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Lineare Algebra » Eigenwerte » Kurze Beweise zur Ähnlichkeit von Matrizen
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Autor
Universität/Hochschule J Kurze Beweise zur Ähnlichkeit von Matrizen
Schueler321
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.10.2018
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-10-19


Guten Abend zusammen,
ich soll 3 Beweise zur Ähnlichkeit von Matrizen finden.
Für Lösungshinweise und -ansätze bedanke ich mich im Voraus.


fed-Code einblenden


Teil a) verstehe ich leider gar nicht.
b) erinnert mich an die Berechnung von Eigenvektoren zum Eigenwert Lambda.
c) Die Aussage ist mir bekannt. Wenn A und B ähnlich sind, haben beide die gleichen Eigenwerte. Da beides quadratische nxn Matrizen sind, wird auch die Dimension des Kerns gleich sein, da ja die Eigenwerte gleich sind. Das könnte ich mir als Ansatz vorstellen, allerdings fehlt da auf jeden Fall noch einiges.

Könntet ihr mir da bitte helfen?
Liebe Grüße



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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 839
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-10-20

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,

a) und b) sind eigentlich nicht schwierig. Sieh dir also nochmal die Definitionen von Ähnlichkeit bzw. von $\sigma$ an.

Zu c): Versuche die Ähnlichkeit von $A$ und $B$ zu benutzen um einen Isomorphismus zwischen den beiden Kernen zu konstruieren.
\(\endgroup\)


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Schueler321
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-20


Hallo Nuramon,
danke für Deine Antwort.

ich versuche zu a)
die linke Seite der Äquivalenz verstehe ich nicht.
rechts:
fed-Code einblenden

b)
fed-Code einblenden

Könnte das etwas werden?

c) Ich habe leider das große Problem, dass ich nicht mit Isomorphismen etc. umgehen kann. Da habe ich ein sehr großes Defizit...
Könntest du mir hier einen Ansatz liefern, den ich versuche fortzuführen?

Danke für Deine Hilfe und die Geduld.



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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 839
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-10-20

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Zu a):
Schreib die Definitionen aus:
Sei $\mu \in \sigma(A-\lambda E_n)$, d.h. $\mu$ ist ein Eigenwert von $A-\lambda E_n$. Das heißt, es gibt ein $v\in K^n$, so dass ...

Zu b):
Das sieht ganz gut aus.
Ich weiß nicht, ob du es sowieso so gemeint hast, aber nur zur Sicherheit: $A$ und $B$ sind ähnlich, genau dann, wenn es ein $S\in\GL(n,K)$ gibt, mit $B=SAS^{-1}$. Es wird nur verlangt, dass so ein $S$ existiert, nicht, dass $B=SAS^{-1}$ für alle $S$ gilt.

Zu c):
Seien $A$ und $B$ ähnlich. Wir wollen einen Isomorphismus $f:\ker(A-\lambda E_n)\to \ker(B-\lambda E_n)$ finden. Dazu müssen wir erstmal für jedes $v\in \ker(A-\lambda E_n)$ ein $f(v)\in \ker(B-\lambda E_n)$ finden. Wenn du die Definition von $v\in\ker(A-\lambda E_n)$ ausschreibst und dann ein bisschen umformst, fällt dir vielleicht ein, wie man $f(v)$ definieren könnte.
\(\endgroup\)


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Schueler321
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Dabei seit: 13.10.2018
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-21

\(\begingroup\)
Guten Abend :)

Danke für Deine Ansätze. Habe mich dran versucht.

zu a)
"Sei $\mu \in \sigma(A-\lambda E_n)$, d.h. $\mu$ ist ein Eigenwert von $A-\lambda E_n$. Das heißt, es gibt ein $v\in K^n$, so dass ..."

fed-Code einblenden


Kann man damit was anfangen? Und wenn ja, ist das so richtig bzw. würdest du mir das korrigieren?

Morgen werde ich mir dann weiter den Kopf über wahrscheinlich doch so leichte Sachen zerbrechen...
\(\endgroup\)


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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 839
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-10-21

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2018-10-21 00:14 - Schueler321 in Beitrag No. 4 schreibt:
Guten Abend :)

Danke für Deine Ansätze. Habe mich dran versucht.

zu a)
"Sei $\mu \in \sigma(A-\lambda E_n)$, d.h. $\mu$ ist ein Eigenwert von $A-\lambda E_n$. Das heißt, es gibt ein $v\in K^n$, so dass ..."

fed-Code einblenden
$\sigma(A)$ und $\sigma(A-\lambda E_n)$ sind nicht das gleiche (es sei denn $\lambda = 0$)!

Ich kann deinen anschließenden Beweisversuch zu a) nicht nachvollziehen.


fed-Code einblenden

Kann man damit was anfangen? Und wenn ja, ist das so richtig bzw. würdest du mir das korrigieren?
Was du geschrieben hast ist alles richtig, aber geht nicht so ganz in die richtige Richtung.
Wir haben gegeben, dass $A$ und $B$ ähnlich sind, d.h. es existiert ein $S\in \GL(n,K)$ mit $B=SAS^{-1}$.
Sei $v\in \ker(A-\lambda E_n)$. Also gilt $(A-\lambda E_n)v=0$. Das Ziel ist es jetzt, diese Gleichung unter Benutzung der Voraussetzungen so umzuformen, dass wir eine Gleichung der Form $(B-\lambda E_n)w =0$ (also $w\in\ker(B-\lambda E_n)$) erhalten. Dann wollen wir $f(v)=w$ definieren und anschließend prüfen, dass das einen Isomorphismus definiert.


Morgen werde ich mir dann weiter den Kopf über wahrscheinlich doch so leichte Sachen zerbrechen...
Da muss jeder, der Mathematik studiert, mal durch. Irgendwann klickt es.
\(\endgroup\)


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Schueler321
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.10.2018
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-22


Hallo Nuramon,
erst mal danke ich Dir sehr herzlich für Deine Geduld mit mir.

also zu a) stehe ich total auf dem Schlauch. Mir erklärt sich leider dann auch anscheinend nicht der Sinn der Ausage :(


die c) werde ich jetzt noch einmal analysieren und melde mich dann gleich :)



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Schueler321 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Schueler321 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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