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Strukturen und Algebra » Gruppen » Zyklische Gruppe
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Universität/Hochschule Zyklische Gruppe
ichbinteich
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.10.2018
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-10-16


Aufgabe
Es sei G eine Gruppe. Angenommen G besitzt eine echte Untergruppe H, die jede
andere echte Untergruppe von G enthält. Zeigen Sie, dass G dann zyklisch ist und
die Ordnung von G eine Primpotenz.

Hallo zusammen,

ich bräuchte bitte einmal dringend Hilfe bei der oben angegeben Aufgabe. Habe da heute und gestern schon die ein oder andere Minute dran gesessen und bekomme einfach nicht den nötigen Geistesblitz. mad  Und zwar habe ich mir bereits folgendes überlegt:

Die Tatsache, dass es eine größte echte Teilgruppe heißt ja, dass U\G≠∅ ist. Wieso sagt mir das aber nun, dass ∃g∈G sodass g die gesamte Gruppe erzeugt? (Definition einer zyklischen Gruppe)

Zum zweiten Teil habe ich bisher noch keinen richtigen Zugang gefunden.  confused

Vielen Dank im Voraus!!  smile



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ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2438
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-10-16

\(\begingroup\)
Hallo,

betrachte die von einem $g\in G\setminus H$ erzeugte Untergruppe.


[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Gruppen' von ligning]


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⊗ ⊗ ⊗
\(\endgroup\)


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ichbinteich
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.10.2018
Mitteilungen: 7
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-16


Ahh, guter Tipp.

Ist folgender Gedanke richtig?

Grundsätzlich gibt es zwei Möglichkeiten für die von g ∈ G\H erzeugte Untergruppe. Einserseits dass diese G entspricht und andererseits das diese eine Untergruppe von G ist. Letzteres ist aber durch die Bedingung dass U die größte Untergruppe ist, also dass alle anderen Untergruppen in ihr enthalten sind, ausgeschlossen.
Folglich muss gelten dass dieses g auch die ganze Gruppe G erzeugt, was der Def. einer zyklischen Gruppe entspricht.
Stimmt das so?







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ligning
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Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2438
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-10-16


Genau.



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ichbinteich
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.10.2018
Mitteilungen: 7
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-16


Kannst du mir noch bei einem Ansatz für Teil 2 der Aufgabe helfen?



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Eraserhead
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 15.12.2012
Mitteilungen: 1065
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-10-16


Denke über die zyklischen Gruppen nach. Die habt ihr vermutlich vollständig klassifiziert.



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ichbinteich
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.10.2018
Mitteilungen: 7
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-16


Ich weiß dass die Untergruppen Z/n quasi die Teiler von n sind. (also Z/k mit k|n)
Aber wie hilft mir das hier?



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ichbinteich
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.10.2018
Mitteilungen: 7
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-16


Außerdem teilt die Ordnung jeder Untergruppe ja die Ordnung der Gruppe selbst. Das hilft sicher auch weiter



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wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1128
Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-10-16

\(\begingroup\)
Hallo ichbinteich,

sei \(n=\text{ord}(G)\). Betrachte die Primzahlzerlegung von n. Angenommen es gibt zwei verschiedene Primfaktoren \(p_1, p_2\). Sei g ein Erzeuger von G. Kannst du etwas über \(g^{p_1}\) sagen?


lg Wladimir
\(\endgroup\)


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ichbinteich
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Dabei seit: 16.10.2018
Mitteilungen: 7
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-16

\(\begingroup\)
Hallo wladimir,

Vielen Dank für deine Antwort.

$g^{p_1}$ ist doch Erzeuger einer Untergruppe H der Ordnung \(ord(H)=p_1\) oder?
\(\endgroup\)


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wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1128
Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-10-16

\(\begingroup\)
2018-10-16 21:45 - ichbinteich in Beitrag No. 9 schreibt:

$g^{p_1}$ ist doch Erzeuger einer Untergruppe H der Ordnung \(ord(H)=p_1\) oder?

nicht ganz, du bist aber auf dem richtigen Weg. \(g^{p_1}\) erzeugt eine Untegruppe der Ordnung \(\text{ord}(G)/p_1\). Das ist in der Tat bereits die Ordnung von H (Warum?). Wiederhole dies nun mit \(p_2\).

Wladimir
\(\endgroup\)


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ichbinteich
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.10.2018
Mitteilungen: 7
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-17

\(\begingroup\)
Der Schluss, dass $ord(H)=ord(G)/p_1$ ist mir noch nicht ganz klar.

Wenn dem so ist, würde sich am Ende ja p1=p2 ergeben. Folglich wäre es ja in der Tat eine Primpotenz. Bitte einmal auf die Sprünge helfen  smile
\(\endgroup\)


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np_complete
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.03.2015
Mitteilungen: 249
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-10-17

\(\begingroup\)
Ich habe mir dazu folgende vollständige Lösung überlegt. Also nur den versteckten Bereich anschauen, wenn du an einer vollständigen Lösung interessiert bist:


Wir wissen, dass G zyklisch ist, also $G=\langle g \rangle$ für $g \in G$ passend. Sei nun $n:=|\,U|$, dann gilt nach dem Satz von Lagrange $|G|=n\cdot m$ mit $m \in \mathbb{N}$ passend. Es gilt dann $U=\langle g^m\rangle$. Für alle $s\in \mathbb{N}$ mit $s\mid m$ gilt nun $U':=\langle g^\frac{m}{s}\rangle < G$ mit $|\,U'|=s\cdot n$. Für jeden von 1 verschiedenen Teiler s von m ist nun U eine echte Untergruppe von U' und somit nach Voraussetzung $U'=G$. Also $m\cdot n= s\cdot n$ und somit $s=m$ für jeden von 1 verschiedenen Teiler von m. Also ist m eine Primzahl.

Sei nun $U'':=\langle g^\frac{n}{k}\rangle$ mit irgendeinem von n verschiedenen Teiler k von n. Dann ist U'' eine echte Untergruppe von G, und somit nach Voraussetzung sogar eine Untergruppe von U. Also $\langle g^\frac{n}{k}\rangle < \langle g^m\rangle$. Das heißt, dass zu einem fest gewählten k mit obiger Eigenschaft für alle $a\in \mathbb{N}$ mit $a\leq km$ ein $b\in \mathbb{N}$ mit $b\leq n$ existiert, so dass $a\cdot \frac{n}{k}=b\cdot m$ gilt. Also existiert auch für $a=1$ solch ein b, und es folgt $m \mid \frac{n}{k}$ für einen beliebigen von n verschiedenen Teiler k von n. Jeder echte Teiler von n ist also durch die Primzahl m teilbar, und somit n eine Potenz von m. Also ist $m\cdot n$ eine Primzahlpotenz.

\(\endgroup\)


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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-10-17


Für eine vollständige Lösung müsste man noch begründen, dass die Ordnung von G endlich ist.



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-10-17

\(\begingroup\)
Hallo ichbinteich,

falls du noch nicht in die komplette Lösung von np_comlete geschaut hast, hier noch eine  anschauliche Erklärung zu \(\text{ord}(H)=\text{ord}(G)/p_1\). Wir wissen, dass die von \(g^{p_1}\)  erzeugte Untergruppe (nennen wir sie \(H_1\)) echt ist und damit in H liegt. Damit gilt \(\text{ord}(H_1)=\text{ord}(G)/p_1|\text{ord}(H)|\text{ord}(G)\) Da \(p_1\) eine Primzahl ist, gibt es einfach keine natürliche Zahl, die zwischen \(\text{ord}(G)\) und \(\text{ord}(G)/p_1\) passt, die Ordnung von G teilt, von der Ordnung von \(H_1\) geteilt wird und dabei echt größer als die Ordnung von \(H_1\) ist.


lg Wladimir
\(\endgroup\)


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np_complete
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-10-17


2018-10-17 11:49 - ligning in Beitrag No. 13 schreibt:
Für eine vollständige Lösung müsste man noch begründen, dass die Ordnung von G endlich ist.

Ja, hast Recht, habe einfach angenommen, dass es sich um eine endliche Gruppe handelt.



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np_complete
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-10-17

\(\begingroup\)
Mit bekannten Sätzen über zyklische Gruppen ist der Beweis der Endlichkeit dann recht einfach:


Zum einen ist jede unendliche zyklische Gruppe isomorph zu $\mathbb{Z}$, und zum anderen ist jede echte Untergruppe von $\mathbb{Z}$ von der Form $n\mathbb{Z}$  mit $n>1$. Dies sind bekannte Aussagen über zyklische Gruppen. Nun nehme man an, das G aus der Aufgabe sei unendlich. Dann ist G isomorph zu $\mathbb{Z}$, und jede echte Untergruppe von G isomorph zu einem $n\mathbb{Z}$ mit $n>1$. Es gilt also $U\cong m\mathbb{Z}$ mit $m>1$ passend. Für jede Primzahl p mit $p \nmid m$ gilt nun $p\mathbb{Z}\not\subset m\mathbb{Z}$, wobei $p\mathbb{Z}$ eine echte Untergruppe von $\mathbb{Z}$ ist. Wegen der Isomorphie existiert also eine echte Untergruppe von G die keine Untergruppe von U ist, was der Voraussetzung in der Aufgabe widerspricht, dass jede echte Untergruppe von G eine Untergruppe von U ist.
\(\endgroup\)


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