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Mathematik » Geometrie » Parametrisierung einschaliges Hyperboloid
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Universität/Hochschule Parametrisierung einschaliges Hyperboloid
Kild
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.09.2018
Mitteilungen: 5
Aus: Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-09-23 20:41


Hallo,

ich habe in Grasshopper (parametrisches CAD-Programm) die Oberfläche eines einschaligen Hyperboloiden auf zwei Arten erzeugt:

1. Zwei Kreise erzeugen, Punkte auf diesen definieren und die Punkte verbinden. Durch entgegengesetzte Rotation der Kreise um einen Winkel Phi kann ich nun die Verwindung/Einschnürung kontrollieren

2. mit Formeln (Quelle: en.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid )
x = a cosh ⁡ v cos ⁡ θ
y = b cosh ⁡ v sin ⁡ θ
z = c sinh ⁡ v
mit v ∈ (−∞, ∞), θ ∈ (0, 2*Pi)

Jetzt meine Frage: Ich habe ein Modell mit der zweiten Methode erzeugt, benötige aber nun in diesem Modell den Winkel Phi, welchen ich in der ersten Methode erwähnt habe. Das heißt ich muss eine Verbindung zwischen v und Phi herstellen. Kann mir hier jemand helfen einen Ansatz zu finden?

Sollten zum Verständnis noch Bilder benötigt werden, bitte Bescheid sagen!

Grüße,
Kild



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rlk
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 10360
Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-24 00:01


Hallo Kild,
herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!

Betrachte den Schnitt des Hyperboloids mit der xy-Ebene. Welche Kurve ergibt das bei der ersten Methode?

Ich hoffe das bringt Dich auf Ideen,
Roland



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Kild
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.09.2018
Mitteilungen: 5
Aus: Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-24 23:39

\(\begingroup\)
Hallo Roland,

Dankeschön! Ich bin dem Ansatz von dir gefolgt und habe folgendes herausgefunden:

-wenn man ein Schnitt an der Stelle des kleinsten Radius \(R_i\) und der Stelle des größten Radius \(R_a\) übereinanderlegt, dann ist dort folgender Zusammenhang zu erkennen:
\(cos(\phi/2) = R_i / R_a \)

-schaut man sich den Verlauf des Radius über die Höhe des Hyperboloiden an, kann man nach der Parameterdarstellung schreiben:
\(R = R_i * cosh(v)\)
es folgt:
\(R_a= R_i * cosh(v_a)\)

eingesetzt in die Formel oben ergibt sich:
\(cos(\phi/2) = 1/(cosh(v_a))\)
\(\phi = 2*arccos ( 1/(cosh(v))\)

Das ist der Zusammenhang den ich gesucht habe, kann man das so machen?

Mir ist in der Zwischenzeit noch eine weitere Frage gekommen. Welche Bedeutung hat in der Formel des Hyperboloids der Parameter c?
 
Ich weiß das er etwas mit der Höhe zu tun hat, aber wenn ich in der Parametrisierung die z-Komponente mit z=h nach c umstelle und bekomme
\(c = h / (sinh(v))\), dann kann ich daran nicht wirklich ablesen was c zu bedeuten hat.



\(\endgroup\)


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rlk
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 10360
Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-09-26 20:33

\(\begingroup\)
Hallo Kild,
es freut mich, dass ich Dir helfen konnte. smile

Die Formel
$$\cos(\frac{\phi}{2})=\frac{R_i}{R_a}$$
sieht plausibel aus, ich muss aber noch darüber nachdenken. Im Grundriss ist leicht zu sehen, dass Deine Formel richtig ist.

Beim Umstellen nach $\phi$ hast Du einen Faktor 2 verloren.

Der Parameter Faktor $c$ ist ein Maßstabsfaktor in dem nichtlinearen Zusammenhang zwischen $z$ und $v$.

Servus,
Roland

PS: Für die richtige Darstellung von griechischen Buchstaben und Funktionsnamen wie sin, cos musst Du ein \ davorstellen.
\(\endgroup\)


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lula
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 10897
Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-09-26 22:47


Hallo
Wenn du die nichtparametrisierte Darstellung
fed-Code einblenden
bis dann, lula



-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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Kild
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Aus: Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-29 15:01

\(\begingroup\)
Danke ihr beiden!

Roland: Die verlorene 2 aus der Umstellung habe ich wiedergefunden, danke.

Der Faktor c ist mir durch die Erklärungen klarer geworden. In der Version mit dem Polynom sieht man bei x=0, dass c die Steigung in z-Richtung kontrolliert.

In Verbindung mit der Parametrisierung mit v sorgt c dafür, dass bei einer Änderung von v die Form immer auf die gleiche Höhe h skaliert wird, was im Prinzip auch die Steigung in der z-Richtung kontrolliert.

Momentan bin ich bei einer weiteren Frage, ist das in Ordnung Folgefragen einfach im gleichen Thread zu stellen? Die Verwandheit zum Thema ist noch da und viele Einzelthreads würde ich eher als verwirrend erachten, oder wie wird das hier gehandhabt?

Mein neues Problem ist folgendes:
Ich bin Bauingenieurstudent und möchte aus einem Ausschnitt aus einem einschaligen Hyperboloid einen Träger machen. Die Längsrichtung des Trägers entspricht der z-Achse des Hyperboloids. Ich möchte das Gauß'sche Krümmungsmaß
\(\kappa = \frac{1}{R_1*R_2}\)
des Trägers für gegebene Abmaße maximieren.
Das heißt der Querschnitt des Trägers ist eine Hyperbel die entlang eines Kreissegmentes über die Trägerlänge bewegt wird (oder andersherum).

Das heißt ich möchte das Produkt der Radien der beiden Funktionen (für die Hyperbel am Mittelpunkt der Kurve) minimieren. Mir ist nicht ganz klar wie ich das angehen kann, wo lege ich meinen Nullpunkt hin und wie hängen die funktionen der beiden Kurven zusammen? Könnt ihr mir einen Tipp geben wo ich anfangen kann?
\(\endgroup\)


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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-09-29 15:22

\(\begingroup\)
Hallo Kild,
es ist in Ordnung, Folgefragen anzuhängen.

Den Radius $R_i$ des kleinsten Kreisquerschnitts hast Du ja schon verwendet, wie hängt er mit $a=b$ zusammen? Für den zweiten Radius musst Du den Schmiegekreis im Scheitel der Hyperbel bestimmen.

Servus,
Roland
\(\endgroup\)


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Kild
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-16 01:13

\(\begingroup\)
Hallo Roland,

Ich war eine Zeit lang mit anderen Aufgaben beschäftigt, jetzt kann ich mich endlich wieder diesem Thema hier widmen :)

Ich schreibe nochmal kurz etwas zu meinem Problem, habe das Gefühl unten ist es ein wenig schlecht erklärt. Ich möchte aus dem einmanteligen Hyperboloid einen Streifen ausschneiden und diesen als Träger, z.B. als Dachelement verwenden. Das heißt ich habe einen Träger der im Längsschnitt eine hyperbolische Funktion und im Querschnitte ein Kreissegment darstellt.

Nun ich möchte das Gauss'sche Krümmungsmaß im Mittelpunkt meines Ausschnittes aus dem Hyperboloid maximieren:

\(\kappa=\frac{1}{R_{Kreis}*R_{Hyperbel}}\)

Das heißt alle weitere Betrachten beziehen sich erstmal auf den mittleren Schnitt des Trägers. Wenn ich die Höhe des Trägers, also den Stich der Hyperbel + den Stich des Kreissegmentes auf einen Wert feststelle, dann gibt es unendlich mögliche Varianten für den Träger. Die Extremwerte sind dabei, dass der Stich der Hyperbel der Trägerhöhe entspricht und der Stich des Kreissegments 0 beträgt und umgekehrt. So kann ich die Trägerhöhe abhängig von den Stichen von Hyperbel und Kreissegment definieren:

\(h_{Träger}=h_{Hyperbel}+h_{Kreis}\)
\(h_{Hyperbel}=R_a-R_i=R_i*\cosh(v)-R_i\)
\(h_{Kreis}=R_i-1/2*\sqrt{4*R_i^2-b^2}\)
Wenn ich das nach \(R_i\) umstelle, dann erhalte ich den Radius, mit welchem für jede Hyperbelneigung v die Trägerhöhe h eingehalten wird und ich kann die ganze Bandbreite der möglichen Trägervarianten einer Höhe darstellen (b ist die Breite des Trägers/Kreissegmentes).
\(R_i=\frac{(4*h*\cosh(v) \pm \sqrt{2}* \sqrt{8*h^2+b^2-b^2*\cosh(2*v)})}{(4* (-1 + \cosh(v)^2)}\)

Da ich nun eine allgemeingültige Beschreibung für den Innenradius abhängig von der Hyperbelneigung habe, kann ich die Krümmungen in beiden Richtungen definieren:
Radius des Kreissegmentes: \(R_{Kreis}=R_i\)
Radius des Krümmungskreises der Hyperbel (danke Roland!): \(R_{Hyperbel}=\frac{h^2}{4*R_i^2}\)
(Den Radius des Krümmungskreises habe ich nach diesem Link geometrisch bestimmt, bin aber nicht sicher ob das korrekt ist)

Wenn ich jetzt den Innenradius und die Radien in die Gleichung mit den Krümmungen oben einsetze, habe ich das Krümmungsmaß als Funktion abhängig von der Hyperbelneigung v und kann Ableitungen bilden und das Maximum finden.

Ist dieses Vorgehen aus eurer Sicht sinnvoll?

Entschuldigt den vielen Text, es fällt mir relativ schwer einzuschätzen wie verständlich meine Beschreibungen sind..

Viele Grüße,
Kild



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Kild
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-16 01:33


P.S. Ich habe die jeweiligen Anteile der Hyperbel und des Kreissegments an der Trägerhöhe mal als Diagramme dargestellt, jeweils für die Bestimmung des Innenradius mit + und mit - im Zähler und die Verläufe iritieren mich etwas (siehe Bild).

Ich hätte eigentlich eine gewisse Symmetrie in den Ergebnissen erwartet. Zudem wundert es mich, dass die Kurven für Anteil der Hyperbel und des Kreissegments sich am ende nicht treffen. Sind Gründe dafür für euch irgendwie aus der Geometrie heraus erkennbar?

Für größere Trägerhöhen, z.B. 2 oder 3 ergibt die Funktion mit dem - im Zähler überhaupt nicht mehr die Trägerhöhe, sondern tastet sich an diesen Wert ran und verbleibt dann dort.




VG,
Kild



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