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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Verständnisproblem LGS
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Kein bestimmter Bereich Verständnisproblem LGS
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-10-22


Hallo Zusammen,

ich habe mir vorgenommen, die Mathematik neu zu erlernen, gehe schon lange nicht mehr zur Schule oder Uni und bin gerade bei linearen Gleichungssystemen angekommen. Ich dachte, ich hätte das Thema zumindest auf Abi-Niveau verstanden. Nun ist mir eine Aufgabe über den Weg gelaufen, die einen Knoten in meinem Gehirn verursacht.

Drei Behälter A, B und C sind durch halbdurchlässige Membranen mit einander verbunden. Anfangs befinden sich in den Behältern folgende Mengen eines Wirkstoffs A=30g B=10g C=20g. Die Membran zwischen A und B lässt nun 25% des Wirkstoffs aus B nach A dringen. Membran zwischen B und C lässt 50% des Wirkstoffs von C nach B dringen und die Membran zwischen C und A lässt 75% des Wirkstoffs aus A nach C dringen.

Nun ist die Frage, auf welchem neuen Gleichgewichtszustand sich dieses System einpendeln wird.


Nun stellt sich die Frage, wie ich starten soll. Mein Gedanke waren Grenzwerte von rekursiven Folgen, aber ich komme damit auf keinen sehr grünen Zweig. Aber ich kann ja mal einen Versuch starten und ihr könntet mir vielleicht auf die Sprünge helfen.

fed-Code einblenden

Stelle ich das nun auch für B(n+1) und für C(n+1) auf und dann hab ich ein LGS aus 4 Gleichungen und 3 Unbekannten?

wäre über entwirrende Gedanken dankbar







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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-10-22


Hallo,

ich denke die Frage hat nicht so viel mit linearen Gleichungssystemen zu tun, sondern eher mit Übergangsmatrizen.




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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-22


Vielen Dank, das schaue ich mir mal genauer an



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-22


Ok, habe ich es richtig verstanden, dass ich eigentlich nur den Lösungsvektor folgender Gleichung suche


fed-Code einblenden
Das wäre tatsächlich der deutlich übersichtlicher Ansatz



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-10-22

\(\begingroup\)
Du hast die Übergangsmatrix korrekt aufgestellt.
Deine sonstige Überlegung verstehe ich nicht.

Du startest ja mit $\begin{pmatrix}30\\10\\20\end{pmatrix}$

Nun spielst du den Prozess einmal durch. Daher ist die Multiplikation:

$\begin{pmatrix}\frac14&\frac14&0\\
0&\frac34&\frac12\\
\frac34&0&\frac12\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}30\\10\\20\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\17.5\\32.5\end{pmatrix}$

auszuführen.

Dies müsstest du nun iterieren, so wie du es schon am Anfang vermutet hattest und weil uns der Grenzwert interessiert müssen wir es "unendlich oft" tun.

Daher: $\lim_{n\to\infty} \begin{pmatrix}\frac14&\frac14&0\\
0&\frac34&\frac12\\
\frac34&0&\frac12\end{pmatrix}^n\cdot \begin{pmatrix}30\\10\\20\end{pmatrix}$

bestimmen.

Dazu solltest du wahrscheinlich erst einmal eine Formel für $
\begin{pmatrix}\frac14&\frac14&0\\
0&\frac34&\frac12\\
\frac34&0&\frac12\end{pmatrix}^n$

Du sagst, dass du den Abiturstoff wiederholen möchtest.
Woher stammt diese Aufgabe? Ich weiß nicht in wie weit die Methoden zur Lösung in der Schule vermittelt werden.
Aber ich kenne mich generell mit dem Thema nicht so gut aus, da ich sowas in der Schule nicht hatte.

Die Methoden die ich kenne wären, dass man eben probiert die obige Formel so finden.
Dazu berechnest du dann:

$\begin{pmatrix}\frac14&\frac14&0\\
0&\frac34&\frac12\\
\frac34&0&\frac12\end{pmatrix}^2$

$\begin{pmatrix}\frac14&\frac14&0\\
0&\frac34&\frac12\\
\frac34&0&\frac12\end{pmatrix}^3$

$\begin{pmatrix}\frac14&\frac14&0\\
0&\frac34&\frac12\\
\frac34&0&\frac12\end{pmatrix}^4$

(Vielleicht mehr, vielleicht weniger)

Rätst eine Darstellung für

$\begin{pmatrix}\frac14&\frac14&0\\
0&\frac34&\frac12\\
\frac34&0&\frac12\end{pmatrix}^n$

und beweist dies induktiv, oder Diagonalisierst deine Matrix.

Findest also eine Darstellung

$M=\begin{pmatrix}\frac14&\frac14&0\\
0&\frac34&\frac12\\
\frac34&0&\frac12\end{pmatrix}=SJS^{-1}$

Dann lässt sich $M^n=(SJS^{-1})^n$ berechnen. Denn du erhältst dann sowas:

$(SJS^{-1})^n=SJS^{-1}SJS^{-1}SJS^{-1}\cdot\dotso\cdot SJS^{-1}$

Wobei sich viel rauskürzt, wie du hoffentlich erkennst.
Man erhält dann: $SJ^nS^{-1}$

Da $J$ eine Diagonalmatrix ist, also von der Form:

$\begin{pmatrix}a&0&0\\ 0&b&0\\ 0&0&c\end{pmatrix}$ ist die Potenz leicht berechnet. Denn sie ist dann einfach:

$\begin{pmatrix}a^n&0&0\\ 0&b^n&0\\ 0&0&c^n\end{pmatrix}$

Das Problem ist nur, dass laut Wolframalpha komplexe Zahlen ins Spiel kommen.

Andere Möglichkeiten kenne ich leider nicht. Und beide Methoden sind kein Schulstoff.
(Oder ich verstehe die Aufgabe falsch)
\(\endgroup\)


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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-10-22

\(\begingroup\)
Vergiss mal lieber den Beitrag oben. Der behandelt eine andere Fragestellung. :)

Es sollte tatsächlich ausreichen deine angegebene Gleichung aus Beitrag Nr. 3 zu lösen.
Dann ist aber noch nicht klar, ob man dieses Gleichgewicht überhaupt erreicht. Also den gefragten Vektor $\begin{pmatrix}A\\B\\C\end{pmatrix}$

\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-22


Mein Grundidee ist nicht unbedingt, mich in den Abistoff einzuarbeiten. Ich hab einfach generelles Interesse an der Mathematik und hab halt irgendwo angefangen. Die Aufgabe stammt aus einer Vorlesung für Biologen, die aber auf Lineare Gleichungssysteme auf Abi Niveau zurückzuführen sein soll.

Ich habe das so verstanden, dass wenn ein Gleichgewichtszustand erreicht ist, dass bei M*x=y der Vektor x und der Vektor y gleich sein würden und ich es somit als M*x=x darstellen kann. Dies wäre dann ja ein gewöhnliches LGS mit unendlich vielen Lösungen, die ich dann mit A+B+C=60 auf eine Lösung eingrenzen kann. Dabei ist der Anfangszustand doch irgendwie irrelevant, oder?

M sei hier jetzt mal die Übergangsmatrix.


Vielen Dank für deine Unterstützung

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-10-22


Ja, nach einem Kommentar von gonz (danke sehr) habe ich den Beitrag revidiert.
Deine Überlegung sollte korrekt sein.

Ich hatte beim schreiben meiner Antwort die Ausgangsfrage auch nicht mehr ganz im Kopf.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-22


Vielen Dank!



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cis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-10-22

\(\begingroup\)
2018-10-22 11:06 - Reset in Beitrag No. 3 schreibt:
dass ich eigentlich nur den Lösungsvektor folgender Gleichung suche
fed-Code einblenden


Hier kann ich einmal das Applet für die Eingabe von Erweiterten Koeffientenmatrizen, v2.0 testen.


<math>

\usetikzlibrary{matrix}  % lädt TikZ-Bibliothek matrix
% axis}  % lädt pgfplots und pgfplotstable auf dem MP

% Applet für die Eingabe von Erweiterten Koeffientenmatrizen
% v2.0
\pgfplotsset{compat=1.13}
\pgfplotstableset{header=false}

% Eingabe 1/3     "Matrizen eingeben":
\pgfplotstableread[]{
-0.75 0.25   0    0  {}
0     -0.25  0.5  0  {}
0.75  0     -0.5  0  {}
1     1      1    60 {}
}\matrixI

\pgfplotstableread[]{
-\frac34  \frac14     0           0   {\mal 4}
0         -\frac14    \frac12     0   {\mal 4}
\frac34   0           -\frac12    0   {\mal 4}
1         1            1          60   {}
}\matrixII

\pgfplotstableread[]{
-3   1    0     0    {\gleich IV}
0   -1    2     0    {}
3    0   -2     0    {}
1     1      1    60 {\gleich I}
}\matrixIII

\pgfplotstableread[]{
1    1    1     60   {}
0   -1    2     0    {}
3    0   -2     0    {-3\mal I}
-3   1    0     0    {+3\mal I}
}\matrixIV

\pgfplotstableread[]{
1    1    1      60   {+II}
0   -1    2      0    {}
0   -3   -5     -180  {-3\mal II}
0    4    3      180  {+4\mal II}
}\matrixV

\pgfplotstableread[]{
1    0     3       60   {11\mal I + 3\mal III}
0   -1     2       0    {11\mal II + 2\mal III}
0    0    -11     -180  {}
0    0     11      180  {+III}
}\matrixVI

\pgfplotstableread[]{
11   0     0       120   {:11}
0   -11    0      -360   {:(-11)}
0    0    -11     -180   {:(-11)}
0    0     0       0     {}
}\matrixVII

\pgfplotstableread[]{
1    0     0      \frac{120}{11}   {}
0    1     0      \frac{360}{11}   {}
0    0     1      \frac{180}{11}   {}
0    0     0       0               {}
}\matrixVIII

% Eingabe 2/3 "Ausgabe festlegen":
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
\def\as{\renewcommand{\arraystretch}{1.333}}
\def\lc{
\pgfplotstableset{every last column/.style={column type=c}}
}
\newcommand\du[1]{\underline{\underline{#1}}}
\newcommand{\Ausgabe}{%
{\MatrixI}    \&  =      \& {\as\MatrixII} \& \step    \\
{\MatrixIII}  \&  \step  \& {\MatrixIV}    \& \step    \\
{\MatrixV}    \&  \step  \& {\MatrixVI}    \& \step    \\
{\MatrixVII}  \&  \step  \& {\lc\as\MatrixVIII}  \&          \\
}

% % Eingabe 3/3  "Eventuell Stil für Matrizen festlegen"
\tikzset{matrixstyle/.style={
%nodes={},
%column sep=5mm,
row sep=3mm,
},  }
% ===================================

% Sonderzeichen
\newcommand\mal{$\cdot$} % Malpunkt
\newcommand\gleich{$=$\,} %
\newcommand\Error{%
\begin{tikzpicture}[baseline=-1ex, scale=0.05, outer sep=0pt]
\draw[->] (3,3)--(0,0)--(3,1)--(0,-3);
\end{tikzpicture}}
\newcommand\step{$\rightarrow$}

% Allgemeine und spezielle Einstellungen
\pgfplotstableset{%header=false, % da bereits oben
string type,
every head row/.style={output empty row},%
ErweiterteKoeffizientenMatrix/.style={
column type=r,
postproc cell content/.append style={/pgfplots/table/@cell content/.add={$}{$}},
},%
AnnotationsSpalte/.style={
column type=l,
postproc cell content/.append style={/pgfplots/table/@cell content/.add={\ttfamily\footnotesize\hspace{-0.75em}}{},}
}%
}

% Matrizen erstellen ============================
\newcommand{\Dimensionen}[1]{%
\pgfplotstablegetcolsof{#1}
\pgfmathtruncatemacro{\LetzteSpalteNummer}{\pgfplotsretval-1}
\pgfplotstablegetcolsof{#1}
\pgfmathtruncatemacro{\VorletzteSpalteNummer}{\pgfplotsretval-2}
\pgfplotstablegetcolsof{#1}
\pgfmathtruncatemacro{\VorvorletzteSpalteNummer}{\pgfplotsretval-3}
}

% Kommandos \MatrixI, \MatrixII,... erstellen =============
\newcounter{MatrixNummer}
\loop
% Kommandos für Matrizen erstellen ===
\ifnum\value{MatrixNummer}<99
\stepcounter{MatrixNummer}
\expandafter\edef\csname Matrix\Roman{MatrixNummer}\endcsname
{%
\noexpand\Dimensionen{\expandafter\noexpand\csname matrix\Roman{MatrixNummer}\endcsname}
{$\left\lgroup \noexpand\pgfplotstabletypeset[ErweiterteKoeffizientenMatrix, columns={0,...,\noexpand\VorletzteSpalteNummer\noexpand},
columns/\noexpand\VorvorletzteSpalteNummer\noexpand/.style={column type=r|},
]{\expandafter\noexpand\csname matrix\Roman{MatrixNummer}\endcsname}\right\rgroup$}%
%
\noexpand\pgfplotstabletypeset[AnnotationsSpalte,
columns={\noexpand\LetzteSpalteNummer\noexpand}
]{\expandafter\noexpand\csname matrix\Roman{MatrixNummer}\endcsname}%
}% ===
\repeat
% =================================

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[]
\matrix[
matrix of nodes, nodes in empty cells,
nodes={align=left, anchor=west},
ampersand replacement={\&},
matrixstyle] (m) {\Ausgabe};

%\fill[red] (m-1-2.center) circle(1mm);
\end{tikzpicture}
</math>

____________________

<math>

\begin{tikzpicture}[
%scale=0.5, transform shape,
-latex,
font=\sffamily\footnotesize,
matrixstyle/.style={
%every cell/.style={scale=0.75, transform shape}
},
mystyle/.style={rectangle, draw, rounded corners, align=center},
casestyle/.style={mystyle,  fill=none, %yellow!50!orange
minimum width=8.5em, minimum height=1.5em,
},
Fall/.style={draw=red,text=red, fill=pink},
solvestyle/.style={mystyle,  fill=lightgray, minimum width=6em},
every path/.style={thick, shorten <=1mm, shorten >=1mm}
]
\def\ueber{{\"U}berbestimmtes LGS}
\def\quadratisch{Gleichbestimmtes LGS}
\def\unter{Unterbestimmtes LGS}
\def\zero{keine \\ L{\"o}sung}
\def\one{genau eine \\ L{\"o}sung}
\def\inf{unendlich viele \\ L{\"o}sungen}
\matrix (m) [
%matrix of math nodes,
nodes in empty cells,
row sep=2em, column sep=2.5em,
minimum width=1em,
matrixstyle
]
{
%A & B & C  \\
& \node[casestyle, Fall](UPPER){\ueber};                     &   \\
\node[solvestyle](ZERO){\zero}; & \node[solvestyle, Fall](ONE){\one}; &\node[solvestyle](INF){\inf};  \\
& \node[casestyle] (QUADR) {\quadratisch};      &   \\
& \node[casestyle] (LOWER) {\unter};                  &   \\
};
\draw[] (UPPER) -- (ZERO);
\draw[] (UPPER) -- (INF);
\draw[red] (UPPER) -- (ONE);
%
\draw[] (QUADR) -- (ZERO);
\draw[] (QUADR) -- (ONE);
\draw[] (QUADR) -- (INF);
%
\draw[] (LOWER) -- (ZERO.south);
\draw[] (LOWER) -- (INF.south);

\end{tikzpicture}

</math>


-----------------
Wenn man alles ausgeschaltet hat, was unmöglich ist, bleibt am Ende etwas übrig, das die Wahrheit enthalten muß - mag es auch noch so unwahrscheinlich sein...
(Sherlock Holmes)
·
\(\endgroup\)


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Reset
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-25 13:38


Kann eigentlich der Anfangszustand irgend eine Auswirkung auf den Grenzwert haben? Beispielsweise dass es nur mit bestimmten Anfangszuständen konvergiert?



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mire2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-10-25 15:35


Hallo zusammen!  smile

Ich habe jetzt nicht alles gelesen, aber der Begriff, um den es hier geht ist der der Grenzmatrix.

Hast Du eine gegebene Übergangsmatrix M, dann stellt sich die Frage, ob es die Grenzmatrix G gibt, mit <math>G=\lim\limits_{n \to \infty}M^n</math>

Die kann man nun einmal mithilfe eines TR "bestimmen"

a) indem man einfach hohe Potenzen reinhaut, also so etwas wie M50 und das dann als Grenzmatrix nimmt.
Das wird so auch in vielen Schulen praktiziert

b) weiß, dass in den Spalten der Grenzmatrix der Fixvektor mit der Spaltensumme 1 steht.

Dazu muss man dann das LGS <math>M*\overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}</math> lösen und bedenken, dass die Summe der Komponenten von <math>\overrightarrow{x}</math> 1 ergibt.

Das bekommt man hier durchaus noch auf einem kleinen Blatt Papier binnen kürzester Zeit von Hand hin und erhält, wenn ich mich nicht vertan habe, als Grenzmatrix mit dem Fixvektor in den Spalten:

<math>G=\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{2}{11} & \frac{2}{11}  & \frac{2}{11}  \\
\frac{6}{11}  & \frac{6}{11}  & \frac{6}{11}  \\
\frac{3}{11}  & \frac{3}{11}  & \frac{3}{11}
\end{array}\right)</math>

Und mit dieser Grenzmatrix kannst Du dann die Grenzverteilung sehr leicht berechnen.
Diese ist dann auch im Falle der Existenz wie hier unabhängig von der Startverteilung, denn wenn man G mit den Einheitsvektoren e1, e2 bzw. e3 multipliziert - diese bedeuten dann, dass alle, also 100% = 1 entweder bei A oder B oder C sind - so erhält man dennoch am Ende die Grenzverteilung.
Nur, damit das auch ein wenig Background bekommt und es nicht nur so Gehampele ist.

Gruß
mire2


-----------------
Beherrscher der Meta-Sprache
Narr und Weiser des Clans
Einziges Mitglied des Ältestenrates
Bester Freund Metas



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cis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-10-25 19:08

\(\begingroup\)
2018-10-25 13:38 - Reset in Beitrag No. 10 schreibt:
Kann eigentlich der Anfangszustand irgend eine Auswirkung auf den Grenzwert haben?
Beispielsweise dass es nur mit bestimmten Anfangszuständen konvergiert?

Ist $A+B+C=60$ der Anfangszustand?
Falls ja kannst Du im LGS #9 $A+B+C=a$ ersetzen, wofür Du für beliebige $a$ eine eindeutige Lösung erhälst.

\(\endgroup\)


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Reset
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-28 16:14


Der Anfangszustand ist der Vektor (30,10,20)

A+B+C=60 soll nur so eine Art Kontinuitätsgleichung sein, also dass die Masse im System immer konstant gehalten wird.



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Reset hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Reset hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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