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Analysis » Maßtheorie » Aufgabe Borel-Messbarkeit und Lebesgue-Integrierbarkeit
Thema eröffnet 2018-09-14 17:18 von
saintskamara
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Universität/Hochschule Aufgabe Borel-Messbarkeit und Lebesgue-Integrierbarkeit
TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.40, eingetragen 2018-09-17 13:19

\(\begingroup\)
Hier ist erst einmal eine kleine Latexvorlage für die Fallunterscheidung. Bilder lassen sich schlecht zitieren / ändern. ;)
\[g =
\begin{cases}
n^2\cdot log(n) & x\in ]2^{-n},2^{-n-1}]\ \text{für}\ 1\leq n\leq m\\
0 & x=0
\end{cases}\]
Nun die Details.
1)
Einfache Funktionen sind messbar und der Grenzwert messbarer Funktionen ist messbar. Ist das korrekt?
Zu dieser umgangssprachlichen Formulierung gibt es in Deinem Buch/Skript einen entsprechenden Satz, der dieses genau formuliert. Den mußt Du heraussuchen und die Bedingungen abarbeiten.
2) Die Definition der \(g_m\) geht schon in die richtige Richtung, genügt aber dem Satz nicht (Definitionsbereich der \(g_m\)?)
3)
$g(x) = \lim\limits_{m \rightarrow \infty}{g_{m}(x)}$
Dazu hätte ich gerne eine Berechnung / Begründung.

Wenn Du 3) nachrechnest siehst Du ggf., was bei der Definition der \(g_n\) noch nachgebessert werden muß.
\(\endgroup\)


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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.41, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-17 15:18

\(\begingroup\)
(1) Beziehst du dich eventuell auf diesen Satz?:
Punktweise Grenzwert messbarer Funktionen sind messbar.
Soll ich also zeigen die punktweise Konvergenz zeigen?

Sonst würde mir auch noch der Satz von Beppo Levi einfallen, wo man noch zeigen muss, dass die Folge messbarer Funktionen monoton fallend gegen eine messbare Funktion konvergiert.

(2) $g_{m} : [0,1] \rightarrow \IR$ sollte es sein.

(3) Inwiefern eine Berechnung?
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.42, eingetragen 2018-09-17 17:03

\(\begingroup\)
2018-09-17 15:18 - saintskamara in Beitrag No. 41 schreibt:
(1) Beziehst du dich eventuell auf diesen Satz?:
Punktweise Grenzwert messbarer Funktionen sind messbar.
Soll ich also zeigen die punktweise Konvergenz zeigen?
Ja. Punktweise Konvergenz ist gerade (3). Da gibt es nicht so viel zu rechnen, aber eine Begründug dazu ist schon wichtig.

$g_{m} : [0,1] \rightarrow \IR$ sollte es sein.
Das sehe ich auch so; nur hast Du \(g_n\) nicht vollständig auf ganz [0,1] definiert.
\(\endgroup\)


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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.43, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-17 19:13

\(\begingroup\)
zur (3)

Es ist $g(x) = \sum_{n=1}^\infty n^{2}*log(n)*\mathbf{1}_{]2^{-n},2^{-n-1}]}(x) = \lim\limits_{m \rightarrow \infty}{\sum_{n=1}^m n^{2}*log(n)*\mathbf{1}_{]2^{-n},2^{-n-1}]}(x)} =\lim\limits_{m \rightarrow \infty}{g_{m}(x)}$

nur hast Du $g_{n}$ nicht vollständig auf ganz [0,1] definiert.
Wie meinst du das? Was fehlt denn?
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.44, eingetragen 2018-09-17 19:46

\(\begingroup\)

nur hast Du $g_{n}$ nicht vollständig auf ganz [0,1] definiert.
Wie meinst du das? Was fehlt denn?
Das möchte ich Dir ungerne direkt sagen, da ich möchte, dass Du selbst darauf kommst. Vielleicht meinst Du auch das richtige, hast es aber nur nicht sauber formuliert.

Kannst die Folge \(g_1(1/10),g_2(1/10),g_3(1/10),\ldots)\) vollständig berechnen? Hier sollten dann Zahlen herauskommen.
\(\endgroup\)


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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.45, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-17 19:50

\(\begingroup\)
Meinst du $n \in$ $\IN $?
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.46, eingetragen 2018-09-17 20:00

\(\begingroup\)
Die Frage verstehe ich jetzt nicht. Mir geht es darum, dass Du die Gleichung $g(x) = \lim\limits_{m \rightarrow \infty}{g_{m}(x)}$ für $x=1/10$ einmal ausrechnest, d.h. auf der linken Seite haben wir \(g(1/10)\) und auf der rechten Seite eine Folge reeller Zahlen \((g_n(1/10))_{n\in\IN}\). Für dieses Folge hätte ich gerne die ersten 5-10 Folgenglieder.
\(\endgroup\)


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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.47, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-17 20:40

\(\begingroup\)
$g_{5}(1/10) = 1*log(1)*\mathbf{1}_{]1/2,1]}(1/10)+4*log(2)*\mathbf{1}_{]1/4,1/2]}(1/10)+9*log(3)*\mathbf{1}_{]1/8,1/4]}(1/10)+16*log(4)*\mathbf{1}_{]1/16,1/8]}(1/10)+25*log(5)*\mathbf{1}_{]1/32,1/16]}(1/10)= 16*log(4)*1$,
da $1/10 \in ]1/16,1/8]$ und somit $\mathbf{1}_{]1/16,1/8]}(1/10) = 1$.

$g(1/10) = n^{2}*log(n), 1/10 \in (2^{-n}, 2^{-(n-1)}]$ und das gilt nur für n=4
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.48, eingetragen 2018-09-17 21:28

\(\begingroup\)
Also, worauf ich hinaus wollte:
\[g_m(x):=\sum_{n=1}^m n^{2}*log(n)*\mathbf{1}_{]2^{-n},2^{-n-1}]}(x)\] ist als Defnition für \(g_m\) in Ordnung. Bei
\[g_m(x) :=
\begin{cases}
n^2\cdot log(n) & x\in ]2^{-n},2^{-n-1}]\ \text{für}\ 1\leq n\leq m\\
0 & x=0
\end{cases}\] fehlt dagegen, wie \(g(x)\) auf dem Intervall \(]0,2^{-m-1}]\) definiert ist.

Der andere Punkt ist: Für ein fest gewählte \(x\in[0,1]\) wird die Folge \((g_n(x))_{n\in\IN}\) für hinreichend große n konstant.

Mir sind aber gerade die Hinweise ausgegangen, wie ich Dir dieses näher bringen kann, ohne es Dir direkt zu sagen.
\(\endgroup\)


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saintskamara
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Darauf wäre ich wahrscheinlich nicht gekommen. Ich muss mir das gleich nocheinmal in Ruhe anschauen und nachvollziehen.
Danke



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