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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Arten von Beweisen
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Universität/Hochschule J Arten von Beweisen
Quotenbanane
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.09.2018
Mitteilungen: 67
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-10-09

\(\begingroup\)
Hallo Community!

Mir wurde zugetragen (weil es in einem Übungsbeispiel steht), dass es folgende Arten von Beweisen gibt...

1) Direkter Beweis
2) Indirekter Beweis
3) Beweis durch Widerspruch
...
(klar, es gibt noch mehr, aber um diese 3 geht es)

Internetquellen geben aber an, dass 2) und 3) dasselbe ist. Wie seht ihr das? Und wenn es einen Unterschied gibt -> welchen?

Das Beispiel wäre:
$ ∀x∈R: x^3+2x > 0 ⇒ x > 0$

Einen Widerspruchsbeweis stelle ich mir für Aussagen p & q so vor:
$ (p ⇒ q) ⇔ ¬(p ∧ ¬q) $
 
Heißt für mein Beispiel also: Wenn ich ein $ x ≤ 0 $ finde, welches in $ x³+2x > 0 $ ein falsche Aussage hervorruft, ist der Beweis vollbracht?

Schnell gemacht: $ x*(x^2+2) > 0 $

Bedeutet x kann nicht kleiner 0 sein, ansonsten würde der positive Ausdruck in der Klammer negativ und daher ≤ 0 sein.

Was sagt ihr dazu?

LG
\(\endgroup\)


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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5569
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-10-11

\(\begingroup\)
In meinem Sprachgebrauch sind indirekter Beweis und Beweis durch Widerspruch auch das Gleiche.
Man könnte eine dritte Kategorie einführen, wenn man die Fälle, in denen man die Kontraposition (direkt) beweist, getrennt betrachtet.

Die Antwort auf Deine Frage nach "Heißt für mein Beispiel also: " schreibst ist "Nein".
Es reicht nicht, für ein $x\leq 0$ zu zeigen, dass $x^3+2x>0$ falsch ist. Das muss für _alle_ $x\leq 0$ gezeigt werden.
Dein Beweisansatz ist richtig. Er ist aber sehr nah(**) am "Pseudo-indirekten"(*) Beweis, den ich persönlich für schlechten Stil halte.

(*) In vielen Fällen verschwimmen die Grenzen zwischen diesen Beweisformen. Sehr oft sieht man "pseudo-indirekte" Beweise. Um "aus A folgt B" zu zeigen, wird A und nicht-B angenommen, dann aus A direkt B gezeigt (ohne die Annahme "nicht-B" wirklich zu benutzen), was im Widerspruch zu nicht-B steht. Damit wird dann begründet, dass aus A tatsächlich B folgt.
Formal ist das ein indirekter Beweis, wobei aber die eigentlich zu beweisende Aussage "Aus A folgt B" direkt bewiesen wurde.
Bei dem Beispiel sähe das so aus:
Angenommen es gilt für ein $x\in\IR$, dass $x^3+2x>0$ und $x\leq 0$ ist. Wegen $x^2+2\geq2>0$, für alle $x\in\IR$, kann man in der Ungleichung $0<x^3+2x=x(x^2+2)$ durch $x^2+2$ teilen, ohne dass sich das Relationszeichen ändert, es folgt also $0<x$ im Widerspruch zur Annahme. Die Annahme ist daher falsch und aus $x^3+2x>0$ folgt somit $x>0$.

(**) Deine Argumentation weicht um einen kleinen Schlenker vom "perfekten" pseudo-indirekten Beweis ab. Du weißt, dass ein Produkt positiv ist und dass einer der Faktoren positiv ist. Statt direkt die Folgerung zu ziehen, dass der andere Faktor dann auch positiv ist, benutzt Du einmal kurz die Annahme.


Schlussbemerkung:
Pseudoindirekte Beweise sind nicht falsch. Man findet sie (in verschiedenen Abstufungen) auch relativ häufig. Sie entstehen oft, wenn man anfängt aus den vorhandenen Voraussetzungen Schlussfolgerungen zu ziehen, ohne zu wissen, wo man eigentlich genau hin will.
Ich finde es nur einfach "schöner", wenn man beim letztendlichen Beweis unnötige Schlenker weglässt.
\(\endgroup\)


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Simon_St
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 28.02.2011
Mitteilungen: 255
Aus: Bielefeld
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-10-12


Schönes Thema.

Ich beschäftige mich schon seit längerem mit Widerspruchsbeweisen, die nicht direkt geführt werden können. Meiner Ansicht nach kann ein Widerspruchsbeweis nicht durch Kontraposition in einen direkten Beweis überführt werden, wenn etwas "nicht-konstruktives" in dem Beweis auftaucht.

Interessant sind die Fälle, wo die Beweisführung in eine paradoxe Situation führt, wo aus A nicht-A folgt und umgekehrt. Da hilft die Kontraposition nicht weiter. Diese Situation tritt dann auf wenn irgendeine Form der Selbstbezüglichkeit vorkommt.




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Quotenbanane
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.09.2018
Mitteilungen: 67
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-15


@Kitaktus

Vielen Dank für die ausführliche Antwort!



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