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Moderiert von fru MontyPythagoras
Mechanik » Gravitation » ungleichmäßig beschleunigte Bewegung
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Autor
Schule J ungleichmäßig beschleunigte Bewegung
Ailana
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.08.2018
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-09-21


Hallo, ich muss für eine Schularbeit die Zeit berechnen, die ein antriebsloses Raumschiff von einem Lagrangepunkt zu einem es anziehenden Sonnensystem braucht. Gegeben habe ich dafür die Gravitationsbeschleunigung
  fed-Code einblenden
Die Anfangsgeschwindigkeit ist null, die Endgeschwindigkeit 6200m/s, die erreichte kinetische Energie 8,3*10^15J, der Weg 2,43*10^16m, die Masse des Sonnensystems 4,235*10^30kg.
Ich habe es selbst schon versucht, aber es handelt sich ja weder um eine gleichförmige, noch um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, da die Beschleunigung mit abnehmender Entfernung ja immer größer wird. Gibt es trotzdem eine Möglichkeit, die benötigte Zeit zu berechnen? Meine erste Idee war, die Beschleunigungsgleichung in die Formel für die Zeit fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
einzusetzen, da würde dann
fed-Code einblenden
herauskommen. Berücksichtigt diese Formel den Aspekt der ungleichmäßig beschleunigten Bewegung? Oder wenn nicht, gibt es einen anderen Weg?



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Tirpitz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.01.2015
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-21

\(\begingroup\)
Hallo!

Für eine Schulaufgabe finde ich das ungewöhnlich anspruchsvoll.
Wie du schon richtig erkannt hast, ist die Bewegungsfunktion $s(t)=\frac{1}{2}at^2+v_0t+s_0$ nur für konstante Beschleunigungen gültig. Sie ist die Lösung der Bewegungsgleichung mit konstanter äußerer Kraft, d.h. $F=ms''(t)=ma$, mit $s(t_0)=s_0$ und $s'(t_0)=v_0$.

In deinem Fall lautet die Bewegungsgleichung also $s''(t)=G\frac{M}{s^2(t)}$. Nun kenne ich deinen Kenntnisstand im Lösen von Differentialgleichungen nicht. Die Stichwörter wären "Energiemethode", Trennung der Veränderlichen und Integration durch Substitution.
\(\endgroup\)


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MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1425
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-09-21

\(\begingroup\)
2018-09-21 17:07 - Tirpitz in Beitrag No. 1 schreibt:
In deinem Fall lautet die Bewegungsgleichung also $s''(t)=G\frac{M}{s^2(t)}$.

Ähem, lautet sie nicht, bzw. natürlich nur, wenn der Planet und das offenbar kaputte Raumschiff weit und breit allein sind. Ich möchte die Aufmerksamkeit daher noch einmal auf die Formulierung "vom Lagrangepunkt" lenken.

Ciao,

Thomas
\(\endgroup\)


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Tirpitz
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Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 704
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-09-21


Hallo MontyPythagoras,

wie sähe denn dein Vorschlag mit den gegebenen Informationen aus?



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MontyPythagoras
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Dabei seit: 13.05.2014
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-09-21


Hallo Tirpitz,
ich werde aus den Angaben auch nicht schlau. Jedenfalls reichen sie nicht aus, denn es müssten ja zumindest die Massen der beiden "großen" Körper (z.B. Sonne und irgendein Planet) angegeben werden. Auch müsste man dazu sagen, von welchem der 5 Lagrangepunkte wir denn reden, und zu welchem der beiden Körper das Raumschiff denn hin fallen soll. Dann müsste man die Wirkung der Schwerkraft von beiden Himmelskörpern ansetzen (schlimmstenfalls vektoriell), was es schon ganz schön kompliziert macht. Und dann müsste man ja auch noch die Fliehkraft mit einbeziehen, die das Raumschiff wohl auf eine Ellipsenbahn ziehen würde.
Ich habe in der Tat auch Zweifel, dass das noch eine Schulaufgabe wäre. Vielleicht soll es genau so berechnet werden wie von Dir angegeben, aber dann ist der Hinweis auf den Lagrangepunkt eher seltsam.
Last but not least: der Startpunkt ist ja mal locker 2,5 Lichtjahre entfernt. Ich wüsste nicht, wo sich da ein Lagrangepunkt verstecken soll...
Vielleicht kann Ailana doch einmal die Aufgabe im originalen Wortlaut posten?

Ciao,

Thomas



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Tirpitz
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Dabei seit: 07.01.2015
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-09-21


2018-09-21 20:41 - MontyPythagoras in Beitrag No. 4 schreibt:
Hallo Tirpitz,
ich werde aus den Angaben auch nicht schlau. Jedenfalls reichen sie nicht aus, denn es müssten ja zumindest die Massen der beiden "großen" Körper (z.B. Sonne und irgendein Planet) angegeben werden. Auch müsste man dazu sagen, von welchem der 5 Lagrangepunkte wir denn reden, und zu welchem der beiden Körper das Raumschiff denn hin fallen soll. Dann müsste man die Wirkung der Schwerkraft von beiden Himmelskörpern ansetzen (schlimmstenfalls vektoriell), was es schon ganz schön kompliziert macht. Und dann müsste man ja auch noch die Fliehkraft mit einbeziehen, die das Raumschiff wohl auf eine Ellipsenbahn ziehen würde.
Ich habe in der Tat auch Zweifel, dass das noch eine Schulaufgabe wäre. Vielleicht soll es genau so berechnet werden wie von Dir angegeben, aber dann ist der Hinweis auf den Lagrangepunkt eher seltsam.
Last but not least: der Startpunkt ist ja mal locker 2,5 Lichtjahre entfernt. Ich wüsste nicht, wo sich da ein Lagrangepunkt verstecken soll...
Ich ging sogar eher davon aus, dass es sich um ein ganz anderes Sternsystem handeln soll, welches an der Formierung der Lagrange-Punkte unbeteiligt ist. Da keine Angaben über das Lagrange-Punkte-System gegeben sind, habe ich den Begriff geflissentlich ignoriert. Zumal man sicher in keinem Lagrangepunkt liegt, wenn man von einem externen Sternsystem angezogen würde...
Die Angabe der 1-D-Kraftformel und der Vermerk auf "Schule" lassen deshalb auf das einfachst mögliche Rechenmodell schließen, was aber auch nur gerade so an einer numerischen Lösung vorbeischrammt. Für eine Schulaufgabe ist das dennoch völliger Overkill.
2018-09-21 20:41 - MontyPythagoras in Beitrag No. 4 schreibt:
Vielleicht kann Ailana doch einmal die Aufgabe im originalen Wortlaut posten?
Das wird sicher nötig sein.



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-09-21


Hallo Tirpitz,
So ist es. Für Schul-Level ist Deine Formel in Beitrag #1 vielleicht noch machbar. Aber Lagrange-Punkt? Keine Chance.
Mal ganz davon abgesehen, dass sich das Raumschiff an einem Lagrangepunkt ziemlich lange aufhalten kann und wird, denn es sind ja nun einmal genau die Punkte, an denen ein antriebsloses Raumschiff keine gesteigerte Neigung hätte, sich überhaupt irgendwo hin zu bewegen...

Ciao,

Thomas



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Ailana
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.08.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-22


Hallo,

Erstmal danke für die Antworten. Mein Problem ist nicht wirklich eine Schulaufgabe, ich muss für meine 5. Prüfungskomponente eine schriftliche Arbeit schreiben, bei der es sehr grob um bestimmte Raketenantriebsarten geht. Mein Zweitfach ist Mathe, und dafür versuche ich gerade auszurechnen, wie lange mein Raumschiff vom Sonnensystem nach Alpha Centauri brauchen würde. Dafür habe ich das Sonnensystem und Alpha Centauri zu Punktkörpern vereinfacht. Das Sonnensystem hat eine Masse von ungefähr 1,992*10^30kg und Alpha Centauri 4,235*10^30kg. Außerdem habe ich den Weg in zwei Teile aufgeteilt, nämlich den vor und den nach dem dazwischen liegendem Lagrangepunkt (L1). Es ging mir jetzt um den zweiten Teil. Mein Raumschiff (das 4400t Masse hat, wenn das hilft) hatte am Lagrangepunkt gerade noch so viel Geschwindigkeit, dass es ihn wieder verlassen hat, aber eben auch nicht mehr. Nun wird es vom Alpha Centauri-System angezogen, ohne antriebsmäßig etwas zu tun. Das hat nichts damit zu tun, dass das Raumschiff kaputt wäre, aber es soll möglich wenig Treibstoff brauchen. Mein Problem ist jetzt eben, die Zeit auszurechnen, die das Raumschiff für den Weg benötigt.
Ich hatte Differentialgleichungen, aber ich bin nicht im Mathe LK, und Tirpitz Stichwörter kenne ich nicht. Ich habe mir die Energiemethode einmal kurz angeschaut und erstmal nicht verstanden, aber ich werde es wohl trotzdem einmal versuchen. Könntet ihr vielleicht versuchen mir zu erklären, weshalb mein Ansatz nicht funktioniert?
Nochmal vielen Dank

Ailana



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MontyPythagoras
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Mitteilungen: 1425
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-09-22

\(\begingroup\)
Hallo Ailana,
Aha, jetzt werde ich langsam schlau daraus.
Dass Kraft gleich Masse mal Beschleunigung ist, dürfte Dir geläufig sein. Du weißt hoffentlich auch, dass die Beschleunigung die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit ist. Dann solltest Du Tirpitz' Formel eigentlich verstehen, nur dass halt am Lagrangepunkt zwischen den zwei großen Massen zwei entgegengesetzte Kräfte wirken, die sich gerade aufheben. Seien $M_A$ die Masse von Alpha Centauri, $M_S$ die Masse des Sonnensystems, $l$ die Entfernung zwischen den beiden, $s$ der (Rest-)Abstand zu Alpha Centauri und $m$ die Masse des Raumschiffs, dann gilt allgemein:
$$F=\frac{GmM_A}{s^2}-\frac{GmM_S}{(l-s)^2}$$Das Raumschiff wird schließlich von Alpha Centauri angezogen, aber vom Sonnensystem zurückgehalten. Am Lagrangepunkt ist $s_0$ gerade so zu bestimmen, dass sich die beiden Kräfte gerade aufheben, also $F=0$ ist. Das hast Du wahrscheinlich schon gemacht.
Die Kraft auf das Raumschiff ist allgemein nun gerade $F=ma$, wobei $a=-\ddot s$ ist. "Minus" deshalb, weil die Kraft, so wie sie hier angesetzt ist, zu einer Verringerung des Abstands, also zu einer negativen Beschleunigung führt. Dann folgt daraus als zu lösende Differentialgleichung:
$$-\ddot s(t)=\frac{GM_A}{s(t)^2}-\frac{GM_S}{\left(l-s(t)\right)^2}$$Kannst Du eine solche Differentialgleichung grundsätzlich lösen? Deine Lösungswege funktionieren nicht, weil Du in Formeln einsetzt, die nun einmal nicht für beliebige Beschleunigungsverläufe geeignet sind. Die Energiemethode verrät Dir erst einmal etwas über die Geschwindigkeiten an bestimmten Punkten, nicht direkt über die Zeit, aber Du kommst damit direkt auf eine Gleichung, wo Du mit dieser Differentialgleichung nach einmaligem Integrieren auch hinkommst.
Außerdem möchte ich Dich gerne auf meinen Artikel hinweisen, der sich damit beschäftigt, welche immensen Energiemengen notwendig sind, um interstellar zu reisen - quasi als Ernüchterung...

Ciao,

Thomas
\(\endgroup\)


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MontyPythagoras
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Dabei seit: 13.05.2014
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Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-09-22


... ich habe das ganze mal zu Ende gerechnet. Es kommt heraus, wie eigentlich zu erwarten war, dass die Zeit unendlich wird, wenn die Startgeschwindigkeit null ist. Das Raumschiff muss den Lagrangepunkt schon mit einer nennenswerten, nicht vernachlässigbaren Geschwindigkeit verlassen, wenn es irgendwann mal bei Alpha Centauri ankommen will.

Ciao,

Thomas



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-09-22


Hallo Aliana
wie bist du denn bis nach L1 gekommen, da hattest du doch eigentlich schon dasselbe Problem, denn auch da hast du ja schon die 2 Kräfte, du kannst nicht bis zu L1 nur mit Sonne und danach nur mit AC rechnen. also stell uns doch mal deine bisherigen Rechnungen und Überlegungen vor.
Wenn du für eine andere Sache die mathe nicht verstehen musst. kann dir Wolframalpha z.b, die differentialgleichung lösen.
Gruß lula


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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Ailana
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-23


Hallo,
wenn ich das richtig verstanden habe, sollte ich MontyPythagoras' Differentialgleichung lösen und das Ergebnis integrieren?
Leider habe ich die Dauer der ersten Hälfte noch nicht, aus irgendeinem Grund hatte ich beschlossen, mit der zweiten anzufangen.
Meine Überlegung war, erstmal herauszufinden, wie lange meine Raumschiff mit möglichst wenig Treibstoff braucht, und dann die Geschwindigkeit zu erhöhen. Bisher ausgerechnet habe ich den Lagrangepunkt, die bis zum Lagrangepunkt zugeführte und die danach entzogene potentielle Energie, die kinetische Energie bei der Ankunft und die erreichte Endgeschwindigkeit des Raumschiffes. Es wird übrigens mit Antimaterie angetrieben, und da ein Rückflug nicht vorgesehen ist spare ich immerhin schonmal die eine Hälfte der Energie. Ansonsten habe ich deinen Artikel gelesen und daraus mitgenommen, dass die Antwort auf meine Problemfrage wahrscheinlich "Nein, auch ein Antrieb auf Annihilations-Basis ist nicht realistischerweise in der Lage, diese Entfernung zu überwinden" sein wird. Aber soweit muss ich erst einmal kommen.
Was das Lösen der Differentialgleichung angeht, wir hatten Differentialgleichungen einmal kurz im Physik-Unterricht. Ich habe vor, noch einmal in meinen Notizen und wahrscheinlich auch im Internet zu schauen. Wenn ich nicht weiterkomme, frage ich nochmal nach.
Grüße Ailana



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-09-23

\(\begingroup\)
Hallo Ailana,
2018-09-23 12:17 - Ailana in Beitrag No. 11 schreibt:
wenn ich das richtig verstanden habe, sollte ich MontyPythagoras' Differentialgleichung lösen und das Ergebnis integrieren?
Nicht ganz. Wenn Du die von mir angegebene DGL einmal integrierst, kommst Du dahin, wo Du mit dem Energiesatz auch direkt hinkommst. Dann hast Du aber noch nicht die Lösung.
2018-09-23 12:17 - Ailana in Beitrag No. 11 schreibt:
Leider habe ich die Dauer der ersten Hälfte noch nicht, aus irgendeinem Grund hatte ich beschlossen, mit der zweiten anzufangen.
Meine Überlegung war, erstmal herauszufinden, wie lange meine Raumschiff mit möglichst wenig Treibstoff braucht, und dann die Geschwindigkeit zu erhöhen.
Der Weg vom Sonnensystem zum Lagrangepunkt ist mathematisch betrachtet der gleiche wie vom Lagrangepunkt zum Alpha Centauri. Du kannst sogar die Gesamtdauer des Fluges innerhalb eines Integrals berechnen.
Du kannst Dir die Reise des Raumschiffs vorstellen wie eine Flipperkugel, die Du über einen Hügel hinweg zu einem dahinter liegenden Punkt schießen willst: Du gibst ihr eine Startgeschwindigkeit(bzw. Startenergie) mit, sie rollt den Hügel hoch, wird dabei langsamer, rollt auf der anderen Seite wieder hinunter und kommt am Zielpunkt an. Der höchste Punkt des Hügels ist der Lagrangepunkt.
In dem Moment, wo die Kugel die Abschussfeder verlassen und die Startgeschwindigkeit erreicht hat, sind die Weichen gestellt. Bei zu wenig Startenergie schafft die Kugel den Hügel nicht und rollt zurück. Bei ausreichend Startgeschwindigkeit überquert die Kugel den Hügel und schafft es bis zum Zielpunkt. Theoretisch kannst Du die Startgeschwindigkeit genau so bemessen, dass es die Kugel so gerade eben auf den Hügel schafft und oben praktisch liegenbleibt. Das wäre das Minimum an Abschussenergie. Problem dabei: Die Dauer für den Vorgang mit diesem Minimum an Startenergie geht gegen unendlich.
Normalerweise rechnen wir die Lösung nicht vor, sondern geben Hilfe zur Selbsthilfe. Da ich ahne, dass Du große Wissenslücken hast, haue ich Dir jetzt die komplette Rechnung um die Ohren. Versuche sie nachzuvollziehen, und wenn Du Fragen hast, stelle gezielt Fragen zu der betreffenden Zeile.
$$(1)\qquad\ddot s=-\frac{GM_A}{s^2}+\frac{GM_S}{\left(l-s\right)^2}$$$$(2)\qquad\ddot s\dot s=-\frac{GM_A\dot s}{s^2}+\frac{GM_S\dot s}{\left(l-s\right)^2}$$$$(3)\qquad\frac12 \dot s^2=G\frac{M_A}s+G\frac{M_S}{l-s}+c_1$$$$(4)\qquad\frac12 \dot s^2=\frac12v_L^2+GM_A\left(\frac1s-\frac1{s_0}\right)-GM_S\left(\frac1{l-s_0}-\frac1{l-s}\right)$$$$(5)\qquad\dot s^2=v_L^2+\frac{2GM_A}{s_0s}\left(s_0-s\right)-\frac{2GM_S}{(l-s_0)(l-s)}\left({s_0-s}\right)$$$$(6)\qquad M_S=M_A\frac{(l-s_0)^2}{s_0^2}$$$$(7)\qquad \dot s^2=v_L^2+\frac{2GM_A}{s_0s}\left(s_0-s\right)-\frac{2GM_A(l-s_0)^2}{s_0^2(l-s_0)(l-s)}\left({s_0-s}\right)$$$$(8)\qquad \dot s^2=v_L^2+\frac{2GM_A(s_0-s)}{s_0^2}\left(\frac{s_0}s-\frac{l-s_0}{l-s}\right)$$$$(9)\qquad \dot s^2=v_L^2+\frac{2GM_A(s_0-s)}{s_0^2}\cdot\frac{s_0(l-s)-s(l-s_0)}{s(l-s)}$$$$(10)\qquad \dot s^2=v_L^2+\frac{2GM_A(s_0-s)}{s_0^2}\cdot\frac{l(s_0-s)}{s(l-s)}$$$$(11)\qquad \dot s^2=v_L^2+\frac{2lGM_A(s_0-s)^2}{s_0^2s(l-s)}$$$$(12)\qquad \dot s=\frac{\text ds}{\text dt}=-\sqrt{v_L^2+\frac{2lGM_A(s_0-s)^2}{s_0^2s(l-s)}}$$$$(13)\qquad t_f=\intop_0^l\frac1{\sqrt{v_L^2+\frac{2lGM_A(s_0-s)^2}{s_0^2s(l-s)}}}\text ds$$
(13) ist die Formel für die ganze Flugdauer $t_f$, $s_0$ ist die Entfernung vom Lagrangepunkt zu Alpha C und $v_L$ ist die Geschwindigkeit, die das Raumschiff am Lagrangepunkt haben soll. Setzt Du hier $v_L=0$ ein, geht $t_f$ gegen unendlich. Für alle anderen Fälle ist hier Schluss mit lustig. Man kann dieses Integral zwar lösen, aber es ist immens kompliziert. In der Lösung kommen die elliptischen Integrale erster und dritter Art vor.

Ciao,

Thomas
\(\endgroup\)


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Ailana
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-24


Hallo,
Danke für die Antwort, ich habe glücklicherweise eine Lösung gefunden, die ohne die ganzen Integrale auskommt. In einem Schulbuch von mir gibt es eine Beispielaufgabe, bei der ausgerechnet wird, wie lange die Erde bräuchte, um in die Sonne zu fallen, wenn sie keine Tangentialgeschwindigkeit hätte. Dabei geht der Autor vom dritten Keplerschen Gesetz aus, dass er zu
  fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
umstellt. Für das zweite Paar Werte habe ich mir einen Planeten ausgedacht, der Alpha Centauri auf einer Ellipse mit einer 1 Lichtjahr langen großen Halbachse umkreist. Mit dem Ansatz Gravitation ist gleich Radialkraft bin ich auf die Formel
fed-Code einblenden
gekommen und habe mit dieser T_2 ausgerechnet. Der Autor der Aufgabe beschreibt anschließend die Fallstrecke zwischen Erde und Sonne als Ellipse, deren kleine Halbachse gegen Null geht. Dadurch ist fed-Code einblenden , was man nach a umstellen und in die Keplersche Gleichung einsetzen kann. Damit habe ich die Fallzeit nach dem Lagrangepunkt auf etwa 8 Millionen Jahre bestimmt. Ich hoffe das klingt einigermaßen logisch, und nochmal vielen Dank für eure Hilfe!
Grüße Ailana



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-10-24

\(\begingroup\)
Hallo Ailana,
wenn ein Beitrag so anfängt:
2018-10-24 13:59 - Ailana in Beitrag No. 13 schreibt:
ich habe glücklicherweise eine Lösung gefunden, die ohne die ganzen Integrale auskommt. In einem Schulbuch von mir gibt es eine Beispielaufgabe...
dann geht es meistens gruselig weiter...
Diese Berechnung ist haarsträubend. Nicht böse sein, wenn ich das so sage. Die beiden Formeln gehen ja von ganz anderen Voraussetzungen aus, aber eben nicht davon, dass es dort einen Langrangepunkt gibt. Ein solcher existiert ja nur dann, wenn ein weiterer, großer Himmelskörper "in der Nähe" ist. Die beiden von dir verwendeten Gesetzmäßigkeiten funktionieren dann aber nicht.
Ich habe in der Zwischenzeit auch weitergerechnet, wenn es Dich noch interessiert. Das Integral kann man natürlich schon berechnen, aber es sprengt diesen Rahmen, daher nur ein paar Zahlenwerte:
Startgeschwindigkeit von der Erde (also in ca. 150 Mio. km Abstand zur Sonne) sei $v_0$, die Geschwindigkeit am Lagrangepunkt sei $v_L$:
v0                          vL               Gesamtflugzeit
42,152058km/s       0,1m/s        51,50 Mio. Jahre
42,152177km/s       100m/s       8,159 Mio. Jahre
43,322003km/s       10km/s       129713 Jahre
108,52095km/s       100km/s     12981 Jahre
Auffällig ist, wie wenig man die Startgeschwindigkeit erhöhen muss, um die Flugdauer deutlich einzukürzen, wenn die Geschwindigkeit am Langrangepunkt sehr gering ist. Bei niedrigen Geschwindigkeiten verbringt man halt die meiste Zeit in unmittelbarer Nähe des Lagrangepunktes. Deswegen sollte man sehen, dass man da schnell wegkommt...
Aber das setzt sich leider nicht so fort. Bei höheren Geschwindigkeiten kann man feststellen, dass die Gesamtflugdauer in recht guter Näherung einfach dadurch zu berechnen ist, dass man die gesamte Flugstrecke durch $v_L$ teilt (also im Grunde so rechnet, als gäbe es gar keine Sterne in der Nähe). Die Abweichung beträgt bei einem $v_L$ von 100km/s nur etwa 0,0019%, bei 10km/s 0,077%, bei 1km/s 3,276%.

Ciao,

Thomas
\(\endgroup\)


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Ailana
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-25


Hallo Thomas,
Das klingt alles logisch, aber es geht mir glücklicherweise nicht wirklich darum, die tatsächliche Reisedauer zu berechnen, sondern eher darum zu zeigen, dass es ohne zusätzliche Beschleunigung viel zu lange dauert. Daher denke ich, man könnte es näherungsweise trotzdem so rechnen, um anschließend zu sagen, dass es in Realität noch viel länger dauern würde, da das Sonnensystem einen noch zusätzlich in die falsche Richtung zieht und damit abbremst. Danke für die Überlegung, dass die Gravitation bei den benötigten Geschwindigkeiten im Grunde vernachlässigbar ist, das habe ich inzwischen auch vor.
Grüße

Ailana



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Hallo Ailana,
gern geschehen.
Dann viel Erfolg mit Deiner Arbeit.  smile

Ciao,

Thomas



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