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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » Induzierter Homomorphismus
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Universität/Hochschule Induzierter Homomorphismus
Rowena
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.03.2017
Mitteilungen: 16
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-09-23

\(\begingroup\)
Hallo zusammen,

ich beschäftige mich momentan mit einer Aufgabe (es soll gezeigt werden, dass die Gruppe \(G\) residuell endlich ist), dort ist ein Hinweis gegeben den ich nicht ganz verstehe und zwar ist \(G\) die Gruppe, die durch die folgenden zwei Permutationen aus \(S_\mathbb{Z}\) erzeugt wird: \(\pi := (12)\) und \(\sigma(n) := n+1 \). Außerdem sei \(H\) eine endliche Gruppe.
Nun steht da folgender Hinweis:
Jeder Homomorphismus \( \Phi: G \rightarrow H\) induziert einen Homomorphismus \( \Phi': A_n \rightarrow H\).

Meine Frage: Was bedeutet hier "induziert" einen Homomorphismus? Kann ich damit Eigenschaften von \(\Phi\) auf \(\Phi'\) übertragen?

Bisher habe ich rausgefunden, dass \(A_n \subseteq G\), somit würde ich \(\Phi'\) einfach als den Homomorphismus verstehen der entsteht wenn ich \(\Phi \) auf \(A_n\) einschränke... aber eigentlich würde ich gerne den Hinweis benutzten ohne zu zeigen, dass tatsächlich \(A_n \subseteq G\) gilt, da mir der Beweis dazu relativ aufwendig erscheint.

Liebe Grüße,
Rowena.
\(\endgroup\)


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darkhelmet
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2506
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-23

\(\begingroup\)
2018-09-23 14:02 - Rowena im Themenstart schreibt:
Bisher habe ich rausgefunden, dass \(A_n \subseteq G\)

In welchem Sinn? $A_n$ besteht doch zunächst mal aus Permutationen einer $n$-elementigen Menge.
\(\endgroup\)


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Rowena
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.03.2017
Mitteilungen: 16
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-23

\(\begingroup\)
Ich stelle ein Element aus \(A_n\) in \(S_\mathbb{Z}\) dar indem nur die Zahlen von \(\lbrace 1,..., n \rbrace\) permutiert werden und der Rest festgehalten wird. :)
\(\endgroup\)


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helmetzer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.10.2013
Mitteilungen: 1209
Aus: Helmbrechts, Franken
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-09-23


Frage zu dem Hinweis bez. <math>A_n</math>:

Für welches <math>n</math>?
Für alle <math>n \in \IN</math>?




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Rowena
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.03.2017
Mitteilungen: 16
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-23


2018-09-23 15:59 - helmetzer in Beitrag No. 3 schreibt:
Frage zu dem Hinweis bez. <math>A_n</math>:

Für welches <math>n</math>?
Für alle <math>n \in \IN</math>?



Ja, genau. :)



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helmetzer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.10.2013
Mitteilungen: 1209
Aus: Helmbrechts, Franken
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-09-23


Hast du das auch exakt zitiert?



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Rowena
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.03.2017
Mitteilungen: 16
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-23


Ja, mehr steht da nicht. :)



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kurtg
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Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1180
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-09-23

\(\begingroup\)
Kannst du die vollständige Aufgabe posten oder verlinken?

(Ist $A_n \hookrightarrow G$ wirklich so schwer? Die Nachbartranspositionen erzeugen ja die $S_n$, und $3$-Zyklen die $A_n$.)
\(\endgroup\)


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Rowena
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.03.2017
Mitteilungen: 16
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-23

\(\begingroup\)
Oh, da hab ich mich oben vertan, es soll untersucht werden OB die Gruppe \(G\) residuell endlich ist, und das ist nicht der Fall.

2018-09-23 17:15 - kurtg in Beitrag No. 7 schreibt:
(Ist $A_n \hookrightarrow G$ wirklich so schwer? Die Nachbartranspositionen erzeugen ja die $S_n$, und $3$-Zyklen die $A_n$.)

Ja, danke! Damit müsste es viel einfacher gehen. Ich hatte versucht zu zeigen dass eine beliebige Transposition von \(S_n\) in G liegt, aber mit Nachbartranspositionen ist das viel einfacher. Ich denke dann hab ichs. smile
Eine Nachbartransposition kann man so darstellen:
\( (a,a+1) = \sigma^{a-1} \pi \sigma^{1-a} \).

Dann hab ich halt sogar gezeigt dass \( S_n \subseteq G \).
\(\endgroup\)


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helmetzer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.10.2013
Mitteilungen: 1209
Aus: Helmbrechts, Franken
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-09-23


Ich frage mich nun: Ist <math>S_{\IZ}</math> selber residuell endlich?

Wenn ja, ist das schwerer zu zeigen?



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Rowena
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.03.2017
Mitteilungen: 16
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-23


Gute Frage.



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TomTom314
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 905
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-09-23

\(\begingroup\)
Aus Wikipedia geklaut:
Untergruppen residuell endlicher Gruppen sind wieder residuell endlich.
Daher ist mit G auch \(S_\IZ\) nicht residuell endlich.

2018-09-23 18:02 - Rowena in Beitrag No. 8 schreibt:
Oh, da hab ich mich oben vertan, es soll untersucht werden OB die Gruppe \(G\) residuell endlich ist, und das ist nicht der Fall
Wie hast Du das gezeigt?
\(\endgroup\)


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Rowena
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-23

\(\begingroup\)
2018-09-23 22:38 - TomTom314 in Beitrag No. 11 schreibt:
Aus Wikipedia geklaut:
Untergruppen residuell endlicher Gruppen sind wieder residuell endlich.
Daher ist mit G auch \(S_\IZ\) nicht residuell endlich.

Damit wäre das ja schnell geklärt.  biggrin
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-09-23

\(\begingroup\)
Danke. \(A_n\) einfach hatte ich übersehen.  smile
\(\endgroup\)


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Rowena hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Rowena hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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