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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Bijektive Abbildung gesucht
Thema eröffnet 2018-11-04 12:16 von
X3nion
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Universität/Hochschule J Bijektive Abbildung gesucht
PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.40, eingetragen 2018-11-04


Ja, wenn dir das alles klar ist?

$\{x\in X| F^{-1}_M(x)=1\}=M$

Sei $x\in \{x\in X| F^{-1}_M(x)=1\}$. Also $F^{-1}_M(x)=1$. Also $x\in M$ nach Definition von $F^{-1}$.

Sei $x\in M$. Dann ist $F^{-1}_M(x)=1$. Also $x\in \{x\in X| F^{-1}_M(x)=1\}$.

Diese Gleichheit ist also völlig trivial (also leicht einzusehen), da sie einfach nach Definition von $F^{-1}$ gilt.

Die Schreibweise $\{x\in X|x\in M\}=M$ finde ich etwas eigenartig, aber ist ja nicht falsch.

Es hilft immer sich zu überlegen was für Elemente eine Funktion verarbeitet und worauf diese abbildet.
So kann man Fehler vermeiden.

Nun zeige $F^{-1}\circ F=\operatorname{id}$.

Was ist hier die Identität?



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.41, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-04


Okay vielen Dank für deine Illustration der Mengeninklusion, welches sichtlich die elegantere Begründung ist! smile

Bei $F^{-1} \circ F$ sollte f(x) bzw. $F_{M}^{-1}(x)$ ja die Identität sein, denn F bildet die Funktion ja auf eine Menge $M \in P(X)$ ab und $F_{M}^{-1}$ wieder retour.


Ist dann $F_{M}^{-1}(F) =
\begin{cases}
1 & \text{für } F(f) \in M \\
0 & \text{für} F(f) \in X \backslash M
\end{cases}$ ?

Bzw. nein das kann ja nicht sein, da x ein Element ist und F(f) eine Menge.
Aber irgendwie muss ich das ja substituieren..

Zu zeigen müsste ja aber sein

$F_{M}^{-1}(F) =
\begin{cases}
1 & \text{für } x \in M \\
0 & \text{für} x \in X \backslash M
\end{cases}$ ?



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.42, eingetragen 2018-11-04


Ich bin nicht der Meinung, dass man das beweisen muss. Ich wollte nur zeigen, dass es einfach zu beweisen wäre und die Gleichheit klar ist, wenn man an die Definition der Umkehrfunktion von $F$ denkt.

2018-11-04 20:11 - X3nion in Beitrag No. 41 schreibt:

Bei $F^{-1} \circ F$ sollte f(x) bzw. $F_{M}^{-1}(x)$ ja die Identität sein

Weder noch. $f(x)$ bezeichnet ja im allgemeinen den Funktionswert von $x$. Ist also selbst nur ein Element und keine Funktion.

Nochmal zu $F^{-1}$.

Wir definieren $F^{-1}: \mathcal{P}(X)\to\operatorname{Abb}(X, Z)$ durch $F^{-1}_M(x)=\begin{cases} 1,\,\text{falls}\, x\in M\\ 0,\,\text{falls}\, x\notin M\end{cases}$

Eine alternative Schreibweise wäre etwa $F^{-1}(M)(x)$. Sie ist vielleicht auch eher anzutreffen.

Wichtig ist, dass das Argument eigentlich der Index ist. Das ist verwirrend.
Außerdem ist der "Name" der Funktion einfach $F^{-1}$. Der Index gehört nicht dazu.
Wir setzen in diese Funktion eine Menge $M$ ein und machen daraus eine Funktion indem wir alle Elemente aus $X$ durchgehen. Wenn $x$ in der Menge liegt, wird auf 1 abgebildet. Wenn nicht, dann auf Null.

Vielleicht sollte man dann lieber $F^{-1}_x(M)$ schreiben?

Wir wollen zeigen, dass $F^{-1}\circ F=\operatorname{id}$ gilt.
In $F$ werden Funktionen eingesetzt.
Sei also $f\in\operatorname{Abb}(X,Z)$.

Dann ist $F^{-1}(F(f))=F^{-1}(\{x\in X|f(x)=1\})(x)=F^{-1}_{\{x\in X|f(x)=1\}}(x)$

Am Ende müssen wir $f$ erhalten.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.43, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-04


Also hätten wir dann $F^{-1}_{\{x\in X|f(x)=1\}}(x) =
\begin{cases}
1 & \text{für } x \in \{x\in X|f(x)=1\} \\
0 & \text{für} x \notin \{x\in X|f(x)=1\}
\end{cases}

= \begin{cases}
1 & \text{für } f(x) = 1 \\
0 & \text{für} f(x) \neq 1 = 0
\end{cases}$ ?

Oder wie würdest du es machen?



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.44, eingetragen 2018-11-04


Ja, genau.
Also gerade $f$.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.45, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-04


Ach Mensch vielen vielen Dank dir, du hast mir echt sehr geholfen und ich schätze deine Geduld sehr! smile
Mit mathematischen Anfängern umzugehen erfordert glaube ich echt eine Menge Geduld ^-^



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.46, eingetragen 2018-11-04


Ich möchte hier gerne noch eine andere Möglichkeit zeigen, da das mit der Umkehrabbildung ja doch irgendwie kompliziert wird.

F ist injektiv: Ist F(f)=F(g), so ist $f^{-1}(1)=g^{-1}(1)$.
Da $X=f^{-1}(1) \cup f^{-1}(0) = g^{-1}(1) \cup g^{-1}(0)$, und zwar jeweils disjunkt, ist also auch $f^{-1}(0)=g^{-1}(0)$ und damit $f=g$.

F ist surjektiv: Sei $M\in P(X)$. Zu zeigen: es existiert $f:X\to\{0,1\}$, so dass $F(f)=f^{-1}(1)=M$. Setze $f(x)=1$ für $x\in M$ und $f(x)=0$ für $x\in X\setminus M$.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.47, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-05


Guten Morgen supermonkey,

vielen Dank für deinen Beitrag, welcher ohne die etwas komplizierte Notation auskommt!

Ich müsste auch mal schauen, ob wir die Bijektivität über den Nachweis über die Identität in der Vorlesung hatten, ansonsten müsste man die Äquivalenz streng genommen formal beweisen, um die Variante von PrinzessinEinhorn verwenden zu dürfen?


Viele Grüße,
X3nion



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.48, eingetragen 2018-11-05


In jedem Fall schadet es nichts, das mal zur Übung zu tun =)



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.49, eingetragen 2018-11-05


Was vielleicht noch interessant ist, ist dass wir mit dieser Aufgabe zeigen, dass tatsächlich $|P(X)|=2^{|X|}$ gilt. Denn die Anzahl der Abbildungen von X nach $\{0,1\}$ ist nämlich gerade $2^{|X|}$, was man mit leicht mit einem Induktionsbeweis sieht.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.50, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-06


Hmm den Induktionsbeweis probier ich, wenn ich mal Luft von den zu lösenden Aufgaben habe biggrin aber interessanter Zusammenhang!



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.51, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-06


2018-11-04 23:15 - supermonkey in Beitrag No. 46 schreibt:
Ich möchte hier gerne noch eine andere Möglichkeit zeigen, da das mit der Umkehrabbildung ja doch irgendwie kompliziert wird.

F ist injektiv: Ist F(f)=F(g), so ist $f^{-1}(1)=g^{-1}(1)$.
Da $X=f^{-1}(1) \cup f^{-1}(0) = g^{-1}(1) \cup g^{-1}(0)$, und zwar jeweils disjunkt, ist also auch $f^{-1}(0)=g^{-1}(0)$ und damit $f=g$.


Hier muss ich nochmal kurz nachhaken: wieso folgt aus $f^{-1}(1) = g^{-1}(1)$ und $f^{-1}(0) = g^{-1}(0)$, dass f = g?


Viele Grüße,
X3nion



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.52, eingetragen 2018-11-06


Wir müssen zeigen, dass $f(x)=g(x)$ für alle $x\in X$. Sei also $x\in X$.
Es kann entweder $f(x)=0$ oder $f(x)=1$ gelten. Ist $f(x)=0$, also $x \in f^{-1}(0)$, so ist wegen $f^{-1}(0)=g^{-1}(0)$ auch $g(x)=0$. Ebenso sieht man $f(x)=1 \Rightarrow g(x)=1$.

Jetzt klar?



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.53, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-06


Ahh okay Dankeschön, nun ist es klar geworden! smile

Dann noch eine kurze Nachfrage: müsste es nicht heißen $F(f) = f^{-1}(\{1\})$ anstatt $F(f) = f^{-1}(1)$?
Denn F muss ja eine Menge liefern, und somit wäre ja die Urbildabbildung die bessere Wahl, oder nicht?


Viele Grüße,
X3nion



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.54, eingetragen 2018-11-06


Lass dich hier mal nicht durcheinander bringen. Es ist sinnvollerweise $f^{-1}(1):=f^{-1}(\{1\})=\{x\in X |f(x)=1\}$. Da f i.A. nicht bijektiv ist, $f^{-1}$ als Abbilung von $\{0,1\}$ nach $X$ also sowieso nicht existiert, gibt es hier eh kein Verwechslungsproblem.
In dem Thread mit der Injektivität ging es ja darum, dass das Bild eines einzelnen Elements keine Menge ist, in dem Sinne, dass der Ausdruck $f(y)=\emptyset$ nicht wohldefiniert ist, falls das evtl. Verwirrung gestiftet hat.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.55, eingetragen 2018-11-06


2018-11-06 21:58 - supermonkey in Beitrag No. 54 schreibt:
Lass dich hier mal nicht durcheinander bringen. Es ist sinnvollerweise $f^{-1}(1):=f^{-1}(\{1\})=\{x\in X |f(x)=1\}$.
In dem Thread mit der Injektivität ging es ja darum, dass das Bild eines einzelnen Elements keine Menge ist, in dem Sinne, dass der Ausdruck $f(y)=\emptyset$ nicht wohldefiniert ist, falls das evtl. Verwirrung gestiftet hat.
Es wäre vermutlich sinnvoll, das so zu definieren, aber ich denke nicht, dass das eine Standarddefinition ist, zumindest habe ich sie noch nirgends gesehen.
$f^{-1}(\{1\})$ ist auf jeden Fall (auch?) richtig.



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.56, eingetragen 2018-11-06


2018-11-06 22:10 - Nuramon in Beitrag No. 55 schreibt:
2018-11-06 21:58 - supermonkey in Beitrag No. 54 schreibt:
Lass dich hier mal nicht durcheinander bringen. Es ist sinnvollerweise $f^{-1}(1):=f^{-1}(\{1\})=\{x\in X |f(x)=1\}$.
In dem Thread mit der Injektivität ging es ja darum, dass das Bild eines einzelnen Elements keine Menge ist, in dem Sinne, dass der Ausdruck $f(y)=\emptyset$ nicht wohldefiniert ist, falls das evtl. Verwirrung gestiftet hat.
Es wäre vermutlich sinnvoll, das so zu definieren, aber ich denke nicht, dass das eine Standarddefinition ist, zumindest habe ich sie noch nirgends gesehen.
$f^{-1}(\{1\})$ ist auf jeden Fall (auch?) richtig.

Es ist (auch) richtig, weil die Mengen die selben sind. Das ist ganz einfach nur eine vereinfachende Schreibweise für die Faser über einem Element.

de.wikipedia.org/wiki/Urbild_(Mathematik)




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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.57, eingetragen 2018-11-06


@supermonkey Danke. Aus irgendeinem Grund ist mir diese Notation für die Faser bisher noch nicht über den Weg gelaufen. Oder ich habe einfach nicht genau genug auf die Klammern geachtet.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.58, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-07


Okay vielen Dank für eure Erläuterungen, welche mir einleuchten!

2018-11-04 23:15 - supermonkey in Beitrag No. 46 schreibt:

F ist surjektiv: Sei $M\in P(X)$. Zu zeigen: es existiert $f:X\to\{0,1\}$, so dass $F(f)=f^{-1}(1)=M$. Setze $f(x)=1$ für $x\in M$ und $f(x)=0$ für $x\in X\setminus M$.


Hierzu noch eine kurze Frage zum Nachweis der Surjektivität:  Wir gehen hier von eimem beliebigen $M \in P(X)$ aus und zeigen, dass es zu diesem ein f gibt mit F(f) = M, indem wir f konkret angeben. Dies genügt?


Viele Grüße,
X3nion



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.59, eingetragen 2018-11-07


2018-11-07 12:28 - X3nion in Beitrag No. 58 schreibt:
Okay vielen Dank für eure Erläuterungen, welche mir einleuchten!

2018-11-04 23:15 - supermonkey in Beitrag No. 46 schreibt:

F ist surjektiv: Sei $M\in P(X)$. Zu zeigen: es existiert $f:X\to\{0,1\}$, so dass $F(f)=f^{-1}(1)=M$. Setze $f(x)=1$ für $x\in M$ und $f(x)=0$ für $x\in X\setminus M$.


Hierzu noch eine kurze Frage zum Nachweis der Surjektivität:  Wir gehen hier von eimem beliebigen $M \in P(X)$ aus und zeigen, dass es zu diesem ein f gibt mit F(f) = M, indem wir f konkret angeben. Dies genügt?


Viele Grüße,
X3nion

Ja. Surjektiv bedeutet, dass jedes Element mindestens ein Urbild hat. Also reicht es, eines anzugeben. Wenn du mal genau hinschaust, ist das nichts anderes als das, was ihr gemacht habt um die Umkehrabbildung zu konstruieren.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.60, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09


Okay alles klar, vielen vielen Dank für eure große Hilfe!

Viele Grüße,
X3nion



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X3nion hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
X3nion hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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