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Universität/Hochschule Abzählen aller möglichen Kombinationen von Summanden
matosch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-09-24


Hallo zusammen,

ich habe für $n \in \mathbb{N}_0$ folgende Menge:

\(
\mathcal{J} = \{(j_1,\dots,j_d) \in \mathbb{N}_0^d: j_1+\dots j_d \leq n\}.
\)

Wenn ich jetzt eine Summe der Form

\(
\displaystyle \sum_{\mathcal{J}} \dots
\)

habe, wie kann ich die Anzahl aller möglichen Kombinationen für die Summe zählen? Ich habe ein bisschen im Internet geschaut und bin auf folgende Lösung gestoßen:

\(
\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{k+d-1}{d-1},
\)

das kann ich mir aber irgendwie nicht erklären.

Wäre über Hilfe/Erklärung/Beweis sehr dankbar :)



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

wenn ich die Frage richtig verstehe suchst du $|\mathcal{J} |$.
Hilft dir das weiter?
\(\endgroup\)


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matosch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-24


Danke dir für deine Antwort. Leider komme ich von dem auf keine Erklärung/keinen Beweis für den allgemeinen Fall.

Meine Lösung habe ich von hier:

Edit: Ja genau ich suche $|\mathcal{J}|$, war vielleicht etwas blöd angeschrieben.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-09-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Sei $\mathcal J_k :=\{(j_1,\dots,j_d) \in \mathbb{N}_0^d: j_1+\dots j_d =k\}$. Zeige, mit der gleichen Methode wie in dem Post, den ich verlinkt habe, dass $|\mathcal J_k|=\binom{k+d-1}{d-1}$ ist.
Da $\mathcal J$ die disjunkte Vereinigung der $\mathcal J_k$ mit $k\in\{0,1,\dots, n\}$ ist, folgt die Behauptung.
\(\endgroup\)


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