13) Schnittpunkt von p und k sind dann E_1 und E_2

Das gesuchte Dreieck ist dann: AM_1E_1 bzw. AM_1E_2




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Caban
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Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-08 17:41


Hallo Martin

Ich habe jetzt alles nachvollzogen.

Deine Lösung ist richtig gut, besonders die indirekte Begründung mit der Höhe.

Gruß Caban!



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-09-09 15:37


nach nochmaligem nachdenken noch einige schritte weniger...




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Caban
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Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-09 17:17


Hallo Haribo

Diese Konstruktion übrzeugt mich sofort, denn das kann ja leicht mit dem Strahlensart bewiesen werden.

Gruß Caban



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-09-09 17:40


@Haribo
Magst du nochmal die erste Konstruktion begründen... da ist die Hypotenuse klar und das es ein rechtwinkliges Dreieck ist, aber warum soll die Höhe / Umfang (Summe der Katheten = SU) / eine Kathete oder Fläche stimmen... sehe zwar da ein Trapez, aber mit fällt dazu kein zielbringender Satz ein. Und die Koordinaten von C zu berechnen waren mir dann zu kompliziert ^^



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FriedrichLaher
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-09-09 18:29



fed-Code einblenden
P.S.: nachgerechnet habe ich den k nicht aber auf einem riesigen
Geogebrabild sind keine Abweichung des k von der Ortsline erkennbar



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]


-----------------
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung widerspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.  [Vorw. Georg Pólyas Buch "Mathem. und Plausibles Schliessen, B.1 Induktion und Analogie in d. Mathem."]



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-09-09 19:10


2018-09-09 17:40 - MartinN in Beitrag No. 11 schreibt:
@Haribo
Magst du nochmal die erste Konstruktion begründen... da ist die Hypotenuse klar und das es ein rechtwinkliges Dreieck ist, aber warum soll die Höhe / Umfang (Summe der Katheten = SU) / eine Kathete oder Fläche stimmen... sehe zwar da ein Trapez, aber mit fällt dazu kein zielbringender Satz ein. Und die Koordinaten von C zu berechnen waren mir dann zu kompliziert ^^

gerne, es ist eine zweischrittige flächenverschiebung...
um die beiden angesetzten formeln in möglichst wenigen schritten zu verbinden...




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Caban
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Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-09 20:45


Hallo

Interessanter Ansatz mit den Tangentenabschnitten, aber bei dir liest sich das so, dass du die Höhe mit einem  der Tangentenabschnitte gleichsetzt. Das ist meiner Meinung nach aber nicht der Fall.

Gruß Caban



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-09-09 21:09

\(\begingroup\)
Hallo zusammen,
haribos Lösung in #9 stimmt auf jeden Fall, wie man analytisch schnell zeigen kann:

Laut Wiki gelten folgende Formeln für den Inkreis-Radius:
$$r = \frac{a b}{a+b+c} = \frac{a+b-c}2$$Setzt man für den Umfang $u=a+b+c$, erhält man daraus einerseits:
$$(1)\qquad ru=ab$$und
$$(2)\qquad r=\frac u2-c$$
Aus (2) folgt natürlich $c=\frac u2-r$ (das entspricht haribos Konstruktion des Punktes B).
Bezeichne ich in haribos Skizze die Strecke $UH_c$ mit $h$, dann gilt wegen der Fläche des Dreiecks $ab=ch$, und mit Gleichung (1):
$$ru=ch$$ und daraus
$$\frac rc=\frac hu$$Das ist der Strahlensatz, der zu der Konstruktion des Punktes $H_c$ führt.


Ciao,

Thomas
\(\endgroup\)


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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-09-09 21:53

\(\begingroup\)
@Haribo
Okay, doch über die Flächen deine erste Lösung... sehr geschickt ^^


Darf ich die Zusatzaufgabe stellen:
Nun seien die In- und Umkreisradien \(r_i\) bzw. \(r_u\) gegeben.
Konstruieren sie das passende rechtwinklige Dreieck hierzu.
\(\endgroup\)


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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-09-09 22:01


danke monty,
die anordnung des blauen strahl(-ensatzes) fiel mir beim radeln ein...


was uns noch fehlt im moment ist eine elementargeometrische herleitung der formel r=a*b/(a+b+c) , welche ohne frage richtig ist

ich vermute dass geht irgendwie über die heronsche formel, ich habs aber noch nicht gefunden

haribo



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2018-09-09 22:33


Man kann doch jede Ecke des Dreieckes mit den Inkreismittelpunkt verbinden, entlang der Linien aufschneiden und alles aufklappen...

Dann hat man 3 Dreiecke nebeneinander, deren Summe die Fläche ab/2 ist, deren Höhe r ist und deren Grundseite u = a+b+c ist...

Demnach: ab/2 = 1/2 (a+b+c) r
q.e.d.



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-09 23:13


Hallo Martin

Zu deiner Zusatzaufgabe:



Strahl a mit Anfangspunkt A zeichnen.

Von A aus zweimal r_a bzw. c und zweimal r_i abstechen, der hinterste Punkt sei Q.

Quadrat über AQ, dazu Rechteck mit gleicher Fläche und c als Seitenlänge konstruieren.

Von der anderen Seite des Rechtecks wird c abgestochen, der Rest halbiert, dadurch erhält man h.

Thaleskreis über c konstruieren.

Parallele zu a mit Abstand h konstruieren.



Gruß Caban




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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2018-09-09 23:22


ach so einfach? danke schön MartinN



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.18 begonnen.]



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FriedrichLaher
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2018-09-09 23:26


@Caban, #14:

Die Höhe interessiert nicht; es ist der Innkreisradius gleich dem
Tangentenabschnitt vom Scheitel des rechten Winkels zum Berührungspunkt.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]

Nachtrag: Beweis der Ortslinienbehauptung

der Winkel zwischen den Winkelsymmetralen durch A und B; also im
InnkreisMittelpunkt, ist für alle rechtwinkeligen Dreiecke über c
konstant, also ein Peripheriewinkel über der Sehne c.




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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-09 23:41


Hallo Friedrich

Ich hatte etwas falsch verstanden, Jetzt ist alles klar.

Gruß Caban



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-13 23:30


Hallo

Hat jemand noch eine kürzere Version?

Gruß Caban



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2018-09-14 20:06


Ich hab noch eine Lösung für meine Zusatzaufgabe aus #16 :D



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-15 10:17


Hallo Martin

Welche Lösung hast du?

Gruß Caban



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2018-09-15 11:04

\(\begingroup\)
@Caban
Wie wandelst du denn ein Quadrat in ein Rechteck um, dieser Konstruktionsschritt fehlt etwas ^^


Ich hab eher die mathematische Grundlage :D

Gegeben seien der Inkreisradius \(r_i\) und der Umkreisradius \(r_u\).
Dann gilt im rechtwinkligen Dreieck für die doppelten Flächen:
\(r_i \cdot u = a \cdot b \to a + b = u - c = \frac{ab}{r_i} - c\)

Quadrieren wir letzte Gleichung und nutzen \(a^2 + b^2 = c^2\):
\(c^2 + 2ab = \frac{a^2b^2}{r_i^2} - 2\frac{ab}{r_i}c + c^2\\
2 = \frac{ab}{r_i^2} - 2\frac{1}{r_i}c\\
\to ab = 2r_i(c + r_i)\)

Jetzt kann man die Höhe bestimmen - wieder über die doppelte Fläche:
\(a \cdot b = c \cdot h\\
h = \frac{ab}{c} = \frac{2r_i(c + r_i)}{c}\)

Jetzt noch \(c = 2r_u\) einsetzen:
\(h = \frac{r_i(2r_u + r_i)}{r_u}\)

Dies kann man jetzt zur Konstruktion der Höhe verwenden:
\(h : (2r_u+r_i) = r_i : r_u\)


Die entsprechende Konstruktion wäre:
1) Punkt A mit Gerade g konstruieren
2) Auf g in eine Richtung r_u zu B abtragen, dann r_u zu C und schließlich r_i zu D
3) Thaleskreis k um B durch A und C zeichnen
4) Senkrechten u auf B und v auf D zeichnen zu g
5) Auf u von B aus r_i nach oben abtragen zu R
6) Gerade f durch A und R zeichnen
7) f schneidet v in S, dann gilt:
\(\frac{DS=h}{AD} = \frac{BR}{AB}\\
\frac{h}{2r_u+r_i} = \frac{r_i}{r_u}\)
8) Senkrechte s auf S zeichnen zu v
9) s schneidet k im Punkt P

Nun ist ACP das gesuchte rechtwinklige Dreieck mit der Höhe h, rechten Winkel im P (Thaleskreis) und Hypotenuse AC = 2r_u.

\(\endgroup\)


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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-15 19:07


Hallo Martin

Ich habe das standardmäßig über Höhensatz gemacht.

Gruß Caban



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2018-09-16 10:41

\(\begingroup\)
Noch eine kleine Konstruktion für beide Radien:

1) Zeichne einen Punkt A und eine Gerade g
2) Trage von A in eine Richtung erst den Umkreisradius r_u zu F und dann ein weiteres Mal zu B ab
AB = c
3) Zeichne in F die Senkrechte s zu g
4) Trage vom F in Richtung A einmal den Inkreisradius r_i zu M ab, und auf s einmal r_i zu P (man kann auch einen Kreis mit r_i zeichnen)
5) Zeichne die Senkrechte p in P zu s (parallele Gerade zu AB im Abstand r_i)
6) Zeichne den Kreis k mit Mittelpunkt M und Radius MA = r_u - r_i
7) k schneidet s in F. Es gilt nach dem Höhensatz dann: \(d = FD = \sqrt{AF \cdot (2AM - AF)} = \sqrt{r_u \cdot (r_u - 2 r_i)}\)
Dies ist der Abstand zwischen beiden Mittelpunkten (In- und Umkreis) in einem beliebigen Dreieck.
8) Zeichne um F den Kreis d mit Radius FD
9) d schneidet p in M_i, F ist M_u
10) Zeichne um M_i einen Inkreis mit Radius r_i
11) Zeichne die Tangenten von A und B an diesen Inkreis, diese schneiden sich in C und wir haben das gesuchte Dreieck ABC.

\(\endgroup\)


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