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Mathematik » Topologie » Frage zum Tangentialbündel einer Mannigfaltigkeit
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Universität/Hochschule Frage zum Tangentialbündel einer Mannigfaltigkeit
KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-09-22


Hallo,

ich habe mich neulich in Jänich's "Topologie" reingelesen und bin dabei auf ein Paar mir unklare Begriffe gestoßen. Es geht um ein Beispiel aus dem Kapitel zu Vektorbündeln und deren Schnitten (vgl S. 148). Hier der Ausschnitt:



Wir haben folgendes Setting: $M$ ist eine diffbare Mannigfaltigkeit.
Wir betrachten den Raum $X := M \times [0,1]$ und dessen Tangentialbündel(also ins. auch ein Vektorbündel) $E := TX$.

Fragen:

 Was ist hier mit $[0,1]$-Komponente gemeint? Ist das einfach eine diffbare Abbildung $f:[0,1] \times M \to E$?

Und zweitens: Was genau genommen der Standard-Einheitsvektor $\frac{\partial}{\partial t}$ in diesem Kontext?

Intuitiv würde ich das als partielle Ableitung von $f$ nach $t$ im Punkt $(t_0, m_0)$ deuten. Dieser läge dann zumindest in der Faser $E_{(t_0, m_0)}$. Oder ist mit dem Einheitsvektor was anderes gemeint?



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-22


Hallo KarlRuprecht,

2018-09-22 18:26 - KarlRuprecht im Themenstart schreibt:
Was ist hier mit $[0,1]$-Komponente gemeint?

Der Tangentialraum in einem Punkt $(m,t)\in M\times[0,1]=X$ ist die direkte Summe

    $T_{(m,t)}\,X=T_m\,M\oplus T_t\,[0,1]$  .

Mit der "$[0,1]$-Komponente" eines Vektorfelds ist dessen Projektion auf den zweiten Summanden gemeint.

2018-09-22 18:26 - KarlRuprecht im Themenstart schreibt:
Was genau genommen der Standard-Einheitsvektor $\frac{\partial}{\partial t}$ in diesem Kontext?

Das ist der kanonische Basisvektor in $T_t\,[0,1]$, den die Karte

    $[0,1]\ni t\mapsto t$

liefert.

Grüße,
dromedar



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KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-22


Hi,

Danke für deine Antwort.

Also bei 2. ist das sozusagen der Einheitsvektor , der den eindimensionalen Tangentialraum $T_{t_0}\,[0,1]$ bei $t_0$ aufspannt? Wenn ich mich nicht täusche, dann beruht diese "Ableitungsnotation" auf Definition des Tangentialvektors wie hier:

Hier wäre sozusagen das $\gamma: [0,1] \to [0,1]$ genau die Abbildung $t \mapsto t$ und der Einheitsvektor deren Ableitung?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-09-22


2018-09-22 22:31 - KarlRuprecht in Beitrag No. 2 schreibt:
Wenn ich mich nicht täusche, dann beruht diese "Ableitungsnotation" auf Definition des Tangentialvektors wie hier:

Damit hängt das zusammen, aber ich meinte konkret den Begriff der kanonischen Basis zu einer Karte, wie er etwa hier auf Seite 53 definiert wird.



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