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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionen » Schnittpunkte von Kurven bestimmen
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Universität/Hochschule J Schnittpunkte von Kurven bestimmen
Benni97
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.06.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-10-17

\(\begingroup\)
Guten Morgen an alle. Ich besuche seit kurzem die Analysis 2 - VL und hänge schon beim 1. Übungsblatt an einer Aufgabe fest. Dabei weiß ich nicht einmal genau, wie ich die Schnittpunkte solcher Kurven bestimmen soll...

Die Aufgabe lautet:

 



Ich weiß echt nicht, wie ich die Aufgabe angehen soll... Ich habe mir gedacht, den Abstand der Kurven gleich Null zu setzen:


\(\left( \begin{array}{c}t\\t^2\\t^3\end{array} \right)
\) - \(\left( \begin{array}{c}e^s\\cos(s)\\\sqrt{1 + s^2}\end{array} \right) \) = \(\left( \begin{array}{c}0\\0\\0\end{array} \right) \)


Ich erhalte das LGS:


I: \(t = e^s\)
II: \(t^2 = cos(s)\)
III: \(t^3 = \sqrt{1 + s^2}\)


Wenn ich jetzt \(t = e^s\) in \(t^2\) einsetze, erhalte ich:

II: \(e^{2s} = cos(s) \Leftrightarrow 2s = ln(cos(s)) \Leftrightarrow
 s = \frac{ln(cos(s))}{2} \)

Aber jetzt hängt s irgndwie von sich selbst ab und ich verstehe nicht wirklich, was mir diese Aussage bringen soll...



Wenn ich jetzt aber \(t = e^s\) in \(t^3\) einsetze, erhalte ich:

III: \(e^{3s} = \sqrt{1 + s^2} \Leftrightarrow s = \frac{ln(\sqrt{1 + s^2})}{3} \)

Für s habe ich nun zwei verschiedene Ausdrücke... Heißt das nun, dass sich die Kurven nicht schneiden?

Ich bin von dieser Aufgabe echt verwirrt und ein Bild dazu kann ich mir auch schlecht zeichnen. Auf Wolfram Alpha habe ich diese Funktion nicht gefunden...


Kann mir da jemand helfen? Ich wäre sehr dankbar dafür!

mfg
Benni
\(\endgroup\)


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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-10-17


Hallo Benni!

Dein Gleichungssystem ist der richtige Weg. Es ist jedoch nicht linear, weshalb du nicht LGS schreiben darfst. Außerdem hätte ich direkt mit dem Gleichungssystem angefangen.

Durch Ausprobieren einfacher t und s wirst du schnell eine Lösung finden. Danach musst du mit Fallunterscheidungen (z. B. welche Koordinate ist größer oder kleiner 1) ausschließen, dass es noch weitere Lösungen gibt.

Gruß,
Radix



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Tetris
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Dabei seit: 28.08.2006
Mitteilungen: 7463
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-10-17


Hallo. Warum wird links die Funktionsvariable t, aber rechts die Funktionsvariable s verwendet? Dafür gibt es meiner Meinung nach gar keinen Grund, oder?

Lg, T.



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viertel
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Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 26569
Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-10-17


Weil im Schnittpunkt der Parameterwert beider Kurven nicht gleich sein muß.


-----------------
Bild



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Benni97
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.06.2018
Mitteilungen: 27
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-17

\(\begingroup\)
Vielen Dank für die Antworten!
Sorry für die späte Antwort,aber hatte bis 20 Uhr noch irgendwelche Vorlesungen.


Dass mein Gleichungssystem der richtige Weg ist, beruhigt mich.
Ich habe nun dein Rat gefolgt und habe einfache t und s eingesetzt.


Für s = 0 bekam ich heraus:



I: \(t = e^0 = 1\)
II: \(t^2 = cos(0) = 1\)
III: \(t^3 = \sqrt{1 + 0^2} = 1\)


Das passt soweit. Es gilt für jedes t = 1. Das heißt also, dass meine gesuchten Parameter s = 0 und t = 1 sind.  


Wenn ich also für die Kurve

\(\left( \begin{array}{c}e^s\\cos(s)\\\sqrt{1 + s^2}\end{array} \right) \) s= 0 einsetze, dann erhalte ich den Schnittpunkt beider Kurven SP:\(\left( \begin{array}{c}1\\1\\1\end{array} \right) \).

Aber auch wenn ich für die Kurve \(\left( \begin{array}{c}t\\t^2\\t^3\end{array} \right) \)t = 1 einsetze, dann erhalte ich logischerweise den selben Schnittpunkt beider Kurven SP:\(\left( \begin{array}{c}1\\1\\1\end{array} \right) \).



Nun ist die Frage, ob dies der einzige Schnittpunkt ist oder ob mehrere davon existieren. Aber wie genau kann ich das nachprüfen? Die Idee mit der Fallunterscheidung erschließt sich mir noch nicht ganz confused



Freue mich auf eine Rückmeldung!

mfg
Benni

\(\endgroup\)


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mire2
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Aus: Köln-Koblenz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-10-17


Hi Benni!  smile

Das hat doch schon einmal super geklappt.

Tipp:

Wenn Du Dir nun die zweite Koordinate anschaust, dann kannst Du direkt angeben, aus welchem Intervall t sein muss.
Und dann kannst Du die erste und dritte Koordinate für weitere Überlegungen heranziehen.

Gruß
mire2


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Benni97
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-18


Guten Morgen! Ich danke dir für den Tipp, aber ich kann damit gerade nicht wirklich was anfangen... Welche zweite Koordinate meinst du genau? Und wie kann mir das Intervall von t oder s helfen, die Menge der Schnittpunkt zu bestimmen?  confused


mfg
Benni



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ochen
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-10-18


Hi,

es soll <math>t^2=\cos(s)</math> gelten. Was weißt du nun über <math>t</math>? Was ist der Wertebereich der Kosinusfunktion?



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Benni97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-20

\(\begingroup\)
Danke für den Tipp!

Der Wertebereich der Cosinusfunktion ist doch \(-1 \le x \le 1\). Das heißt also, dass der Wertebereich von \(t^2\) auch \(-1 \le x \le 1\) ist? Also kann t auch eine komplexe Zahl sein?

Tut mir leid, aber ich weiß immer noch nicht so recht, was genau ich mit dem Intervall anfangen kann... Warum brauche ich den Wertebereich der Cosinusfunktion, um weitere Schnittpunkte auszuschließen?



mfg
Benni
\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-10-20

\(\begingroup\)
Aus der ersten Gleichung folgt $t \geq 0$, aus der zweiten Gleichung folgt $t \leq 1$ und aus der Dritten folgt $t \geq 1$.

$t=1$ also einzige reelle Lösung.


-----------------
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Benni97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-20

\(\begingroup\)
Hallo!

Ich habe mal versucht, deine Folgerung nachzuvollziehen.
Du sagtest ja, dass aus der 1. Gleichung folgt \(t \ge 0\).

Die 1. Gleichung ist doch: I: \(t = e^s\)

Wie kann daraus folgen, dass  \(t \ge 0\) gilt? Etwa, wenn ich die Folge \(e^{-s}\) gegen unendlich laufen lasse?


Die 2. Gleichung lautet: II: \(t^2 = cos(s) \Leftrightarrow t = \sqrt{cos(s)}\). Da für die Wurzel nur positive Werte einsetzt werden müssen, gilt hier \( 0 \le t \le 1\).


Die 3. Gleichung lautet: \(t^3 = \sqrt{1 + s^2} \Leftrightarrow t = \sqrt[5]{1 + s^2} \)


Und dafür gilt \( t \ge 1\)



Ist meine Denkweise richtig? Falls ja, dann brauche ich das auch nicht noch für die Variable s zeigen.


Ich bedanke mich für deinen Tipp!

mfg
Benni
\(\endgroup\)


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mire2
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Aus: Köln-Koblenz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-10-20

\(\begingroup\)
2018-10-20 17:03 - Benni97 in Beitrag No. 10 schreibt:
Hallo!

Ich habe mal versucht, deine Folgerung nachzuvollziehen.
Du sagtest ja, dass aus der 1. Gleichung folgt \(t \ge 0\).

Die 1. Gleichung ist doch: I: \(t = e^s\)

Wie kann daraus folgen, dass  \(t \ge 0\) gilt? Etwa, wenn ich die Folge \(e^{-s}\) gegen unendlich laufen lasse?

Folge ... Da sag ich mal nicht so viel zu ... und das Pseudoargument mit "gegen unendlich laufen lassen" überlesen wir auch mal.
Was weißt Du denn über den Wertebereich der Exponentialfunktion im Reellen?
Ich hoffe doch, dass er IR+ ist.



Die 2. Gleichung lautet: II: \(t^2 = cos(s) \Leftrightarrow t = \sqrt{cos(s)}\). Da für die Wurzel nur positive Werte einsetzt werden müssen, gilt hier \( 0 \le t \le 1\).

Da solltest Du doch noch einmal ernsthaft in Dich gehen ... die Äquivalenzumformung zu sehen tut nämlich schon ein wenig weh.
Du weißt, dass der Wertebereich der cos-Funktion [-1,1] ist.
Also ist t² ∈ .... und dann ist t in Wirklichkeit aus [-1;1]

Deshalb kann man insgesamt folgern:
t muss positiv sein und aus [-1,1], weshalb Du nun weißt, dass es aus ]0,1] sein muss.


Die 3. Gleichung lautet: \(t^3 = \sqrt{1 + s^2} \Leftrightarrow t = \sqrt[5]{1 + s^2} \)


Und dafür gilt \( t \ge 1\)

Ja (wenn auch eher die 3. Wurzel ...)

Wenn Du das alles zusammenpackst, dann sollte nur noch t=1 als Lösung übrig bleiben.

Es geht hier nicht um das Lösen von Gleichungen, so wie Du es gemacht bzw. versucht hast, sondern um das Einschränken der Möglichkeiten für t durch das Wissen über die Funktionen mit s im Argument bzw. deren Wertebereiche.

Gruß
mire2





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Benni97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-20

\(\begingroup\)
Oh, ich merke jetzt erst, dass ich davor Mist geschrieben habe...
Ich sollte mir danach solche Funktionstypen genauer anschauen.

Aber wo ich noch Probleme, ist beim zweiten Argument.

Also \(t^2 = cos(s)\)

Wenn der Wertebereich von \(cos(s)\) das Intervall [-1, 1] ist, dann ist der Wertebereich von \(t^2\) ebenfalls das Intervall [-1, 1]. Aber das geht doch nur im Komplexen, da z.B. \(t^2 = -1\) im Reellen nicht möglich ist. Und das verwirrt mich.

Deswegen weiß ich nicht, wie ich daraus folgern kann, das t positiv sein muss...


Die Antwort ist bestimmt sehr einfach. Ich bin aber momentan verwirrt...



mfg
Benni

\(\endgroup\)


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mire2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-10-20


Hi Benni!  smile

Nirgendwo steht geschrieben, dass der Wertebereich [-1,1] von cos durch t² auch wirklich voll ausgeschöpft werden muss, sondern nur irgendwo da drin liegen muss.  wink
Und da ja vorgegeben ist, dass s und t reelle Zahlen sind, kannst Du folgern, dass t² ∈ [0,1] sein muss und daraus dann, dass t ∈ [-1,1] sein muss.

Gruß
mire2


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Benni97
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\(\begingroup\)
Achso! Ich dachte wirklich, dass \(t^2\) jeden Wert von Cos(s) annehmen muss. Da merkt man wieder, dass man im ersten Semester nicht wirklich durchgeblickt hat, wie man mit Intervalle umzugehen hat.


Dann habe ich es soweit nachvollziehen können!


Ich bedanke mich sehr für eure Hilfe und ich bitte um Entschuldigung, dass ich manchmal richtigen Mist getippt habe biggrin

Ich wünsche euch allen einen schönen Abend!
\(\endgroup\)


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