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Mathematik » Notationen, Zeichen, Begriffe » Was ist du/dv?
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Universität/Hochschule Was ist du/dv?
Fornax
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-10-17

\(\begingroup\)
Seien $u$ und $v$ zeitabhängige physikalische Größen. Was ist dann mit \[\frac{\text{d}u}{\text{d}v}\] gemeint?

Gruß
Fornax
\(\endgroup\)


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Fornax
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-17

\(\begingroup\)
Wenn beispielsweise eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Beschleunigung $a$ in positiver $x$-Richtung stattfindet. Dann ist
\[
x=\frac{at^{2}}{2}\quad\text{und}\quad v=at.
\]  Was versteht man dann unter
\[
\frac{\text{d}x}{\text{d}v}\quad\text{oder}\quad\frac{\text{d}v}{\text{d}x}?
\]
\(\endgroup\)


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Eraserhead
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Mitteilungen: 1065
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-10-18

\(\begingroup\)
Üblicherweise meint man damit \(dx/dv=(dx/dt)/(dv/dt)=\dot x/\dot v\).
\(\endgroup\)


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Fornax
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Dabei seit: 05.10.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-18

\(\begingroup\)
Nun ist aber auch $x=\frac{v^{2}}{2a}$ und man könnte doch auch
\[
\frac{\text{d}x}{\text{d}v}=\frac{\text{d}}{\text{d}v}\left(\frac{v^{2}}{2a}\right)=\frac{v}{a}
\] argumentieren. Im Vergleich dazu ist
\[
\frac{\dot{x}}{\dot{v}}=\frac{at}{a}=t
\] zumindest formal etwas anderes. Natürlich sehe ich auch, dass $\frac{v}{a}=t$ und deshalb beides gleich ist.

Ich glaube, dass man normalerweise, wenn man etwas wie
\[
\frac{\text{d}f}{\text{d}g}
\] berechnet, immer erst $f$ in Abhängigkeit von $g$ umschreibt. Das bedeutet, dass im Zähler nicht mehr $f(t)$, sondern $f(g)$ steht, womit jedoch $f\circ g^{-1}$ und nicht mit $f\circ g$ gemeint ist. Wenn man dann $g$ einfach nur als unabhängige Variable ansieht, ist
\[
\frac{\text{d}f}{\text{d}g}=\frac{\text{d}f\circ g^{-1}}{\text{d}g}=f'\left(g^{-1}\left(g\right)\right)\cdot\left(g^{-1}\right)'\left(g\right)=\frac{f'\left(g^{-1}\left(g\right)\right)}{g'\left(g^{-1}\left(g\right)\right)},
\] während man, wenn man $f$ und $g$ in Abhängigkeit von $t$ belässt,
\[
\frac{\text{d}f}{\text{d}g}=\frac{f'\left(t\right)}{g'\left(t\right)}
\] erhält. Es ist also nur eine Frage, was man als unabhängige Variable ansieht. Ich glaube aber, dass überlicherweise die erste Variante gemeint ist und in $\frac{\text{d}f}{\text{d}g}$ kein $t$ mehr vorkommt. Oder täusche ich mich da?
\(\endgroup\)


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Orthonom
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 284
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-10-18

\(\begingroup\)
Ich sehe gerade, Du hast nochmal einen zweiten Thread zum gleichen Thema eröffnet, indem Du meine Antwort aus dem ersten Thread schon vorweggenommen hast....
Setze doch dort in der ersten Gleichung \(g=g(t)\) ein, dann kommst Du auf die zweite Gleichung...
Aber das siehst Du sicher auch selber...
Gruß
\(\endgroup\)


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Fornax
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Dabei seit: 05.10.2018
Mitteilungen: 61
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-18

\(\begingroup\)
Das ganze ist ja kein Hexenwerk. Ich hatte in einem anderen Thread die Formulierung gelesen, dass Mathematiker beim intuitiven Umgang mit Differentialen Aneurysmen bekommen.

Man sieht ja aber, dass es nicht schwierig ist, sich plausibel zu machen, warum dieser Formalismus so robust ist. Ich wollte nur für etwas Prävention gegen Aneurysmen bei Mathematikern werben.

Ich denke, die einzige Mehrdeutigkeit besteht darin, dass Mathematiker einen Buchstaben, der eine zeitabhängige Größe beschreibt, als Funktion $f$ mit klar festgelegtem Definitionsbereich betrachten, während Physiker gerne mal, wenn sie $f$ in Abhängigkeit einer anderen ebenfalls zeitabhängigen Größe $g$ beschreiben, einfach $f(g)$ schreiben, wobei hier das $f$ streng genommen eine andere Funktion ist, nämlich $f\circ g^{-1}$.

Aber egal. Ich mache mal einen Knopf dran und die Sache ist erledigt. Ich bin jedenfalls Mathematiker und habe noch nie ein Aneurysma bekommen.

Gruß
Fornax
\(\endgroup\)


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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-10-18


Hallo Fornax,

ich bin mit fast allem einverstanden, was Du im Beitrag 5 schreibst...
Allerdings ist natürlich alles Hexenwerk!

Gruß Orthonom



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Fornax hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Fornax hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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