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DGL und Polarkoordinaten |
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rusMat
Wenig Aktiv  Dabei seit: 03.01.2017 Mitteilungen: 99
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Hallo zusammen,
 
Sei a,b\el\ \IR. DGL gegeben durch x^*=(a,-b;b,a)x mit x_1(t)=r(t)cos(\phi(t)) und x_2(t)=r(t)sin(\phi(t)) gegeben. Ich soll die DGLs für r(t) und \phi(t) herleiten und den Phasenportrait skizzieren (a<0, a00 und a>0 mit b=1). Bischer fehlt mir die Idee wie sich r(t) und \phi(t) berechnen lassen. habe es bischer in zwei DGLs aufgeschrieben, was mir aber nichts weiter bringt :/ x^*_1(t)=r(t)*(a*cos(\phi(t))-b*sin(\phi(t))) und x^*_2(t)=r(t)*(b*cos(\phi(t))+a*sin(\phi(t)))
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wladimir_1989
Senior  Dabei seit: 23.12.2014 Mitteilungen: 1245
Aus: Freiburg
 |     Beitrag No.1, eingetragen 2018-10-17
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Hallo rusMat,
du musst auch auf der linken Seite \(\dot x_1, \dot x_2\) über \(r\) und \(\phi\) ausdrücken.
lg Wladimir
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rusMat
Wenig Aktiv  Dabei seit: 03.01.2017 Mitteilungen: 99
 |     Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-17
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Wir haben vor kurzem mit DGL angefangen. Solche haben wir bisher noch nicht gemacht und da habe ich keine praktische Erfahrung :/
wie mache ich es am besten?
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wladimir_1989
Senior  Dabei seit: 23.12.2014 Mitteilungen: 1245
Aus: Freiburg
 |     Beitrag No.3, eingetragen 2018-10-17
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Du hast doch die Definitionen für \(x_1(t), x_2(t)\) gegeben. Du musst nur die Gleichung \(x_1(t)=r(t)\cos(\phi(t))\) nach t ableiten.
lg Wladimir
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MUSja
Wenig Aktiv  Dabei seit: 13.05.2017 Mitteilungen: 80
 |     Beitrag No.4, eingetragen 2018-10-18
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Mich würde es auch interessieren
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rusMat
Wenig Aktiv  Dabei seit: 03.01.2017 Mitteilungen: 99
 |     Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-18
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Vielen Dank für die Antwort.
Ich werde heute später damit auseinander setzen.
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rusMat
Wenig Aktiv  Dabei seit: 03.01.2017 Mitteilungen: 99
 |     Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-18
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wladimir_1989
Senior  Dabei seit: 23.12.2014 Mitteilungen: 1245
Aus: Freiburg
 |     Beitrag No.7, eingetragen 2018-10-18
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Hallo,
die Gleichungen sind korrekt. So wie ich die Aufgabe verstehe, musst du die Gleichungen nur herleiten und nicht lösen.
lg Wladimir
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rusMat
Wenig Aktiv  Dabei seit: 03.01.2017 Mitteilungen: 99
 |     Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-18
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Was meinst du mit herleiten? Was ist überhaupt Phasenportrait, hatte diesen Begriff bisher nicht in der Form :(
Hab es nochmal etwas zusammengefasst :
 
r'(t)*cos(\phi(t))=a*x_1(t) +x_2(t)*(b+\phi '(t)) und r'(t)*sin(\phi(t))=a*x_2(t)+x_1(t)*(b-\phi '(t)) mit x_1(t) =r(t)*cos(\phi(t)) und x_2(t)=r(t)*sin(\phi(t))
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haerter
Senior  Dabei seit: 07.11.2008 Mitteilungen: 1572
Aus: Bochum
 |     Beitrag No.9, eingetragen 2018-10-19
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Hallo,
ich denke, da fehlt noch ein wichtiger Schritt, damit aus

so etwas wie

wird. Da muss man mit den Eigenschaften von Sinus und Cosinus geschickt umformen.
Ein Phasenportrait ist eine Skizze mit einigen typischen Lösungen, mit deren Hilfe man dann den Verlauf aller weiteren Lösungen "sehen" kann.
Viele Grüße,
haerter
----------------- "The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
- Linus Pauling
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rusMat
Wenig Aktiv  Dabei seit: 03.01.2017 Mitteilungen: 99
 |     Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-19
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Hab jetzt alles versucht, aber ich kriege es nicht hin nach r(t) bzw. nach phi(t) aufzulösen :(
Welche Eigenschaften von Sinus bzw. Cosinus eignen sich dafür?
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Wally
Senior  Dabei seit: 02.11.2004 Mitteilungen: 8600
Aus: Dortmund, Old Europe
 |     Beitrag No.11, eingetragen 2018-10-19
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Nimm einfach die Cramersche Regel - die Determinante des System ist 1.
Wally
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rusMat
Wenig Aktiv  Dabei seit: 03.01.2017 Mitteilungen: 99
 |     Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-20
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rusMat
Wenig Aktiv  Dabei seit: 03.01.2017 Mitteilungen: 99
 |     Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-20
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Hab jetzt was anderes ausprobiert: (1) x^*_1=a*x_1-b*x_2 (2) x^*_2=b*x_1+a*x_2 mit x^*_1 = r'cos(\phi)-r*\phi '*sin(\phi) x^*_2 = r'sin(\phi)+r*\phi '*cos(\phi) => (1) cos(\phi)(r'-ar)=-sin(\phi)(br-r\phi ') => (2) sin(\phi)(r'-ar)=cos(\phi)(br-r\phi ') multipliziere (1)*cos(\phi) und (2)*sin(\phi) und addiere (1)+(2) => r'-ar=0 (*) Setze (*) in (1) und (2): => (1) -r*cos(\phi)sin(\phi)(b-\phi ')=0 => (2) r*cos(\phi)sin(\phi)(b-\phi ')=0 Da entweder cos(\phi)!=0 oder sin(\phi)!=0 ist erhalte für r>0 das folgende System von DGL: r'=a*r und \phi '=b hmm... kann man so es lösen?
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haerter
Senior  Dabei seit: 07.11.2008 Mitteilungen: 1572
Aus: Bochum
 |     Beitrag No.14, eingetragen 2018-10-21
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Ja, das sollten doch zwei DGL sein, mit denen man etwas anfangen kann, z.B. die Lösung zu gegebenen Anfangswerten explizit hinzuschreiben.
Viele Grüße,
haerter
----------------- "The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
- Linus Pauling
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