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Moderiert von Wally haerter
Gewöhnliche DGL » Systeme von DGL » Nicht-lineares 2x2 System untersuchen
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Universität/Hochschule J Nicht-lineares 2x2 System untersuchen
Ismail2
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 13.09.2018
Mitteilungen: 6
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-09-24

\(\begingroup\)
Hallo!

Ich bereite mich gerade auf die Klausur zu gewöhnlichen Differentialgleichungen vor und bin auf eine alte Prüfungsaufgabe gestoßen, an der ich nicht weiter komme. Die Aufgabe lautet wie folgt:

Gegeben ist ein nicht lineare System:
  fed-Code einblenden
\(\dot x=-y-x^3\)
\(\dot y=x\)
fed-Code einblenden

1. Bestimmen Sie alle Gleichgewichte.
2. Linearisieren Sie dort.
3. Sind diese Gleichgewichte hyperbolisch?
4. Besitzt dieses System eine periodische Lösung?
5. Gibt es ein asymptotisch stabiles Gleichgewicht?(Wie kann man das zeigen?)
6. Bestimmen Sie das asymptotische Verhalten (für \(t\rightarrow\infty)\) von allen Lösungen.
7. Skizzieren sie das Phasenportrait.

Alle Fragen beziehen sich auf das ursprüngliche System.

Nun zu meiner bisherigen Lösung:

1. \(\hat{x}=\begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix}\) ist das einzige Gleichgewicht.

2. \(\begin{bmatrix}\dot{x} \\ \dot{y}\end{bmatrix}=\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{bmatrix}{x} \\ {y}\end{bmatrix}\) ist das linearisierte System.

3. Die Eigenwerte der linearisierten Matrix sind \(\pm i\), haben also verschwindenden Realteil und sind somit nicht hyperbolisch. (Insbesondere kann man nicht den Satz von Hartman-Grobman anwenden.)

Ab hier stecke ich fest.

4. Sätze die mir zu Verfügung stehen und Aussagen über die Existenz periodischer Lösungen treffen wären Poincaré-Bendixon (Wenn für eine Lösung x(t) die Menge \(\{x(t):t\geq0\}\) beschränkt ist, dann enthält der Omega-Limit entweder ein Gleichgewicht oder ist ein Periodischer Orbit), jedoch bräuchte man hierfür, denke ich, die Lösung. Der zweite Satz wäre Bendixon-Dulac (Wenn die Divergenz von \(f(x,y)=-y-x^3\) und \(g(x,y)=x\) echt kleiner als Null ist, dann existiert keine periodische Lösung).

5. Hier wäre meine Idee, dass wenn die linearisierte Matrix stabil wäre (Alle EW haben Re<0), dass dann das Gleichgewicht in dem linearisiert wurde asymptotisch stabil ist. Leider ist die Matrix nicht stabil.
(Edit:)\(V(x,y)=x^2+y^2\) ist eine Ljapunov-Funktion und somit ist das Gleichgewicht zumindest stabil.

6. Hier habe ich keine Idee wie ich ohne Lösungen etwas über das asymptotische Verhalten aussagen soll.

7. Hier könnte man für Punkte Pfeile einzeichnen, jedoch kommt mir das zu aufwendig vor für eine 90 Minuten Prüfung (es gibt noch 3 weitere Beispiele). Oder man könnte das System in Polarkoordinaten umschreiben und \(dr/d\phi\) Lösen.

Ich bin über jede Hilfe dankbar!
\(\endgroup\)


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Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8348
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-24


Hallo Ismail,

herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!

Hast du mal eine Ljapunovfunktion ausprobiert?

Wally



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Ismail2
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 13.09.2018
Mitteilungen: 6
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-24

\(\begingroup\)
Danke!

Ich habs in der Frage hinzugefügt. \(V(x,y)=x^2+y^2\) ist eine strikte Ljapunov-Funktion für das Gleichgewicht \(\hat{x}=0\), und somit asymptotisch stabil.
\(\endgroup\)


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haerter
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1501
Aus: Bochum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-09-25


Hallo,
soweit ich das sehe, ist das keine strikte Lyapunovfunktion (weil <math>\dot{V}</math> auch mal Null sein kann). Das ändert aber nichts wesentliches.
Ich denke, dass die Antwort zu den Fragen 4-6 alle mit Hilfe der Lyapunovfunktion gegeben werden können und dass bei 7 nur eine recht grobe Skizze erwartet wurde.

Viele Grüße ,
haerter


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"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



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Ismail2
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 13.09.2018
Mitteilungen: 6
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-26

\(\begingroup\)
Danke für die Antwort!

Strikt ist sie in der Tat nicht, aber da ich nicht wirklich geübt bin Ljapunovfunktionen zu finden, könntest du mir vielleicht einen Tipp geben wie ich eine strikte finden könnte.

Mir ist auch nicht klar, wie ich Ljapunovfunktionen dafür verwenden kann eine Aussage über das asypmtitische Verhalten der Lösungen zu treffen, bis auf jene (sofern eine strikte Ljapunovfunktion gefunden wurde), dass in einer hinreichend kleinen Umgebung um das Gleichgewicht die Lösungen gegen dieses konvergieren.

Auf Wikipedia steht im Artikel über das Kriterium von Bendixon-Dulac, dass die Spur in der Jakobimatrix gleiches Vorzeichen (\(\neq 0)\) fast überall haben muss. In meiner Mitschrift finde ich das "fast überall" nicht. Kann ich jetzt sagen, da die Spur der Jakobimatrix \(-3x^2\) überall Null ist, bis auf der vertikalen Gerade durch Null und eine Gerade in der Ebene Lebesgue-Maß Null hat, dass daraus folgt, dass es keine periodischen Lösungen gibt?
\(\endgroup\)


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haerter
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1501
Aus: Bochum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-09-26


Hallo,

das mit der nichtstrikten Lyapunovfunktion sollte eigentlich ausreichen, um Deine Fragen zu beantworten.
Das Bendixson-Dulac Kriterium geht zwar (weil die Ausnahmemenge, wie Du schon sagst eine Nullmenge und keine Trajektorie des Systems ist), aber ich würde mich eher auf die globale asymptotische Stabilität des Ursprungs stürzen, damit sind dann auch die anderen Fragen beantwortet.
Vielleicht hattet Ihr ja das Invarianzprinzip von LaSalle, das würde hier auch passen.
Sonst musst Du entweder eine strikte Lyapunovfunktion suchen, indem Du die andere etwas "verbiegst" (ich weiß nciht, ob das geht) oder Argumente finden, warum die Ausnahmepunkte auf der y-Achse keinen wesentlichen Einfluss haben.

Viele Grüße,
haerter


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Ismail2
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 13.09.2018
Mitteilungen: 6
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-26

\(\begingroup\)
Hallo und vielen Dank für deine Hilfe!

Ich bin kurz davor der Frage als erledigt zu werten. Mit der globalen Version des Invarianzprinzip und unserer Ljapunovfunktion folgt, dass der Ursprung global asymptotisch stabil ist, was sämtliche Fragen beantworten würde.

Leider habe ich eine solche Formulierung des Satzes in meiner Mitschrift nicht gefunden. Unsere Formulierung lautet wie folgt:

Sei \(V:U\rightarrow \mathbb{R}\) stetig und monoton fallend entlang der Läsung durch x (D.h. \(t\rightarrow V(x(t))\) ist fallend). Dann folgt das V konstant auf \(\omega(x)\), des Omegalimits ist.
Ist V differenzierbar und \(\dot{V}\leq 0\) entlang der Lösung x(t), dann ist \(\omega(x)\subseteq\{y:\dot{V}(y)=0\}\).

Ich sehe leider nicht wie ich daraus die globale asymptotische Stabilität des Ursprungs folgern soll.

Beste Grüße!


\(\endgroup\)


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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-09-26


Hallo,

das sieht doch alles gut aus. Zeigen möchtest Du ja, dass unabhängig vom Anfangswert <math>x_0</math> immer <math>\omega(x_0)=(0,0)</math> ist. Wenn Du Deine beiden Aussagen (<math>V</math> konstant und <math>\dot{V}=0</math>) kombinierst, dann ergibt sich, dass die Omega-Limesmenge nur aus einem einzelnen Punkt besteht. Wegen der Invarianz der Omega-Limesmengen, ist mit jedem Punkt auch der gesamte zugehörige Orbit in der Omega-Limesmenge enthalten. Das schließt dann alle Punkte außer <math>x=y=0</math> aus.
Das ist jetzt natürlich kein fertig ausformulierter Beweis, aber eine Skizze, wie es gehen könnte.

Viele Grüße,
haerter


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Ismail2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-26


Vielen Dank für eure Hilfe :)



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Ismail2
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-26

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Eine kleine Frage hätte ich noch. Wieso kann man ausschließen, dass \(\omega(x_0)\) nicht leer ist?
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haerter
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Aus: Bochum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-09-26


Hallo,

da hilft auch die Lyapunovfunktion, denn mit ihrer Hilfe sieht man sofort, dass alle Vorwärtsorbits beschränkt sind. Daraus folgt dann, dass die <math>\omega</math>-Limesmenge nicht leer ist.

Viele Grüße,
haerter


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