Sei a,b\el\ \IR. DGL gegeben durch 

x^*=(a,-b;b,a)x mit x_1(t)=r(t)cos(\phi(t)) und x_2(t)=r(t)sin(\phi(t)) gegeben. Ich soll die DGLs für r(t) und \phi(t) herleiten und den Phasenportrait skizzieren (a<0, a00 und a>0 mit b=1).

Bischer fehlt mir die Idee wie sich r(t) und \phi(t) berechnen lassen.

habe es bischer in zwei DGLs aufgeschrieben, was mir aber nichts weiter bringt :/
x^*_1(t)=r(t)*(a*cos(\phi(t))-b*sin(\phi(t))) 
und
x^*_2(t)=r(t)*(b*cos(\phi(t))+a*sin(\phi(t)))

hab es gerade ausgerechnet und es sieht ziemlich hässlich aus :/ 

r'(t)*cos(\phi(t))-r(t)*\phi '(t)*sin(\phi(t)) =a*r(t)cos(\phi(t))+b*r(t)*sin(\phi(t))

r'(t)*sin(\phi(t))+r(t)*\phi '(t)*cos(\phi(t))=b*r(t)*cos(\phi(t))+a*r(t)*sin(\phi(t))

r'(t)*cos(\phi(t))=a*x_1(t) +x_2(t)*(b+\phi '(t))

und 

r'(t)*sin(\phi(t))=a*x_2(t)+x_1(t)*(b-\phi '(t))


mit x_1(t) =r(t)*cos(\phi(t)) und x_2(t)=r(t)*sin(\phi(t))

x_1 = (a*x^*_1-b*x^*_2)/(a^2+b^2)

und 

x_2 = (a*x^*_2-b*x^*_1)/(a^2+b^2)

Hab jetzt was anderes ausprobiert:


(1) x^*_1=a*x_1-b*x_2
(2) x^*_2=b*x_1+a*x_2

mit x^*_1 = r'cos(\phi)-r*\phi '*sin(\phi)
x^*_2 = r'sin(\phi)+r*\phi '*cos(\phi)



=> (1) cos(\phi)(r'-ar)=-sin(\phi)(br-r\phi ')
=> (2) sin(\phi)(r'-ar)=cos(\phi)(br-r\phi ')


multipliziere (1)*cos(\phi) und (2)*sin(\phi) und addiere (1)+(2)

=> r'-ar=0  (*)

Setze (*) in (1) und (2):

=> (1) -r*cos(\phi)sin(\phi)(b-\phi ')=0
=> (2) r*cos(\phi)sin(\phi)(b-\phi ')=0

Da entweder cos(\phi)!=0 oder sin(\phi)!=0 ist erhalte für r>0 das folgende System von DGL:

r'=a*r und \phi '=b

hmm... kann man so es lösen?