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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Rechenweg de Morgan'sche Regeln
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Universität/Hochschule J Rechenweg de Morgan'sche Regeln
Quotenbanane
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.09.2018
Mitteilungen: 66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-10-18

\(\begingroup\)
Hallo Freunde der späten Stunde,

ich arbeite gerade an einem Beweis für die de Morgan'schen Gesetze.

Es sei $A^c = X\A$ per Definition

Ich will zeigen, dass $(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c$

Mein Beweis ist wie folgt aufgebaut...

$(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c$
$\Leftrightarrow x∈X ∧ x ∉(A∪B)$
$\Leftrightarrow x∈X ∧ (x ∉ A \vee x ∉  B))$
$\Leftrightarrow (x∈X ∧ x∉A) \vee  (x∈X ∧ x∉B)$

So komm ich aber nicht auf $X\A ∩ X\B$...
denn das hier wäre ja $X\A ∪ X\B$

Vorschläge?

LG
\(\endgroup\)


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tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1386
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-10-18


2018-10-18 00:40 - Quotenbanane im Themenstart schreibt:
Vorschläge?
Kauderwelsch durch etwas anderes ersetzen.



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Quotenbanane
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.09.2018
Mitteilungen: 66
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-18


2018-10-18 00:53 - tactac in Beitrag No. 1 schreibt:
2018-10-18 00:40 - Quotenbanane im Themenstart schreibt:
Vorschläge?
Kauderwelsch durch etwas anderes ersetzen.

Ähhh, ja.
Also ist alles, was ich geschrieben habe, Unsinn oder wie darf ich das verstehen?



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 1736
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-10-18

\(\begingroup\)
Hallo,

du zitierst die de Morgan'sche Regel falsch.

Es ist $(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$. Ist das ein Tippfehler deinerseits?

Jedenfalls schreibst du dann etwas hin, was wohl der echten Regel entspringt.
Das was du aber hinschreibst macht keinen Sinn.
Ich weiß zwar worauf du hinaus willst, aber das macht mathematisch keinen Sinn. ^^

Was ist zum Beispiel $x$, oder was soll $x\notin (A\vee B)$ heißen? $\vee$ also das "mathematische oder" verküpft zwei Aussagen. Aber $A$ und $B$ sind ja Mengen. Und $x$ kann auch kein Element einer Aussage sein. Du meinst wohl $x\notin A\vee x\notin B$.

Du musst auch nicht zwanghaft die mathematischen Symbole benutzen.

Wir wollen die Gleichheit zweier Mengen zeigen.
Dazu müssen wir die Inklusionen "$\subseteq$" und "$\supseteq$" zeigen.
Du kannst also so anfangen:

"$\subseteq$":

Daher: $(A\cap B)^c\subseteq A^c\cup B^c$.
Nach Definition von "$\subseteq$" ist zu zeigen, dass für alle $x\in (A\cap B)^c$ folgt, dass $x\in A^c\cup B^c$ ist.

Sei also $x\in (A\cap B)^c$. Dann ...
Was gilt nun nach Definition von dem Komplement?
Fahre so weiter fort.
Danach kannst du dir überlegen, dass alle Schritte die du gemacht hast, auch rückwärts funktionieren, oder noch einmal einen Beweis für die Inklusion "$\supseteq$" hinschreiben.


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Quotenbanane
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.09.2018
Mitteilungen: 66
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-18

\(\begingroup\)
Ja, wie du richtig erkannt hast, habe ich mehrere Schreibfehler gemacht! Nächstes Mal bin ich da vorsichtiger.

Es soll heißen...

$(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$ (Wie du schon richtig angenommen hast)

$x\notin A\vee x\notin B$ (Wieder richtig angenommen, weil ich ständig die mathematischen Zeichen aus dem Internet rauskopieren muss, hab' ich versäumt, es so zu schreiben)

Keine Sorge, ich weiß, wie man logische Operatoren verwendet, auch wenn man mir das jetzt gerade nicht ansieht!
Daher wäre ich dir verbunden, wenn wir es dementsprechend machen :-)
\(\endgroup\)


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Quotenbanane
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.09.2018
Mitteilungen: 66
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-18


Jetzt müsste die Angabe stimmig sein.



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PrinzessinEinhorn
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-10-18

\(\begingroup\)
Wir können gerne die logischen Zeichen benutzen.

Übrigens sind die Codes für die Zeichen, die du hier benötigst:

\Leftrightarrow für $\Leftrightarrow$

\in für $\in$

\notin für $\notin$

\cup für $\cup$

\cap für $\cap$

\setminus für $\setminus$. Aber du kannst auch - schreiben. Also $X-A=X\setminus A=A^c$

Dann musst du es nicht aus dem Internet kopieren. Das hört sich sehr mühsam an, und es lohnt sich diese Codes zu lernen, da sie eigentlich recht intuitiv sind und wenn du hier öfters dich beteiligen möchtest, dann solltest du es ohnehin lernen. :)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
\(\endgroup\)


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PrinzessinEinhorn
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Dabei seit: 23.01.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-10-18

\(\begingroup\)
2018-10-18 00:40 - Quotenbanane im Themenstart schreibt:

Mein Beweis ist wie folgt aufgebaut...

$(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c$
$\Leftrightarrow x∈X ∧ x ∉(A∪B)$
$\Leftrightarrow x∈X ∧ (x ∉ A \vee x ∉  B))$
$\Leftrightarrow (x∈X ∧ x∉A) \vee  (x∈X ∧ x∉B)$


Wenn du es so schreibst:

$\color{red}{x\in (A ∪ B)^c}$
$\Leftrightarrow x∈X ∧ x ∉(A∪B)$
$\Leftrightarrow x∈X ∧ (x ∉ A \color{red}{\wedge} x ∉  B))$
$\Leftrightarrow (x∈X ∧ x∉A) \color{red}{\wedge}  (x∈X ∧ x∉B)$

Wird es richtig.
Vielleicht hast du hier auch nur das falsche Zeichen kopiert. Also ein nicht ausgebesserter Tippfehler.

Am Ende erhältst du dann $x\in A^c\cap B^c$.
\(\endgroup\)


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Quotenbanane
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-18

\(\begingroup\)
2018-10-18 01:13 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 6 schreibt:
Wir können gerne die logischen Zeichen benutzen.

Übrigens sind die Codes für die Zeichen, die du hier benötigst:

\Leftrightarrow für $\Leftrightarrow$

\in für $\in$

\notin für $\notin$

\cup für $\cup$

\cap für $\cap$

\setminus für $\setminus$. Aber du kannst auch - schreiben. Also $X-A=X\setminus A=A^c$

Dann musst du es nicht aus dem Internet kopieren. Das hört sich sehr mühsam an, und es lohnt sich diese Codes zu lernen, da sie eigentlich recht intuitiv sind und wenn du hier öfters dich beteiligen möchtest, dann solltest du es ohnehin lernen. :)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]

Uff, wenn ich das mal früher gewusst hätte ^^
Danke!
\(\endgroup\)


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Quotenbanane
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-18

\(\begingroup\)
Das verstehe ich jetzt leider nicht, warum ist $x ∉(A∪B)$ gleich $x ∉ A \color{red}{\wedge} x ∉  B$ ?

Wenn $A∪B$ doch als $x∈A \vee x∈B$ geschrieben werden kann.
\(\endgroup\)


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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-10-18

\(\begingroup\) \(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}\)
2018-10-18 00:40 - Quotenbanane im Themenstart (modifiziert schreibt: )
$(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c$
$\Leftrightarrow x∈X ∧ x ∉(A∪B)$
Hier ist die große Frage, was denn $x$ auf einmal ist. Da fehlt ein Quantor.
Ein möglicher sinnvoller und zielführender Anfang ist
$(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c$
$\Leftrightarrow (\forall x∈X: x ∉(A∪B) \Leftrightarrow x \notin A \land x\notin B)$


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
\(\endgroup\)


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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-10-18

\(\begingroup\)
Da die Aussage negiert wird.

$\neg (x\in A \vee x\in B)$ ist $x\notin A\wedge x\notin B$.

Denn wenn $x\notin A \vee x\notin B$ gelten dürfte. Dann könnte etwa $x\notin A$ und $x\in B$ sein. Es müsste dann ja nur in einer der Mengen nicht enthalten sein. Aber dann gilt $x\in A\cup B$. Da $x$ ja ein Element aus $B$ ist.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Quotenbanane
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-18

\(\begingroup\)
Uff, bestimmt wegen der Negation, oder?

$\lnot(x\in(A\cup B)$
$\Leftrightarrow \lnot(x\in A \vee x\in B)$
$\Leftrightarrow x\notin A \wedge x\notin B$

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]
\(\endgroup\)


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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-10-18


Ja, genau.

(Achte auf Leerzeichen nach jedem Code)



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Quotenbanane
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\(\begingroup\)
2018-10-18 01:28 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 11 schreibt:
Da die Aussage negiert wird.

$\neg (x\in A \vee x\in B)$ ist $x\notin A\wedge x\notin B$.

Denn wenn $x\notin A \vee x\notin B$ gelten dürfte. Dann könnte etwa $x\notin A$ und $x\in B$ sein. Es müsste dann ja nur in einer der Mengen nicht enthalten sein. Aber dann gilt $x\in A\cup B$. Da $x$ ja ein Element aus $B$ ist.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]

Wie ich das nicht sehen konnte^^'
Vielen Dank für die qualifizierte Hilfe so spät in der Nacht :-)


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Quotenbanane
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\(\begingroup\)
2018-10-18 01:25 - tactac in Beitrag No. 10 schreibt:
2018-10-18 00:40 - Quotenbanane im Themenstart (modifiziert schreibt: )
$(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c$
$\Leftrightarrow x∈X ∧ x ∉(A∪B)$
Hier ist die große Frage, was denn $x$ auf einmal ist. Da fehlt ein Quantor.
Ein möglicher sinnvoller und zielführender Anfang ist
$(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c$
$\Leftrightarrow (\forall x∈X: x ∉(A∪B) \Leftrightarrow x \notin A \land x\notin B)$


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]

Luxusversion :P
\(\endgroup\)


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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-10-18


Hier ist noch eine recht nützliche Seite wenn du zukünftig mit Code schreiben möchtest.

Dort kannst du das Zeichen was du suchst hinmalen und wenn es nicht so schlecht aussieht, wird dir der Code angezeigt.



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Quotenbanane hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Quotenbanane hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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