Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » Imprimitive Gruppen und Kranzprodukte
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Seite 1   [1 2]   2 Seiten
Autor
Universität/Hochschule Imprimitive Gruppen und Kranzprodukte
DickerFisch
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.06.2018
Mitteilungen: 71
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-09-29


Hallo lieber Matheplanet,
oft gelesen - nie geschrieben, bis jetzt.

Ich darf Mitte November einen 90-min. Vortrag halten (inkl. 10 Seiten Ausarbeitung), bei dem ich über Imprimitive Gruppen und Kranzprodukte reden soll - weitere Vorgaben außer Literaturhinweise haben wir nicht bekommen. Das ganze soll im Rahmen des Seminars "Endliche Gruppen" stattfinden.
Da ich Gruppentheorie in der VL noch nicht hatte, stehe ich nun etwas auf dem Schlauch. Das Thema ist inmitten eines großen Themenkomplexes, von dem ich keine Ahnung habe, daher wollte ich mich erst mal grob rantasten. Um mich reinzuarbeiten habe ich ein paar Fragen, von denen ich mir eure Antwort erhoffe:

Welche Literatur gibt es, die auch speziell meine beiden Themen enthält und auch gut erklärt? Bisher habe ich nur eine Literaturempfehlung gefunden: Bertram Huppert. Endliche Gruppen I. Das Buch ist jetzt aber nicht so bombastisch erklärt und die PDF-Version die ich habe ist teils echt schlecht.

Was denkt ihr, wo ich anfangen soll mich hineinzuarbeiten? Ich weiß gar nicht wo ich anfangen soll und ich möchte nicht sinnlos irgendwelche Dinge lernen, die nicht zielführend sind und mir später nicht helfen. Daher: Welches Basiswissen MUSS ich mir aneignen, um mein Thema ordentlich bearbeiten zu können? Vielleicht sogar mit Buchtipp?

Könnt ihr mir vielleicht grob einordnen, was Kranzprodukte und Imprimitive Gruppen inhaltlich sind, damit ich erst mal weiß, was das Tolle daran ist?

Welche Unterthemen dürfen nicht fehlen? Ideen für eine Gliederung? Wo sollte ich einsteigen, damit jeder versteht worum es geht?

Ich hoffe das wirkt jetzt nicht faul von mir. Ich finde, eine Einschätzung von Personen, die sich mit dem Thema schon mal befasst haben, ist immer gut zu hören. Vor allem damit ich mich nicht schon direkt zum Start verrenne.

Vielen Dank!
Euer Fischi



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2458
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-29


Hallo,

wenn du Probleme mit einem Seminarvortrag hast, dann kannst du gerne mit deinem entsprechendem Professor reden.
Das ist in der Regel sehr aufschlussreich und hinterlässt auch keinen schlechten Eindruck, falls du das befürchtest.

Er wird dir wohl die besten Literaturempfehlungen nennen können, oder was von deinem Vortrag erwartet wird.

Inhaltlich kann ich dir leider nicht helfen.


Da ich Gruppentheorie in der VL noch nicht hatte, stehe ich nun etwas auf dem Schlauch.

Was heißt das genau?
Hattest du noch gar keine Gruppentheorie? Auch nicht im Rahmen einer einführenden Algebra-Vorlesung?
Oder was sind deine Vorkenntnisse?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DickerFisch
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.06.2018
Mitteilungen: 71
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-29


Ich hatte bisher nur LinA 1 und LinA 2, weiß hier aber faktisch fast nichts mehr von, da es schon etwas her ist.

Habe vielleicht auch einfach nur etwas Schiss, da es so wenig Vorgaben gab. Vielleicht sollte ich mich einfach mal in das eine Buch, das ich habe, reinarbeiten...



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kurtg
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1218
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-09-29


Hi,

ich glaube, es gibt auf dem Matheplaneten einen Artikel von Gockel zu Kranzprodukten.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2458
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-09-29


Dann ist das vermutlich auch dein erstes Seminar.

Bei meinem ersten Seminarvortrag wusste ich auch nicht so wirklich, was ich machen soll.
Der Sinn eines Seminars ist es aber nicht, dass du ein ganzes Themengebiet wie Gruppentheorie aus einem Buch lernen musst um deinen Vortrag halten zu können.
Dazu sind die anderen Vorträge ja gerade da.

Man kann sich die Dinge dann eigentlich immer ganz gut just-in-time aneignen.
Du hast also deine Grundlage gegeben.
Die arbeitest du durch und solltest probieren dir die Schritte klar zu machen und Beweislücken, also Details die in deinem Skript nicht ausgearbeitet werden, dir selber zu überlegen.

Wenn dabei Dinge unklar sind, wie etwa Definitionen, oder Sätze, dann musst du dies nachschlagen.
Vielleicht verstehst du es dann besser.
Und so gehst du dann im Prinzip immer weiter.

Mit konkreten Fragen kannst du dann wie gesagt gerne zu deinem Professor gehen.

Der von kurtg angesprochene Artikel von dem User Gockel dürfte der elfte Teil seiner Gruppen-Zwang-Reihe sein.




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kurtg
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1218
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-09-29


Beachte auch



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DickerFisch
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.06.2018
Mitteilungen: 71
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-30


Danke für eure Antworten!!!

Gibt mir gerade ein kleines motivationales Hoch.

So, habe mich jetzt ein bisschen vorgearbeitet und meinen ersten (einfachen) Beweis selbst errechnet und LaText. Vielleicht könnt ihr das noch mal kontrollieren.
Zum Beweis bei 3. frage ich mich, warum in der letzten Gleichung (beim inversen) aus HH^-1 E raus kommt? Wo ist das Definiert? Bzw. wie und warum tritt das E in der Definition des Kranzproduktes als Gruppen auf? Ist das die "neutraleElementGruppe" und wenn man sie dann im Produkt mit einer anderen Gruppe nimmt kommt nur die Gruppe raus?
Generell alles bei der Gleichung wo steht "Ehhhhmmmm..." fehlt mir die begründung bzw ich habe mich vertan...?
Ich lad das mal einfach als PDF hier hoch, man kann es eigentlich über onedrive selbst anschauen, ich hoffe das ist hier erlaubt...? :)


(Es geht hier nur um 2.1 - 2.2 - rest ignorieren.

EDIT2: Ich werde die gleiche Frage meinen Prof am Montag fragen, aber da ich jetzt noch ein bisschen was schaffen will: In meiner Literatur von B.Huppert gibt es ~30 Sätze/Definitionen/Bemerkungen - wie filtere ich am besten, was ich vorstellen will? Welchen Anspruch hat so ein Matheseminar da? Nur die Basisdefinition und wichtige Sätze der beiden Dinge und ein paar Sachen, die dazu benötigt werden? Ich blick noch nicht so ganz durch.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DickerFisch
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.06.2018
Mitteilungen: 71
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-06


Habe mich jetzt den ganzen Tag inhaltlich vorgearbeitet - mein LaTex-Skript ist zwar keine Zeile weiter, aber ich denke (hoffe) das ist normal...

Ich bin jetzt dabei die Definition einer imprimitiven Gruppe verstehen zu können, wenn da nicht der Umstand wäre, dass ich es dennoch einfach nicht verstehe.
Ich arbeite mit folgender Definition:


Hierzu wollte ich mir dann ein paar Beispiele anschauen, habe auch welche gefunden in Wikipedia:


Ich verstehe nicht, wie genau in Wikipedia die Zerlegungen passieren. Die Definition aus dem Buch (Screenshot oben) ist mir klar, aber die stimmt nicht mit dem überein, was in Wikipedia steht und umgekehrt, zumal ich das Wikipedia-Beispiel nicht mal verstehe. Was wäre hier mein Delta aus dem Buch übertragen? Das wäre doch eine Teilmenge von X, oder nicht? Und warum ist für das Beispiel mit S_4 gerade die {2,4} und {1,3} eine Zerlegung die "preserved", also konserviert ist? Nur weil in diesen beiden Zerlegungen alle Zahlen schon enthalten sind, oder wie? Und wie passt das mit dem Buch?

Meinen die beiden Quellen überhaupt das gleiche Prinzip?

LG



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3127
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-10-06


Hallo,

das ist schon das gleiche. In dem Beispiel haben wir eine Partition von $X=\{1,2,3,4\}$ in $\Delta_1 = \{1,3\}$ und $\Delta_2 = \{2,4\}$, und $\sigma$ wirkt auf $X$ in der Art, dass es die beiden $\Delta$s vertauscht. Die Buchdefinition ist also für die beiden "Imprimitivitätsgebiete" erfüllt.

Darf ich fragen, was das für ein Buch ist, das du verwendest? Ich frage nur, weil mir die Notation und Sprechweise ziemlich altertümlich vorkommt.


-----------------
⊗ ⊗ ⊗



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DickerFisch
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.06.2018
Mitteilungen: 71
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-06


B.Huppert. Endliche Gruppen I.

Ja, das ist mir auch aufgefallen. Fraktur und Co... - sowas ist doch auch nicht üblich, oder? War eine Buchempfehlung vom Professor.

Noch mal zum Beispiel/zur Definition:
Was genau wäre dann hier unser Delta und was das Delta^G? (bzw. Delta_1 und Delta_2 und Delta_1^G und Delta_2^G?) Irgendwie tu ich mich noch schwer.

Das hochgestellte G - was genau bedeutet das eigentlich? Das ist doch das gleiche wie im Wikipediabeispiel \sigma(Delta), oder nicht?


OT: Wie kann ich hier LaTex einfügen?

Danke für die Antwort schon mal! :)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3127
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-10-06


Für $\Delta$ kann man $\{1,3\}$ nehmen (oder $\{2,4\}$). $G$ ist ein Element der Gruppe, in dem Wikipedia-Beispiel heißt das $\sigma$. Da es eine Permutation von $X = \{1,2,3,4\}$ ist, kann man unmittelbar $\sigma(\Delta)$ bestimmen, es ist $\sigma(\{1,3\}) = \{2,4\}$.

In dem Huppert-Buch heißt das $\Delta^G$ -- wobei man hier erstmal aufpassen muss, die Notation sieht nach einer Wirkung von rechts aus. Da solltest du nochmal genauer nachlesen, wie er das definiert.

Wie ich Latex verwendet habe, kannst du sehen, wenn du unter meinem Posting auf "Quote" klickst.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DickerFisch
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.06.2018
Mitteilungen: 71
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-08


Danke, gerafft! Und da $\Delta_1 \cap \Delta_1^G$ die leere Menge ist, gilt dann die Definition. Ok.

In der Definition stand ja nun "oder $\Delta_1=\Delta_1^G$" - den Teil habe ich jetzt aber noch nicht so ganz gerafft.
$$\sigma=\left(\begin{array}{lcr}
1 & 2 & 3\\
2 & 3 & 1
\end{array}\right).$$ Ich weiß, dass es nicht so ist, aber hier wäre doch
$\Delta=\{1,2,3\}$
Und jetzt wäre doch auch $\sigma(\Delta)=\{1,2,3\}$, da durch die Mengenklammer die Reihenfolge ja eh nicht berücksichtigt wird. Und dann gilt ja eben: $\Delta=\sigma(\Delta)$ und dann ist es per Definition imprimitiv... Oder muss $\Delta$ eine echte Teilmenge sein?
EDIT: Ich habe "eigentliche" überlesen - das soll also eine "echte" Teilmenge sein.... Tolles Buch!

"oder $\Delta_1=\Delta_1^G$" bedeutet ja auch, dass die Identität automatisch Imprimitiv ist, oder?

Und, um zu zeigen, dass $\Sigma_4$ Imprimitiv ist, muss ich doch die Imprimitivität aller Permutationen nachweisen, oder nicht?

PS: Danke für den Quote-Tipp :)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3127
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-10-08


Ja, $\Delta$ muss eine echte Teilmenge sein, die mehr als ein Element hat.

2018-10-08 19:35 - DickerFisch in Beitrag No. 11 schreibt:
"oder $\Delta_1=\Delta_1^G$" bedeutet ja auch, dass die Identität automatisch Imprimitiv ist, oder?
Die Frage ergibt keinen Sinn, imprimitiv ist eine Eigenschaft einer Gruppe, nicht eines Elements.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DickerFisch
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.06.2018
Mitteilungen: 71
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-09


Mit der Frage meinte ich, ob z.B. $$\sigma=\left(\begin{array}{lcr}
1 & 2 & 3\\
1 & 2 & 3
\end{array}\right).$$ schon automatisch imprimitiv ist, durch die Eigenschaft $\Delta=\Delta^G$. Somit wäre doch Sigma gerade die Identität von $\Delta$, oder? Oder ist Sigma nur eine einzelne Permutation und wenn ich zwei davon hätte, hätte ich eine Permutationsgruppe und erst dadurch, dass alle Permutationen der Permutationsgruppe imprimitiv sind, ist die Permutationsgruppe imprimitiv? Hab das wegen dem folgenden Wikipedia-Beispiel vermutlich falsch verstanden:
Beispiel 1 mit $\eta$:
Was bedeutet hier im Zusammenhang "Group generated by $\eta$"? Welche Gruppe entsteht denn durch $\eta$? $\eta$ selbst ist doch erneut nur eine einzelne Permutation (ergo nur ein Element). Wie können die dann direkt darauf schließen, dass ganz $\Sigma_3$ primitiv ist?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3127
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-10-09


2018-10-09 11:39 - DickerFisch in Beitrag No. 13 schreibt:
Hab das wegen dem folgenden Wikipedia-Beispiel vermutlich falsch verstanden:
Beispiel 1 mit $\eta$:
Was bedeutet hier im Zusammenhang "Group generated by $\eta$"?
Die von $\eta$ erzeugte Untergruppe $\langle \eta\rangle$. Bei einem Erzeuger ist das eine zyklische Untergruppe mit der expliziten Formulierung $\{\eta^n\mid n\in\IZ\}$. Das gehört zu den Grundbegriffen der Gruppentheorie, das solltest du ggf. wiederholen.


Welche Gruppe entsteht denn durch $\eta$?
Eine Gruppe der Ordnung 3, die neben $\eta$ und $\mathrm{id}$ noch $\eta^{-1}$ ($= \eta^2$) enthält.


Wie können die dann direkt darauf schließen, dass ganz $\Sigma_3$ primitiv ist?
Wenn eine Untergruppe primitiv ist, ist die ganze Gruppe schon primitiv. Das sollte klar sein, überleg dir das mal im Detail.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DickerFisch
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.06.2018
Mitteilungen: 71
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-10


Laut meinem Buch gilt
.

So ganz verstehe ich die Zusammenhänge aber nicht. Angewandt auf das Beispiel verstehe ich die Definition so:
$\mathfrak{G}=\Sigma_3$, wobei $\eta$ die Teilmenge $\mathfrak{M}$ der Definition darstellt.

Das Erzeugnis $<\eta>$ ist nun der Durchschnitt aller 6 (? - da eigentlich alle Elemente von $\Sigma_3$ auch wieder Untergruppen bilden, oder?) Untergruppen von $\Sigma_3$, die $\eta$ enthalten - bis hier richtig?

Was ist aber nun der Durchschnitt dieser Permutationen in $\Sigma_3$? Am liebsten mit Beispiel...



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3127
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-10-10


Das ist richtig, und $\langle\eta\rangle$ hab ich in meinem vorherigen Posting schon explizit dargestellt. Es ist $\langle\eta\rangle = \{ \eta^n\mid n\in \IZ\} = \{ \mathrm{id}, \eta, \eta^{-1}\}$. Dazu muss man nicht explizit alle Untergruppen bestimmen, die $\eta$ enthalte und den Durchschnitt bilden. Ich bin sicher, Huppert schreibt auch etwas zu zyklischen Untergruppen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DickerFisch
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.06.2018
Mitteilungen: 71
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-10


Danke erst mal für deine ganze Hilfe! Ich denke hier teilweise "Mein Gott bin ich blöd" wenn ich meine alten Fragen durchlese, aber das zeigt ja nur, dass ich es jetzt verstanden habe. Liegt aber vielleicht auch am ganzen Kaffee.

Frage: Mein Thema behandelt die imprimitiven Gruppen und die Kranzprodukte.
Gibt es zwischen diesen beiden Themen einen inhaltlichen Zusammenhang, den ich auch nach durchforsten der beiden Themen in B.Huppert noch nicht erkennen konnte? Habe lediglich einen etwas größeren Satz dazu finden können, der auch inhaltlich super zum Beispiel der symmetrischen Gruppen  passt. Nicht, dass ich etwas wichtiges vergesse was in B.Huppert nicht drin war...
Und zählt für euch das Thema der k-transitivität von primitiven Gruppen noch zu imprimitiven Gruppen? Irgendwie ja nicht, oder...? Bin jetzt an einem Punkt im Buch, wo sich der Rest nur noch um primitive Gruppen dreht, die sind ja eigentlich sinnlos, wenn mein Thema die imprimitven behandelt - was meint ihr? Mein Prof meinte nur, ich soll machen wie ich meine...



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3127
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2018-10-10


Ich bin hier in dem Thread das erste mal über diesen Begriff gestolpert. Vielleicht kann das jemand anders beantworten.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DickerFisch
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.06.2018
Mitteilungen: 71
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-14


Hallo, ich melde mich mal wieder und arbeite mich nun eigentlich recht flott vor. Es geht nun um folgenden Ausschnitt eines Satzes:
Sei die transitive Permutationsgruppe $G$ imprimitiv auf $I$ und sei $\Delta$ ein Imprimitivitätsgebiet von $G$. Sei $$H=\{g\ |\ g\in G, g(\Delta)=\Delta\}$$ und sei $G=\bigcup\limits_{r \in R}Hr$ die Nebenklassenzerlegung von $G$ nach $H$.

- Sei $|I|<\infty.$ Dann folgt $|I|=|\Delta||R|$, also ist $|\Delta|$ ein Teiler von $|I|$. (Es geht noch weiter, aber erst mal unwichtig. Knackpunkt ist die Gleichung: $|I|=|\Delta||R|$ - R ist das System der Rechtsnebenklassenvertreter)

Ich habe mir das eigentlich recht einfach an einem Beispiel verdeutlicht:
Sei $$G = \left\{ Id,
\left( \begin{array}{lcrr}
1 & 2 & 3 & 4\\
2 & 3 & 4 & 1
\end{array} \right) ,
\left( \begin{array}{lcrr}
1 & 2 & 3 & 4\\
3 & 4 & 1 & 2
\end{array} \right) ,
\left( \begin{array}{lcrr}
1 & 2 & 3 & 4\\
4 & 1 & 2 & 3
\end{array} \right)   \right\}$$ eine transitive Permutationsgruppe. Wir benennen die Elemente der Gruppe der Reihe nach wie folgt: $Id, g_1, g_2, g_3$. Nach Definition 2.4 ist $G$ imprimitiv mit dem Imprimitivitätsgebiet $\Delta=\left\{ 1,3 \right\}.$ Weiter definieren wir, konform zum Satz 2.10: $H=\left\{ g \in G | g(\Delta)=\Delta \right\}=\left\{ g_2 \right\}.$

Bis hier hin ist noch alles klar. Problematisch wird nun nur, dass ich vier (!) Rechtsnebenklassen $Hg$ erhalte, da stimmt ihr mir zu, oder nicht? Liegt doch einfach daran, dass ich Pro Nebenklasse mein $g$ fest lasse. Es existiert nur ein $h\ in H$. Da es nun vier $g$'s in $G$ gibt, existieren vier einelementige Rechtsnebenklassen. Daher ist meine Menge $R$, die Menge der Vertreter der Rechtsnebenklassen, eine Menge die gerade die Elemente der Rechtsnebenklassen enthält - ist das so richtig?

Wenn man sich nun den zweiten Punkt des Satzes anschaut, stellt man fest, dass dieser sagt: $|I|=|\Delta||R|$ - mein $|\Delta|$ ist 2. Es enthält ja die 1 und die 3. Mein $|R|$ ist aber nun 4. D.h. ich hätte $|I|=8$. $|I|$ enthält aber nur vier Element - 1 bis 4. Wo ist mein Denkfehler?

Was bedeutet "X ist Teiler von Y"? Ist das auf den Normalteiler bezogen oder ist das quasi ein Ausdruck für "Ich kann X durch Y teilen und erhalte eine Zahl aus den natürlichen Zahlen"?

Danke danke danke für jede Antwort - ihr rettet mir den Hintern :-)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3127
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2018-10-14


2018-10-14 12:49 - DickerFisch in Beitrag No. 19 schreibt:
Weiter definieren wir, konform zum Satz 2.10: $H=\left\{ g \in G | g(\Delta)=\Delta \right\}=\left\{ g_2 \right\}.$

Bis hier hin ist noch alles klar. Problematisch wird nun nur, dass ich vier (!) Rechtsnebenklassen $Hg$ erhalte, da stimmt ihr mir zu, oder nicht?
Nein, es sind 2 Rechtsnebenklassen. Du hast bei $H$ die Identität unterschlagen, es gilt natürlich auch $\mathrm{id}(\Delta)=\Delta$.


Was bedeutet "X ist Teiler von Y"? Ist das auf den Normalteiler bezogen oder ist das quasi ein Ausdruck für "Ich kann X durch Y teilen und erhalte eine Zahl aus den natürlichen Zahlen"?
Ja, es ist die ganz normale Teilbarkeit von ganzen Zahlen gemeint.


[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Gruppen' von ligning]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DickerFisch
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.06.2018
Mitteilungen: 71
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-14


So, jetzt geht es an die Kranzprodukte und da scheitere ich schon an der Definition:
Sei $G$ eine Gruppe und $H$ eine Permutationsgruppe auf der endlichen Ziffernmenge $\Omega$. Unter dem Kranzprodukt $G \wr H$ von $G$ mit $H$ versteht man die Menge $$\{(f,h)|h\in H, f Abbildung\ von\ \Omega\ in\ G\}$$ versehen mit der Multiplikation $$(f_1(i),h_1)(f_2(i),h_2)=(f_1(i)f_2(i^{h_1}),h_1h_2)\ \ \ (i \in \Omega).$$
Was genau macht diese f? Bildet es ein $i \in \Omega$ auf ein Element von G, also z.B. bei einer Permutationsgruppe eine Permutation, ab? Oder wie? Wie kann ich mir das vorstellen?

Zu einem anderen Satz:

Was genau ist hier mit z.B. $i^{f(j)}$ gemeint? Eigentlich hat das Buch die Notation, dass $x^f$ bedeutet, dass f auf x ausgeführt wird. Aber jetzt schmeißt der Autor beides durcheinander?! Oder gilt: $i^{f(j)}= f(j(i))$? Und was ist dann im Beweis bitte $i^{f(j)f'(j^H)}$?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3127
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2018-10-16


2018-10-14 16:10 - DickerFisch in Beitrag No. 21 schreibt:
Was genau macht diese f? Bildet es ein $i \in \Omega$ auf ein Element von G, also z.B. bei einer Permutationsgruppe eine Permutation, ab?
Es ist doch eine Abbildung von $\Omega$ nach $G$, also ... ja? Viellecht versteh ich die Frage nicht, aber das steht ja so ganz klar in der Definition.


Was genau ist hier mit z.B. $i^{f(j)}$ gemeint? Eigentlich hat das Buch die Notation, dass $x^f$ bedeutet, dass f auf x ausgeführt wird. Aber jetzt schmeißt der Autor beides durcheinander?!
Das heißt dann, dass $f(j)$ auf $i$ ausgeführt wird, wie du es nennst. Was ist da durcheinander?


Und was ist dann im Beweis bitte $i^{f(j)f'(j^H)}$?

Da wird $f(j)f'(j^H)$ auf $i$ ausgeführt.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DickerFisch
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.06.2018
Mitteilungen: 71
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-17


Irgendwie versteh ich die ganze Definition nicht, ich brauch da immer Beispiele zu.
Angenommen ich schnapp mir als $G$ jetzt mal $(Z,+)$ und $H$ ist einfach irgendeine einfache Permutationsgruppe, nehmen wir einfach $\langle \eta \rangle$ von oben mit $\Omega=\{1,2,3\}$.
Das Kranzprodukt ist ja eine Menge an Tupeln, die ein mal die Abbildungen $f:\Omega \longrightarrow G$ enthalten und zusätzlich noch alle Permutationen aus $H$.
Wie sähe hier dann im Beispiel die Menge explizit aus? Hat f noch weitere Vorschriften? Wohin bildet f nun die i's 1,2,3 ab? Als Identität wieder auf 1,2,3 bloß in $(Z,+)$?
Dann wäre meine Menge ja:
$(Z,+) \wr \langle \eta \rangle =\{(f(1)=1, \eta), (f(1)=1, \eta^2), ..., (f(2)=2, \eta), (f(2)=2, \eta^2),..., (f(3)=3), \eta), ..., usw usw\}$

Verstehe ich hier irgendwas grundsätzliches schon nicht?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3127
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2018-10-17


Es ist (als Menge) einfach nur ein kartesisches Produkt. Bitte mal tief durchatmen und nicht verwirren lassen.

Mit deinem Beispiel, $G=(\IZ,+),\, H=\langle\eta\rangle = \left\langle\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}\right\rangle,\,\Omega=\{1,2,3\}$ wäre das also $G\wr H = \mathrm{Abb}(\Omega, G)\times H = \{ (f, h)\mid f:\{1,2,3\}\to\IZ, h \in \{ \mathrm{id}, \eta, \eta^2 \}\}$.


Hat f noch weitere Vorschriften? Wohin bildet f nun die i's 1,2,3 ab? Als Identität wieder auf 1,2,3 bloß in $(Z,+)$?
Nein. Nach $\IZ$. Verstehe die Frage nicht, wieso "Identität"?


Dann wäre meine Menge ja:
$(Z,+) \wr \langle \eta \rangle =\{(f(1)=1, \eta), (f(1)=1, \eta^2), ..., (f(2)=2, \eta), (f(2)=2, \eta^2),..., (f(3)=3), \eta), ..., usw usw\}$
Ich verstehe die Notation nicht, aber bezweifle einfach mal, dass z.B. $f(1)=1$ eine Abbildung $\{1,2,3\}\to\IZ$ festlegt.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DickerFisch
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.06.2018
Mitteilungen: 71
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-18


Ja, ich glaube ich habe da einfach zu weit gedacht. Danke!

Ich möchte jetzt weiter zeigen, dass das Kranzprodukt eine Gruppe ist, also Assoziativität prüfen, Existenz des neutralen/inversen Elements zeigen.
Zuerst noch mal meine Definition:
Sei $G$ eine Gruppe und $H$ eine Permutationsgruppe auf der endlichen Ziffernmenge $\Omega$. Unter dem Kranzprodukt $G \wr H$ von $G$ mit $H$ versteht man die Menge $$\{(f,h)|h\in H, f Abbildung\ von\ \Omega\ in\ G\}$$ versehen mit der Multiplikation $$(f_1(i),h_1)(f_2(i),h_2)=(f_1(i)f_2(i^{h_1}),h_1h_2)\ \ \ (i \in \Omega).$$
$G \wr H$ ist eine Gruppe, d.h. für alle $i \in \Omega$ gilt:

Assoziativität: $((f_1(i),h_1)(f_2(i),h_2))(f_3(i),h_3)=(f_1(i),h_1)((f_2(i),h_2)(f_3(i),h_3))$
Neutrales Element: Für $f(i)=E$ ist $(f(i),E)$ das neutrale Element von $G \wr H$.
Inverses Element: $(f(i^{h^{-1}})^{-1},h^{-1})$ ist das Inverse von $(f,h)$

Zum Beweis zu 1. und 2. bin ich mir recht sicher. Jedoch weiß ich nicht genau, wie ich 3. zeige. So viel hab ich dazu:
$$(f,h)(f(i^{h^{-1}})^{-1},h^{-1})=(f(i)f((i^h)^{h^{-1}})^{-1},hh^{-1})=(f(i)f(i)^{-1},hh^{-1})$$ $$\stackrel{?}{=}(f(i),E)\ mit\ f(i)=E$$
Dass aus $hh^-{1}$ wieder E wird, ist mir klar. Auch die Rechnung dazu müsste passen. Aber bei $f(i)f(i)^{-1}$ - warum kommt da E raus? Das wäre doch quasi zuerst die Abbildung von $G$ nach $\Omega$ und dann wieder von $\Omega$ nach $G$. Muss ja nicht zwangsläufig aufs E abbilden, oder?

Weiter hab ich wegen dem nächsten Satz noch Probleme mit dem Normalteiler:

Wofür steht hier das "kleiner gleich"? Anzahl der Elemente? Ist im Buch nicht weiter erläutert...



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3127
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2018-10-18


Hallo,

ich hab das mal nachgerechnet.

2018-10-18 14:28 - DickerFisch in Beitrag No. 25 schreibt:
Dass aus $hh^-{1}$ wieder E wird, ist mir klar. Auch die Rechnung dazu müsste passen. Aber bei $f(i)f(i)^{-1}$ - warum kommt da E raus? Das wäre doch quasi zuerst die Abbildung von $G$ nach $\Omega$ und dann wieder von $\Omega$ nach $G$. Muss ja nicht zwangsläufig aufs E abbilden, oder?
Da steht ja nicht $f^{-1}$ (das würde auch nicht viel Sinn ergeben, da $f$ sicher im Allgemeinen nicht invertierbar ist), sondern $f(i)^{-1}$. Das ist also das inverse Element in $G$. Und so gilt selbstverständlich $f(i)f(i)^{-1} = e_G$. (Ich würde keine Großbuchstaben wie $E$ für Elemente verwenden. Das geht in dem Buch, weil er für Gruppen Frakturbuchstaben verwendet. Außerdem sollte man anfangs evtl. die Elemente von $G$ und $H$ unterscheiden.)


Wofür steht hier das "kleiner gleich"? Anzahl der Elemente? Ist im Buch nicht weiter erläutert...
Es steht für "Untergruppe". Siehe Seite 5.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DickerFisch
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.06.2018
Mitteilungen: 71
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-18


Ahhhh - das ergibt Sinn, danke!! :) Das mit "kleiner gleich" hab ich dann wohl mit dem Teilmengen-Symbol unserer VL vertan und dachte "kleiner gleich" ist noch mal was besonderes. Hätte man drauf kommen können, danke dir!

Doch noch eine Frage zur Existenz des neutralen Elements:
Zu zeigen ist doch $(f_1(i),h_1)(f(i),e)\stackrel{!}{=}(f_1(i),h_1)$ mit $f(i)=e.$

Rechne ich dann einfach so?
$(f_1(i),h_1)(f(i),e)=(f_1(i)f(i^{h_1}),h_1e)=(f_1(i)e,h_1e)$$$$=(f_1(i),h_1)$
Warum gilt denn hier wieder der vorletzte Schritt? Warum wird aus $f(i^{h_1})$ das $e$? Liegt das daran, dass wir ja vorher sagen, dass $f(i)=e$ ist für alle $i$'s die man reinpackt? Wäre das das richtige Argument?

Habe übrigens die Notation mal von E zu e geändert, danke für den sinnvollen Hinweis!



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3127
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2018-10-18


2018-10-18 16:35 - DickerFisch in Beitrag No. 27 schreibt:
Ahhhh - das ergibt Sinn, danke!! :) Das mit "kleiner gleich" hab ich dann wohl mit dem Teilmengen-Symbol unserer VL vertan und dachte "kleiner gleich" ist noch mal was besonderes.
Es ist ja auch was besonderes. Eine Untergruppe ist eine besondere Teilmenge.


Warum gilt denn hier wieder der vorletzte Schritt? Warum wird aus $f(i^{h_1})$ das $e$? Liegt das daran, dass wir ja vorher sagen, dass $f(i)=e$ ist für alle $i$'s die man reinpackt? Wäre das das richtige Argument?
Ja, $f$ ist hier die konstante Abbildung, die alles auf $e$ abbildet.

Du solltest übrigens vorsichtiger mit der Notation sein. $f$ ist die Abbildung, $f(i)$ ist der Funktionswert. Ich hab dazu vorher nichts gesagt, weil ich dachte, dass das in dem Buch auch so gemacht wird, z.B. in der Definition des Kranzprodukts in Beitrag 21. Man weiß, was gemeint ist, aber ich kann dir nicht garantieren, dass du nicht irgendwann mal irgendeinen Schluss daraus ziehst, der sich als falsch erweist.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DickerFisch
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.06.2018
Mitteilungen: 71
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-19


Okay, darauf achte ich dann noch mal. Danke!

Was genau ist eine Permutationsdarstellung? Klar, ein Homomorphismus von G in die symmetrische Gruppe. Aber irgendwie fällt mir dazu kein Beispiel ein und ich weiß nicht so genau was mir das Ding nützt. Hast du da vielleicht ein Beispiel (was ich verstehe)?

Und warum zeigt man die Assoziativität wenn man zeigen will, dass etwas eine Permutationsdarstellung ist? Rechnung ist mir glaube ich dank dir klar - aber warum schließt man durch Assoziativität direkt auf Permutationsdarstellung?


Und nur zur Sicherheit: Alle symmetrischen Gruppen sind primitiv, richtig? Auch $\Sigma_2$? Und der >Autor schreibt immer "Die symmetrische Gruppe $\Sigma_n$ auf $\Omega=\{1,...,n\}$." Kann $\Omega$ auch bis n+1 gehen? Was passiert dann? Wie sehen die Permutationen aus? z.B. $\Sigma_3\ auf\ \{1,2,3,4\}$...? Wird die 4 dann einfach auf $\{1,2,3\}$ ohne die 4 geschickt?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3127
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, eingetragen 2018-10-19


2018-10-19 09:00 - DickerFisch in Beitrag No. 29 schreibt:
Was genau ist eine Permutationsdarstellung? Klar, ein Homomorphismus von G in die symmetrische Gruppe. Aber irgendwie fällt mir dazu kein Beispiel ein und ich weiß nicht so genau was mir das Ding nützt. Hast du da vielleicht ein Beispiel (was ich verstehe)?
Auf Wikipedia gibt es unzählige Beispiele.


Und warum zeigt man die Assoziativität wenn man zeigen will, dass etwas eine Permutationsdarstellung ist?
Man prüft die Homomorphismuseigenschaft. Ich trau der von-rechts-Schreibweise im Huppert nicht so richtig und formuliere das erstmal so, wie ich es kenne. Sei $\rho : G\to S_\Omega$ eine Abbildung. Man schreibt statt $\rho(g)(x)$ auch $g\cdot x$ dafür, dass $g$ über $\rho$ auf $x$ wirkt. Das ist ein Homomorphismus, wenn gilt $\rho(gg') = \rho(g)\circ\rho(g')$. Das heißt: $(gg')\cdot x = \rho(gg')(x) = (\rho(g)\circ\rho(g'))(x) = \rho(g)[\rho(g')(x)] = g\cdot(g'\cdot x)$. Diese "Assoziativität" ist somit äquivalent damit, dass es sich um eine Darstellung handelt.

In der von-rechts-Schreibweise sähe das vermutlich so ähnlich aus: $x^{gg'} = x (gg')^\rho = x (g^\rho * g'^\rho) = (x g^\rho) g'^\rho = (x^g)^{g'}$.

Ich bin mir nicht sicher, wie in dem Buch Komposition von Abbildungen geschrieben wird. Der Stern soll bedeuten $x (f * g) := (x f) g$. Also das umgekehrte der bekannten Komposition $\circ$, für die von-rechts-Schreibweise.


Und nur zur Sicherheit: Alle symmetrischen Gruppen sind primitiv, richtig? Auch $\Sigma_2$?
Ja. Ja.


 Und der >Autor schreibt immer "Die symmetrische Gruppe $\Sigma_n$ auf $\Omega=\{1,...,n\}$." Kann $\Omega$ auch bis n+1 gehen? Was passiert dann? Wie sehen die Permutationen aus? z.B. $\Sigma_3\ auf\ \{1,2,3,4\}$...? Wird die 4 dann einfach auf $\{1,2,3\}$ ohne die 4 geschickt?
Die symmetrische Gruppe $\Sigma_n$ ist definiert als die Gruppe der bijektiven Abbildungen von $\{1,\ldots,n\}$ auf sich selbst. Das sollte die Unklarheit beseitigen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dune
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 30.03.2009
Mitteilungen: 3051
Aus: Rostock
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.31, eingetragen 2018-10-19


Hi Leute,

ich habe den Thread nur ein bisschen überflogen, daher sorry falls ich nur irgendwas bereits gesagtes wiederhole.

Eine modernere Quelle als Huppert wäre das Buch "The theory of finite groups" von Kurzweil und Stellmacher. In Kapitel 4.4 geht es ganz konkret um den Zusammenhang von imprimitiven Permutationsgruppen und Kranzprodukten. Die grobe Idee dahinter ist, dass sich imprimitive Gruppenoperationen aus primitiven "zusammensetzen" (wenn ich mich richtig erinnere, lässt sich jede imprimitive Gruppe als Untergruppe in ein Kranzprodukt primitiver Gruppen einbetten). Auf diese Weise lassen sich viele Fragestellungen über beliebige Permutationsgruppen auf primitive Permutationsgruppen zurückführen. Letztere sind durch das O'Nan–Scott Theorem und die Klassifikation endlicher einfacher Gruppen vollständig klassifiziert.

VG Dune



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DickerFisch
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.06.2018
Mitteilungen: 71
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-20


Danke für den Buchtipp!

Zu folgendem Satz ergeben sich noch ein paar Unklarheiten?

Sei $G$ eine Gruppe und $H$ eine Permutationsgruppe auf $\Omega$ mit $\Omega=|n|$. Das Kranzprodukt $G\wr H$ besitzt den Normalteiler $$D=D_1\times\cdot\cdot\cdot\times D_n$$ mit
$$D_i =\{(f,e)|f(j)=e\ fuer\ j \neq i\}\cong G$$ Es ist $$H^*=\{(c,h)|h\in H,\ c(i)=e\ fuer\ alle\ i\in \Omega\}\cong H$$ ein Komplement von $D$ in $G \wr H$. Also ist $|G\wr H|=|G|^n |H|$. Bei Transformation mit dem Element $h^*=(c,h)$ aus $H^*$ werden die direkten Faktoren $D_i$ von $D$ gemäß $D_i^{h^*}$ vertauscht.

1. Ist die folgende Begründung richtig?
$|G\wr H|=|G|^n |H|$ gilt, da $D_i$ isomorph, also bijektiv, zu G ist und genau n mal im Kreuzprodukt ist und $h* \in H$ isomorph, also bijektiv, zu H ist?

2. Von wo nach wo bildet die Abbildung c ab? (Originalnotation war e) Und warum steht das nirgends? Auch von G nach Omega?

3. Könnte man mit folgender Zeichnung den Sachverhalt "anschaulich" darlegen? Oder zeigt die Zeichnung, dass ich es nicht gerafft habe?

Warum steht zwischen $|G|^n$ und $|H|$ eigentlich ein * und kein +? Wird hier wieder das kartesische Produkt genommen?

4. Was bedeutet in diesem Sinne Transformation mit dem Element h*? Was bedeutet diese Vertauschung?

5. Laut Beweis gilt "Offenbar", dass $D_i \cong G$ - warum ist das so offensichtlich?! G ist doch einfach nur irgendeine Gruppe... Und $D_i$ enthält alle Abilldungen die für $j \neq i$ aufs neutrale Element $e_G$ abbilden und das neutrale Element selbst...

6. Irgendwie habe ich auch noch nicht verstanden, was das kartesische Produkt mit diesen $(f,h)$'s $(f,e)$'s usw. eigentlich anstellt.
Beispiel aus dem Beweis vom obigen Satz:
Sei $\Omega=\{1,...,n\}$. Wir setzen $$D=\{(f,e)|f:\Omega \longrightarrow G\}$$ und $$D_i=\{(f,e)|f(j)=e\ mit\ j \neq i\}.$$ Offenbar gilt $D_i \cong G$ und $D=D_1 \times \cdot\cdot\cdot \times D_n.$
Warum ergeben die $D_i$'s im kartesischen Produkt gerade D? Sagen wir $|\Omega|=3$. Dann ist $D=D_1xD_2=(f,e)x(f,e)$ wobei das erste f die Abbildungen sind, die die 2 auf das neutrale schicken und das zweite f die Abbildung, die die 1 auf das neutrale schickt... (bis hier richtig?). Was macht das kartesische Produkt jetzt mit diesen beiden Dingern? Und ist das das gleiche wie $$(f,h)=(f,e)(c,h)\ mit \ c(i)=e\ \forall i \in \Omega$$? Mit welcher verknüpfung wird hier $(f,e)(c,h)$ gerechnet?

7. Zum Beispiel:

Was ist hier das e? Das neutrale Element? Und was hat dieser Punkt zwischen s und x zu bedeuten? Ist Per(3) die Menge der Permutationen für drei Elemente? Also gerade $\Sigma_n$? Das Beispiel macht die Sache irgendwie nicht verständlicher

8. Hier nochmal der letzte Teil vom Beweis:
Für $h^*=(c,h) \in H^*$ und $d=(g,e) \in D_i$ gilt $$h^{*-1}dh^*=(h,e)$$ mit $h(j)=g(j^{h^{-1}}).$ Also ist $D_i^{h^*}=D_{i^h}$.

Wo lebt das "d" und woher kommt das g? Und ist das die besagte Transformation wo ich weiter oben schon gefragt habe?

9. Noch mal zu meinem Beitrag Nr. 29 in diesem Thread (zum Beweis) - Warum besitzt die Abbildung ein Inverses?

10. Ich will anhand diesen Beispiels noch mal die Multiplikation im Kranzprodukt in meinem Vortrag zeigen:
$G=(\IZ,+),\, H=\langle\eta\rangle = \left\langle\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}\right\rangle,\,\Omega=\{1,2,3\}$ wäre das also $G\wr H = \mathrm{Abb}(\Omega, G)\times H = \{ (f, h)\mid f:\{1,2,3\}\to\IZ, h \in \{ \mathrm{id}, \eta, \eta^2 \}\}$.

Könnte ich das dann wie folgt schreiben?
$f_1,f_2:\{1,2,3\} \longrightarrow Z$ mit $f_1(i)=i+1$ und $f_2(i)=i+2$. Die Multiplikation ist ja gegeben durch $(f_1(i)f_2(i^{h_1}),h_1h_2)$. Angenommen ich packe in diese Multiplikation ein i rein, dann hätte ich doch z.B. für $i=1$ einfach das Tupel $(5,h_1h_2)$ wobei $h_1h_2$ einfach wieder eine Permutation ist, die halt durch die Komposition entsteht?

Sorry, dass es so viel ist und der Thread hier absolut unnormale Ausmaße annimmt. Aber ich finde die verschiedenen Notationen und das Thema einfach nur verwirrend. Ich hätte mir ein anderes Thema aussuchen sollen. Unsere ersten Seminarvorträge gingen über "Gruppen allgemein", "symmetrische Gruppen" oder sowas. Das war ein bisschen Gruppenhomomorphismen erklären, dann was eine Nebenklasse ist und den Satz von Lagrange. Wow. Und ich muss mich mit diesem Scheiß aus diesem uralten Kackbuch hier zurechtfinden und kassier vermutlich auch noch ne miese Note weil ich einfach zu dämlich bin. Sorry fürs aufregen. Aber musste ich mal loswerden. Stresst mich gerade etwas, auch wenn ich noch viel Zeit habe (05. November is Abgabe)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3127
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.33, eingetragen 2018-10-20


Hallo!

Das ist ganz schön viel auf einmal!

2018-10-20 09:21 - DickerFisch in Beitrag No. 32 schreibt:
1. Ist die folgende Begründung richtig?
$|G\wr H|=|G|^n |H|$ gilt, da $D_i$ isomorph, also bijektiv, zu G ist und genau n mal im Kreuzprodukt ist und $h* \in H$ isomorph, also bijektiv, zu H ist?
Deine Überlegung ist richtig. Aber $|G\wr H|=|G|^n |H|$ folgt eigentlich schon mithilfe elementarer kombinatorischer Überlegungen aus der Definition des Kranzproduktes als $\mathrm{Abb}(\Omega, G)\times H$ mit $n = |\Omega|$. Ich kann mir nicht erklären, wieso das hier aus dem Satz geschlussfolgert wird. Vielleicht übersehe ich irgendwas  😵


2. Von wo nach wo bildet die Abbildung c ab? (Originalnotation war e) Und warum steht das nirgends? Auch von G nach Omega?
Nach $G$. Es ist die konstante Funktion $i\mapsto e_G$. Das steht da nicht explizit, aber erstens kommen nicht soviele Möglichkeiten in Frage, und zweitens wird ja behauptet, dass $H^*$ ein Komplement von $D$ in $G\wr H$ sei, also muss insbesondere $H^*\subseteq G\wr H$ sein.



3. Könnte man mit folgender Zeichnung den Sachverhalt "anschaulich" darlegen? Oder zeigt die Zeichnung, dass ich es nicht gerafft habe?

Das sieht mir wie eine mengentheoretische Zerlegung aus. Hier geht es um ein gruppentheoretisches Komplement. Ich bin nicht ganz sicher, was das heißt, aber es sollte bedeuten, dass $G = H^*\times D$ ist. Jedenfalls spricht man bei der analogen Konstruktion "direkte Summe" in abelschen Gruppen, $A = B\oplus C$, davon, dass $C$ ein direktes Komplement zu $B$ sei.


Warum steht zwischen $|G|^n$ und $|H|$ eigentlich ein * und kein +? Wird hier wieder das kartesische Produkt genommen?
Siehe 1.


4. Was bedeutet in diesem Sinne Transformation mit dem Element h*? Was bedeutet diese Vertauschung?
Ich denke gemeint ist, dass $(D_i)^{h^*}$ einer der direkten Faktoren $D_j$ ist, und dass so durch $h^*$ eine Permutation dieser Faktoren gegeben ist.

Edit: Das muss die Konjugation sein, sonst würde man ja Nebenklassen und nicht Untergruppen erhalten. Das heißt, mit $(D_i)^{h^*}$ ist die Untergruppe $(h^*)^{-1} D_i h^* = \{ (h^*)^{-1} x h^* \mid x\in D_i\}$ gemeint.


5. Laut Beweis gilt "Offenbar", dass $D_i \cong G$ - warum ist das so offensichtlich?! G ist doch einfach nur irgendeine Gruppe... Und $D_i$ enthält alle Abilldungen die für $j \neq i$ aufs neutrale Element $e_G$ abbilden und das neutrale Element selbst...
Die Elemente von $D_i$ sind alle Paare $(f, e_H)$, wobei $f$ alles außer $i$ auf $e_G$ abbildet. Das heißt, der einzige Freiheitsgrad, den so eine Funktion noch hat, ist $f(i)$.

Mit anderen Worten: Die Abbildung $(f,e) \mapsto f(i)$ ist ein Isomorphismus $D_i \xrightarrow{\sim} G$.


6. Irgendwie habe ich auch noch nicht verstanden, was das kartesische Produkt mit diesen $(f,h)$'s $(f,e)$'s usw. eigentlich anstellt.
Beispiel aus dem Beweis vom obigen Satz:
Sei $\Omega=\{1,...,n\}$. Wir setzen $$D=\{(f,e)|f:\Omega \longrightarrow G\}$$ und $$D_i=\{(f,e)|f(j)=e\ mit\ j \neq i\}.$$ Offenbar gilt $D_i \cong G$ und $D=D_1 \times \cdot\cdot\cdot \times D_n.$
Warum ergeben die $D_i$'s im kartesischen Produkt gerade D? Sagen wir $|\Omega|=3$. Dann ist $D=D_1xD_2=(f,e)x(f,e)$ wobei das erste f die Abbildungen sind, die die 2 auf das neutrale schicken und das zweite f die Abbildung, die die 1 auf das neutrale schickt... (bis hier richtig?). Was macht das kartesische Produkt jetzt mit diesen beiden Dingern? Und ist das das gleiche wie $$(f,h)=(f,e)(c,h)\ mit \ c(i)=e\ \forall i \in \Omega$$? Mit welcher verknüpfung wird hier $(f,e)(c,h)$ gerechnet?
Das ist die Verknüpfung des Kranzproduktes. Sorry, ich hab gerade nicht genug Zeit um das im Detail zu durchdenken, vielleicht schreib ich dazu später noch was. Ich denke man kann sich die $f$s aus den $D_i$ wie eine Art Basis vorstellen, aus denen man das $f$ aus $D$ zusammenbastelt. Die Funktion aus $D_i$ trägt den Wert $f(i)$ dazu bei (die anderen sind $e$). Soweit meine Intuition, ich habs nicht nachgerechnet.

Edit: Ja, genau so ist es. Da die $H$-Komponenten in den Tupeln sowieso alle $e$ sind, gibt es hier auch nichts zu rechnen. Die Sache ist schwerer aufzuschreiben als zu durchdenken 😄


7. Zum Beispiel:

Was ist hier das e? Das neutrale Element? Und was hat dieser Punkt zwischen s und x zu bedeuten? Ist Per(3) die Menge der Permutationen für drei Elemente? Also gerade $\Sigma_n$? Das Beispiel macht die Sache irgendwie nicht verständlicher
$e$ kommt hier gar nicht vor. Erstmal haben wir die endliche Menge $X$. Dann bilden wir den frei von $X$ erzeugten Vektorraum. Das bedeutet eigentlich nichts anderes, als dass man jedem $x\in X$ formal einen Vektor $e_x$ zuordnet, der Vektorraum besteht dann aus allen Linearkombinationen $\sum_{x\in X} a_x e_x$, wobei die Koeffizienten $a_x$ aus dem Skalarkörper kommen.

Die Wirkung von $s$ auf $x$ wird $s\cdot x$ oder $s.x$ geschrieben.

Der Sinn hier ist: Wenn $G$ eine Menge $X$ permutiert, dann hat man automatisch eine lineare Wirkung von $G$ auf dem von $X$ frei erzeugten Vektorraum, indem $G$ die Basisvektoren permutiert.

In dem Beispiel sei z.B. $\sigma\in S_3$ die Transposition von 1 und 2. Dann wäre $\sigma\cdot (a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3) = a_1 e_2 + a_2 e_1 + a_3 e_3$.

Ich muss hier mal für den Moment abbrechen. Ich hoffe dass das so halbwegs stimmt, was ich geschrieben habe. Morgen gehts ggf. weiter.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3127
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.34, eingetragen 2018-10-21


Weiter gehts!

(ich hab bei 4. im vorherigen Posting noch was editiert)

2018-10-20 09:21 - DickerFisch in Beitrag No. 32 schreibt:
8. Hier nochmal der letzte Teil vom Beweis:
Für $h^*=(c,h) \in H^*$ und $d=(g,e) \in D_i$ gilt $$h^{*-1}dh^*=(h,e)$$ mit $h(j)=g(j^{h^{-1}}).$ Also ist $D_i^{h^*}=D_{i^h}$.

Wo lebt das "d" und woher kommt das g? Und ist das die besagte Transformation wo ich weiter oben schon gefragt habe?
Das $d$ ist ein Element von $D_i$, es hat also die Form $d = (g,e_H)$, wobei $g$ eine Funktion ist, die alle $j\neq i$ konstant auf $e_G$ abbildet und $i$ möglicherweise auf etwas anderes. Ja, das ist genau die erwähnte Transformation. Die Konjugation mit $h^*$.


9. Noch mal zu meinem Beitrag Nr. 29 in diesem Thread (zum Beweis) - Warum besitzt die Abbildung ein Inverses?
Ich weiß nicht, warum er das an der Stelle erwähnt. Für eine (Rechts-)Darstellung einer Gruppe $G$ auf eine Menge $X$ ist es nur entscheidend, dass die Assoziativität gilt: $x^{gg'} = (x^g)^{g'}$. Es folgt $(x^g)^{g^{-1}} = x^{gg^{-1}} = x^e = x$, d.h. die Abbildung $x\mapsto x^g$ hat die Inverse $x\mapsto x^{g^{-1}}$.


10. Ich will anhand diesen Beispiels noch mal die Multiplikation im Kranzprodukt in meinem Vortrag zeigen:
$G=(\IZ,+),\, H=\langle\eta\rangle = \left\langle\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}\right\rangle,\,\Omega=\{1,2,3\}$ wäre das also $G\wr H = \mathrm{Abb}(\Omega, G)\times H = \{ (f, h)\mid f:\{1,2,3\}\to\IZ, h \in \{ \mathrm{id}, \eta, \eta^2 \}\}$.

Könnte ich das dann wie folgt schreiben?
$f_1,f_2:\{1,2,3\} \longrightarrow Z$ mit $f_1(i)=i+1$ und $f_2(i)=i+2$. Die Multiplikation ist ja gegeben durch $(f_1(i)f_2(i^{h_1}),h_1h_2)$. Angenommen ich packe in diese Multiplikation ein i rein, dann hätte ich doch z.B. für $i=1$ einfach das Tupel $(5,h_1h_2)$ wobei $h_1h_2$ einfach wieder eine Permutation ist, die halt durch die Komposition entsteht?
Was bedeutet "ein i reinpacken"? Das Tupel $(f,h)$ ist keine Abbildung. Auch das Tupel $(f_1(i)f_2(i^{h_1}),h_1h_2)$ ist keine Abbildung. Ich hatte dich in Beitrag 28 vor schlampiger Notation gewarnt, jetzt bist du wohl tatsächlich reingefallen.

Außerdem ist mir unklar, wie du die 5 bestimmt hast, wenn $h_1$ unbestimmt ist.

Von vorn. Wir brauchen nicht nur die $f$s, sondern auch die $h$s. Sei $h_1 = \eta$, $h_2 = \mathrm{id}$. Dann ist $(f_1, h_1)(f_2, h_2) = (f, h)$ mit $h = h_1 h_2 = \eta$ und $f(i) = f_1(i)+f_2(i^{h_1}) = (i+1)+(i^{\eta}+2)$, also z.B. $f(1) = (1+1) + (2+2) = 6$.

Übrigens bin ich mir gerade nicht sicher, ob das ein zulässiges Beispiel ist. Der Buchtitel spricht ja von "endlichen Gruppen", und die Formel $|G\wr H| = |G|^n |H|$ stimmt natürlich auch nur für endliche $G$, ohne dass das so erwähnt wurde. Wenn in dem Buch die Theorie für unendliche $G$ nicht angesprochen wurde, wäre es m.E. klug, auch für illustrierende Beispiele nur endliche Gruppen zu verwenden.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DickerFisch
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.06.2018
Mitteilungen: 71
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.35, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-27


Danke für deine Antwort, vor allem auch für die per PN, die haben mir noch mal etwas Sicherheit gegeben :) Nicht erschrecken - ist weniger als es aussieht! Hab nur direkt die Sätze als Bild reingepackt, damit es bequemer für dich ist!

Es kommen jetzt (wirklich :-) ) so langsam die letzten (diesmal gezielten) Fragen:
1.

(Ich habe diesen Quatsch mit der Konjugation und Vertauschung weggelassen, da mir das nicht wirklich hilfreich erschien.)
Frage:
Warum zeigt man das mit dem Epimorphismus? Liegt das an diesem Hauptsatz, der bei Huppert 6.2 ist? Zeigt man damit, dass D ein Normalteiler ist?

Wie könnte man diesen Satz verbalisieren? Will den nicht extra in mein Skript schreiben und erläutern, nur um einen Teil vom Satz zu zeigen, zumal vorher schon Vorträge waren, die das hätten zeigen müssen. Will quasi sagen "Laut einem Hauptsatz aus vorhergegangenen vorträge, muss man nur zeigen, dass ein Epimorphismus $\varepsilon$ ex.",bloß mit etwas mehr Info, aber ich verstehe diesen Satz halt nicht so gut.

2.
Verstehe was er rechnet, verstehe aber nicht warum das nun die treue zeigt. Was ist eigentlich zu zeigen? (oben Beweis, unten Satz - es geht nur um die treue Darstellung)


Das war es schon, danach sind die Kranzprodukte fertig. =)
Zu Imprimitiven Gruppen hab ich wahrscheinlich ($P(E)=1$ - wobei $E$ das Ereignis ist, dass noch eine Frage kommt) heute nachmittag noch eine Frage. Schaue mir das aber erst noch mal in Ruhe an, ich hoffe ich kann dann heute Abend abschicken.

DANKE!



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3127
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.36, eingetragen 2018-10-28


2018-10-27 11:50 - DickerFisch in Beitrag No. 35 schreibt:
Warum zeigt man das mit dem Epimorphismus? Liegt das an diesem Hauptsatz, der bei Huppert 6.2 ist? Zeigt man damit, dass D ein Normalteiler ist?
Dass der Kern D ist, sagt einem, dass D ein Normalteiler ist. Das mit dem Epimorphismus riecht irgendwie nach Isomorphiesatz, aber ich weiß nicht so genau, wozu das gemacht wird. Die Rechnung nach dieser Bemerkung zeigt, dass $H^*$ ein Komplement ist (es fehlt eigentlich noch, dass $D\cap H^* = \{ (c, e) \}$, aber das sieht man sofort.)

Ich sehe keine Verbindung zu dem Satz 6.2.


Wie könnte man diesen Satz verbalisieren?
Ich weiß nicht genau, was du damit meinst.

So oberflächlich würde ich sagen, hier wird eine Permutationswirkung von $G$ auf dem Quotienten $G/H$ durch $(Hg')^g = Hg'g$ definiert. Die Abbildung ist surjektiv per Konstruktion, nämlich indem man einfach den Bildbereich auf das Bild einschränkt.

Die Bedeutung, also vor allem warum das ein Hauptsatz ist, ist mir nicht klar.


2.
Verstehe was er rechnet, verstehe aber nicht warum das nun die treue zeigt. Was ist eigentlich zu zeigen? (oben Beweis, unten Satz - es geht nur um die treue Darstellung)
Du weißt was eine treue Darstellung ist? Wenn $G$ auf $\Omega$ wirkt und für alle $x\in\Omega$ gilt $x^g = x$, dann muss $g = e$ sein. Genau das rechnet er da nach: Wenn $(i,j)(f,h) = (i^{f(j)}, j^h) = (i,j)$ für alle $(i,j)\in\Gamma\times\Omega$ ist, dann gilt erstens $h = e_H$: $H$ ist ein Permutationsgruppe, und die Bedingung sagt genau, dass $h$ die identische Permutation sein muss.  Zweitens folgt aus $i^{f(j)} = i$ wegen der treuen Darstellung von $G$ auf $\Gamma$, dass $f(j) = e_G$ ist. Und zwar für alle $j$, also ist $f$ die konstante Abbildung auf $e$, die du immer $c$ genannt hattest. Das zeigt, dass die Darstellung von $G\wr H$ auf $\Gamma\times\Omega$ treu ist.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DickerFisch
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.06.2018
Mitteilungen: 71
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.37, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-09


Danke, danke, danke noch mal :) Der Prof hat meinen Vortrag jetzt ganz gut abgesegnet und hatte nur noch Kleinigkeiten!

Unter anderem diese seltsame Notation mit der Potenz $i^h$, die aber eigentlich das Ausführen von $h$ auf $i$ meint, mit z.B. $h$ als Permutation und $i \in \Omega$. Wie genau ist das definiert, du sagtest es gibt da noch irgendwelche Probleme und die Notation ist seltsam, wie ist sie denn definiert? Bei Huppert wird das so wie ich das sehe gar nicht definiert, der hat nur die Potenz selbst.
Ist das einfach eine Gruppenoperation?


Hier nutzt er auch einfach sofort $i^g$ ohne vorher erklärt zu haben, was das genau bedeutet... Wie ist das denn nun definiert?
Kann man das so schreiben?
Sei $G=\{g_1,...,g_n\}$ eine Gruppe und sei $\Omega=\{1,2,...,n\}$ eine Indexmenge, so notieren wir $$i^{g_i}=g_i \circ i.$$


Andere Frage:

Darf ich die vorletzte/letzte Gleichung so schreiben mit dem Platzhalter $\cdot$ ?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3127
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.38, eingetragen 2018-11-09


2018-11-09 07:39 - DickerFisch in Beitrag No. 37 schreibt:
Unter anderem diese seltsame Notation mit der Potenz $i^h$, die aber eigentlich das Ausführen von $h$ auf $i$ meint, mit z.B. $h$ als Permutation und $i \in \Omega$. Wie genau ist das definiert, du sagtest es gibt da noch irgendwelche Probleme und die Notation ist seltsam, wie ist sie denn definiert? Bei Huppert wird das so wie ich das sehe gar nicht definiert, der hat nur die Potenz selbst.
Ist das einfach eine Gruppenoperation?

Eine Permutation ist eine Bijektion $\Omega\to\Omega$. Der Huppert schreibt die Anwendung der Permutation $g$ auf $i\in\Omega$ als $i^g$. Damit $i^{gh} = (i^g)^h$ gilt (es also eine Wirkung von rechts ist), muss die Gruppenverknüpfung auf der Permutationsgruppe so definiert sein, dass $gh$ bedeutet: Zuerst $g$ anwenden, dann $h$.

Da Permutationen aber Abbildungen sind, sollte die Gruppenverknüpfung auf der Permutationsgruppe sinnvollerweise identisch mit der Komposition von Abbildungen sein. Es sollte also bei Abbildungen auch $fg$ für die Abbildung stehen, bei der man zuerst $f$ und dann $g$ anwendet. Normalerweise bedeutet die Komposition $f\circ g$ aber "f nach g". Da $(fg)(x) = g(f(x))$ einigermaßen verwirrend ist, kann man sich so behelfen, dass man Abbildungen auch von rechts schreibt, also $xf$ statt $f(x)$ bspw. Der Huppert macht das auch z.B. bei Homomorphismen. An irgendeiner Stelle hab ich gesehen, dass er eine Abbildung von links schreibt und ausdrücklich dazu sagt, dass das kein Problem ist, weil Abbildungen dieses Typs bei ihm nie in Kompositionen vorkommen.

Ich hab das Buch übrigens nicht hier, hab das nur fragmentarisch über Google Books gefunden. Ich vermute aber, dass er das schon irgendwo genauer definiert.


Hier nutzt er auch einfach sofort $i^g$ ohne vorher erklärt zu haben, was das genau bedeutet... Wie ist das denn nun definiert?
Kann man das so schreiben?
Sei $G=\{g_1,...,g_n\}$ eine Gruppe und sei $\Omega=\{1,2,...,n\}$ eine Indexmenge, so notieren wir $$i^{g_i}=g_i \circ i.$$
Sicher nicht! Erstens weiß ich nicht, warum du das überhaupt machen solltest. Da der mathematische Gehalt von der Notation nicht berührt wird, solltest du entweder alles in Linksnotation übersetzen oder die Notation aus dem Buch beibehalten. Beides einzuführen und irgendwie wechselseitig durcheinander zu definieren erzeugt nur Chaos. Aber das ist Geschmackssache. Zweitens und sehr viel wichtiger: $i^g$ steht für das Element von $\Omega$, das sich ergibt, wenn man die Permutation $g$ auf $i$ anwendet. Also eher $g(i)$. Die Komposition $g\circ i$ ergibt keinen Sinn. (Das mit dem doppelten i würde ich mir auch nochmal überlegen. Es bringt m.E. nichts, die Elemente der Gruppe durchzunummerieren und $g_i$ zu nennen.)


Andere Frage:

Darf ich die vorletzte/letzte Gleichung so schreiben mit dem Platzhalter $\cdot$ ?
Kann man machen. Ich würds nicht tun, weil bei dieser Schreibweise nicht sofort klar ist, ob der Platzhalter an beiden Stellen mit dem gleichen Argument instanziiert wird oder ob das für zwei Argumente steht. Was spricht gegen die übliche Notation $i\mapsto f(i)f'(i^h)$? Ich glaub ich hab das hier schon ein paarmal vorgeschlagen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DickerFisch
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.06.2018
Mitteilungen: 71
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.39, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-13


Kann ich es so definieren, dass ich einfach sage:
$i^h$ ist definiert durch die Abbildung $i \longrightarrow h(i)$?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
-->> Fortsetzung auf der nächsten Seite -->>
Seite 1Gehe zur Seite: 1 | 2  
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]