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Integration » Lebesgue-Integral » Aufgabe Integrationstheorie
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Universität/Hochschule J Aufgabe Integrationstheorie
saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-09-12




Da die Gleichheit der Integrale laut Voraussetzung für alle halboffenen Intervalle gilt, gilt die Gleichheit somit auch für alle offenen und allen abgeschlossen Intervallen.
Die Borelmengen werden von allen halboffenen, offenen und abgeschlossenen Mengen erzeugt.
Nun wie gehts weiter? Ich habe leider keine Idee.




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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-12

\(\begingroup\)
Hallo saintskamara,

wie es weiter geht ist ein bisschen abhängig davon, was ihr in der Vorlesung gezeigt habt. Ist das Folgende bekannt?

-Sind $\mu, \nu$ zwei endliche Maße auf dem messbaren Raum $(X, \mathcal A)$ und stimmen auf einem schnittstabilen Erzeuger $\mathcal E$ von $\mathcal A$ überein, so sind sie bereits gleich.

-Ist $(X, \mathcal A, \mu)$ ein Maßraum und $f:X \to [0, \infty]$ messbar so ist $\mathcal A \to [0, \infty]$, $A \mapsto \int_A f\, \mathrm d \mu$ ein Maß auf $(X, \mathcal A)$.
\(\endgroup\)


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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-12


Beide Aussagen wurden in der Vorlesung behandelt.



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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-09-12


Die zu zeigende Aussage folgt praktisch direkt daraus - kannst dich ja mal daran versuchen und wenn du nicht weiter kommst Bescheid geben  smile



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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-13

\(\begingroup\)
Also mein Idee wäre nun wie folgt:

Ich definiere zwei Maße $\varphi$ und $\nu$ auf H für die Funktionen f und g.
Nun weiß ich durch den Eindeutigkeitssatz, dass wenn  $\varphi$(H) = $\nu$(H) auf einem durschnittsstabilen Erzeuger gilt, so gilt dies für jedes $\varphi$(B) = $\nu$(B).

Wahrscheinlich ist meine Argumentation nicht gut, jedoch habe ich das Gefühl, das ich verstanden habe wohin du mich mit den zwei Sätzen führen wolltest.
\(\endgroup\)


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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-09-13

\(\begingroup\)
2018-09-13 15:37 - saintskamara in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich definiere zwei Maße $\varphi$ und $\nu$ auf H für die Funktionen f und g.

Das "auf H" macht hier keinen Sinn - du definierst zwei Maße $\varphi, \nu$ auf $\mathcal B(\mathbb R)$ mit den Dichten $f, g$.


Wahrscheinlich ist meine Argumentation nicht gut

Wo bist du dir denn unsicher? Du musst dir nur noch überlegen, auf welchem schnittstabilen Erzeuger von $\mathcal B(\mathbb R)$ $\varphi$ und $\nu$ übereinstimmen und warum $\varphi$ und $\nu$ endlich sind.
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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-14

\(\begingroup\)
Die Borel-$\sigma$-Algebra $\mathcal B(\mathbb R)$ wird unter anderem durch die halboffenen Intervalle $H$ erzeugt. Also gilt $\sigma$(H) = $\mathcal B(\mathbb R)$. Also ist H mein schnittstabiler Erzeuger.
Zur Endlichkeit der Maße, würde ich sagen, dass man dies mit der $\sigma$-Additivität zeigt. Wir haben also: $\sigma$($\bigcup\limits_{x \geqslant 1} A_n $) =  $\sum_{n=1}^\infty$ $\sigma$($A_n$) für $A_n$ $\in$ $\sigma$(H). Warum genau das endlich ist, weiß ich leider nicht.
Edit: Oder reicht es zu sagen, dass das Maß endlich ist, da f bzw. g integrierbar sind?

Wenn ich dann auch die Endlichkeit der Maße gezeigt habe, folgt die zu zeigende Aussage aus dem Eindeutigskeitssatz für endliche Maße.
\(\endgroup\)


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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-09-14

\(\begingroup\)
2018-09-14 11:52 - saintskamara in Beitrag No. 6 schreibt:
Edit: Oder reicht es zu sagen, dass das Maß endlich ist, da f bzw. g integrierbar sind?

Ja  smile

Noch ein paar Kleinigkeiten:


Wir haben also: $\sigma$($\bigcup\limits_{x \geqslant 1} A_n $) =  $\sum_{n=1}^\infty$ $\sigma$($A_n$) für $A_n$ $\in$ $\sigma$(H).

Die Aussage macht so keinen Sinn, was ist $\sigma$, was ist $x$? Die $A_n$ müssen paarweise disjunkt sein.


Die Borel-$\sigma$-Algebra $\mathcal B(\mathbb R)$ wird unter anderem durch die halboffenen Intervalle $H$ erzeugt. Also gilt $\sigma$(H) = $\mathcal B(\mathbb R)$.

Oben benutzt du die Notation $H$ für ein halboffenes Intervall, hier benutzt du $H$ für die Menge der halboffenen Intervalle - beim Aufschrieb solltest du die Notation besser noch ein bisschen anpassen.


\(\endgroup\)


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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-14


Okay, ich weiß bescheid.

Vielen lieben Dank für deine tolle Hilfe.   smile  smile  smile



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