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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Bijektive Abbildung gesucht
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Universität/Hochschule J Bijektive Abbildung gesucht
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-04


Hallo zusammen!

Folgende Aufgabe ist zu lösen:

Sei X eine Menge und sei $Z =\{0, 1\}$. Sei Abb(A,B) die Menge aller Abbildungen von der Menge A in die Menge B (dies ist eine Teilmenge von $P(A \times B).$) Gebe eine bijektive Abbildung $ F: Abb(X,Z) \to P(X)$ an und zeige, dass diese Abbildung tatsächlich bijektiv ist.

Nun denn, wenn ich das richtig verstehe, muss eine bijektive Abbildung F gefunden werden, welche der Menge der Abbildungen von $X \to \{0, 1\}$ die Potenzmenge von X zuordnet?

Könnt ihr mir helfen, dass ich erst einmal solch eine Abbildung finde?
Ich habe ja dann eine Abbildung von $P(X x \{0,1\}) \to P(X)$?

Wie immer wäre ich für jede Hilfe dankbar!


Viele Grüße,
X3nion



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-04


Hallo,

ich denke ein Beispiel hilft.

Nimm mal $X=\{1,2\}$.

Wie viele Abbildungen $f: \{1,2\}\to\{0,1\}$ gibt es und wie sehen diese aus?
Schreibe $\mathcal{P}(X)$ aus.
Nun überlege dir, welche Abbildung du sinnvollerweise auf welche Menge abbildest und warum.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-04


Hallo PrinzessinEinhorn und vielen Dank für deine Antwort!

Hmm also es ist $P(X) = \{\emptyset, \{0\}, \{1\}, \{0,1\}\}$

Ich komme aber immer noch nicht so ganz mit den Abbildungen klar.

$f_{1}$ wäre ja z.B. $f_{1}(1) = 1, f_{1}(2) = 2, f_{1}(\{1,2\} = \{0,1\}$, oder liege ich falsch?

Viele Grüße,
X3nion



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-04


2018-11-04 12:37 - X3nion in Beitrag No. 2 schreibt:


es ist $P(X) = \{\emptyset, \{0\}, \{1\}, \{0,1\}\}$

Das ist $\mathcal{P}(\{0,1\})$.


Ich komme aber immer noch nicht so ganz mit den Abbildungen klar.

$f_{1}$ wäre ja z.B. $f_{1}(1) = 1, f_{1}(2) = 2, f_{1}(\{1,2\} = \{0,1\}$, oder liege ich falsch?

Hier schreibst du eine Abbildung $f_1: \{1,2\}\to\{1,2\}$ hin.
Aber du möchtest ja Abbildungen $\{1,2\}\to\{0,1\}$, oder allgemeiner $X\to\{0,1\}$.

Du kommst also etwas durcheinander. Aber das ist natürlich kein großer Fehler.
Ansonsten hast du ja recht.

Schreibe mal alle solche Abbildungen hin.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-04



Dankeschön für deine Antwort!

$f_{1}$ wäre ja z.B. $f_{1}(1) = 1, f_{1}(2) = 2, f_{1}(\{1,2\} = \{0,1\}$

$f_{2}(1) = 2, f_{1}(2) = 1, f_{1}(\{1,2\} = \{0,1\}$

Wären die beiden Abbildungen bis hierhin korrekt?

Aber wie mache ich nun weiter? Wird nun bei $f_{3}$ die 1 auf $\{0,1\} abgebildet?

Dann hätte ich aber mehr als 4 Möglichkeiten, das ganze zu permutieren.


Viele Grüße,
X3nion



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-11-04


Du liegst falsch. Machen wir uns erstmal die Situation klar. Alexander Grothendieck hat sinngemäß einmal gesagt, dass wenn man das Problem nur gut genug versteht, kommt die Lösung wie von selbst. :)

Also versuchen wir das mal gemeinsam zu tun.

Nehmen wir $X=\{1,2\}$, so ist $P(X)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$
Die Abbildungen von X nach $Z=\{0,1\}$ sind

f(1)=0, f(2)=0
g(1)=0 g(2)=1
h(1)=1 g(2)=0
i(1)=1 i(2)=1

Das heißt wir haben $4=2^2$ Abbildungen. Das ist schonmal gut, denn für endliche Mengen gilt für die Mächtigkeit von P(X), $|P(X)|=2^{|X|}$.

Jetzt sollen wir jeder dieser Abbildungen eine Teilmenge von X, also ein Element von P(X), zuordnen. Was passiert, wenn wir $f$ auf $f^{-1}(0)$ abbilden?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-11-04


Du machst hier den gleichen Fehler wie oben und schreibst Abbildungen von $\{1,2\}\to\{1,2\}$ hin.

Wie gesagt suchen wir aber welche von $\{1,2\}\to\{0,1\}$.

Dann ist etwa $f_1(1)=0$ und $f_1(2)=1$ und $f_2(1)=1$ und $f_2(2)=0$.
Wenn ich das mal anpasse.


Aber wie mache ich nun weiter? Wird nun bei $f_3$ die 1 auf $\{0,1\}$ abgebildet?

Dann hätte ich aber mehr als 4 Möglichkeiten, das ganze zu permutieren.

Du hast bisher nur bijektive Abbildungen hingeschrieben.
Aber es sind allgemeine Abbildungen gesucht.
Insbesondere bilden diese Abbildungen nicht auf Mengen ab.
Das macht $F$ und die wollen wir ja gerade konstruieren. :)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-11-04


2018-11-04 12:53 - X3nion in Beitrag No. 4 schreibt:


$f_{2}(1) = 2, f_{1}(2) = 1, f_{1}(\{1,2\} = \{0,1\}$



Du bildest nach $\{0,1\}$ ab, da kann 2 kein Bild sein!

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-11-04


@supermonkey:

Ganz nach dem Motto "viele Köche verderben den Brei", ist es für einen Fragesteller oftmals verwirrend, wenn ihm von mehreren Personen gleichzeitig geholfen wird, die dann möglicherweise andere Erklärungen, oder Ansätze verfolgen.

:)



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-04


Hmm dann wäre ich aber überfragt wie $f_{3}, f_{4}$ ausschauen :-D

Ist dann $f_{3}(1) = f_{3}(2) = 1$
und $f_{4}(1) = f_{4}(2) = 2$ ?


Viele Grüße,
X3nion



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-11-04


Ja, wenn du eben auf $\{0,1\}$ und nicht auf $\{1,2\}$ abbildest.

$f_{3}(1) = f_{3}(2) = 0$
$f_{4}(1) = f_{4}(2) = 1$


Und jetzt überlege dir mal was $F(f_3)$ sein könnte.
Und was $F(f_4)$ dann sein sollte.

Worauf werden dann $f_1$ und $f_2$ abgebildet?



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-11-04


2018-11-04 13:03 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 8 schreibt:
@supermonkey:

Ganz nach dem Motto "viele Köche verderben den Brei", ist es für einen Fragesteller oftmals verwirrend, wenn ihm von mehreren Personen gleichzeitig geholfen wird, die dann möglicherweise andere Erklärungen, oder Ansätze verfolgen.

:)

Ich verstehe, was du allgemein sagen willst. Aber hier bin ich ja genau auf dein Beispiel eingegangen.



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-11-04


Ja, aber das sollte ja der Fragesteller machen. ^-^

Ich nehme dir das natürlich nicht übel oder so, ich hatte nur befürchtet, dass sich hier in dem Thread dann Erklärungen doppeln. Und dann wird es für einen Fragesteller schwierig auf die Fragen der Helfer einzugehen und muss sich möglicherweise alles zweimal durchlesen. :)



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-11-04


Aus eigener Erfahrung weiß ich, dass wenn jemand so weit weg selbst vom Verständnis der Aufgabenstellung ist, wie es hier offensichtlich der Fall ist, es sehr hilfreich sein kann, einfach mal ein ausgeführtes Beispiel zu sehen. Klar, wenn du die Geduld hast, kannst du einen Beitrag um den anderen Versuchen, den Fragesteller die Lösung finden zu lassen. Das kann aber letzlich auch mehr verwirren, als wenn man es eben einmal gezeigt bekommt.



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-11-04


Ich kann durchaus sehr geduldig sein.
Wenn ich merke, dass nichts geht, dann rechne ich auch ausführlich vor.
Hier war es meiner Meinung nach noch nicht der Fall.
X3nion konnte mit dem Beispiel ja erstmal arbeiten.

Dann wurden hier ja auch weitere Verständnisprobleme ans Licht gebracht, dass etwa erst nur bijektive Funktionen beachtet wurden.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-04


Ahh sorry, ich verwechsle die 1 und 2 mit 0 und 1, sorry biggrin
Und ich finde es toll, dass du so gefuldig bist, PrinzessinEinhorn, und auch toll von dir supermonkey, dass du dir auch im vorherigen Beitrag so viel Zeit genommen hast! smile

ich fasse zusammen:

Es ist

$f_{1}(1) = 1, f_{1}(2) = 0$

$f_{2}(1) = 0, f_{2}(2) = 1$

$f_{3}(1) = f_{3}(2) = 1$

$f_{4}(1) = f_{4}(2) = 0$


Nun welchen Tipp habt ihr?
PrinzessinEinhorn fragte mich, auf was denn $f_{3}, f_{4}$ abgebildet wird.
Da tue ich mir echt schwer, einen Zusammenhang zu erkennen.
Ich sehe nur, dass $f_{3}, f_{4}$ nicht injektiv sind, die anderen beiden aber schon.


Viele Grüße,
X3nion


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-11-04



Ich sehe nur, dass $f_3,f_4$ nicht injektiv sind, die anderen beiden aber schon.

Das ist richtig, hilft uns hier aber eigentlich nicht weiter.

Wir wollen ja nun eine Bijektion $F: \operatorname{Abb}(\{1,2\}, \{0,1\})\to \mathcal{P}(\{1,2\})$

angeben.
Für ein konkretes (endliches) Beispiel ist das kein Problem, weil die Mengen ja die selbe Anzahl Elemente enthalten.
Wir wollen das aber verallgemeinern, also irgendwie geschickt machen und uns etwas dabei denken.

Zu erst wollen wir uns überlegen, welche Funktion auf die leere Menge abgebildet wird.
Welche Menge sollte auf $X=\{1,2\}$ abgebildet werden?




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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-04


Puh ich könnte jetzt echt nur raten, da mir der Zusammenhang nicht ersichtlich ist.

Wird evtl. $f_{4}$ auf die leere Menge abgebildet, weil die Funktionswerte beider Elemente 0 ergeben?


Viele Grüße,
X3nion



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2018-11-04


2018-11-04 16:28 - X3nion in Beitrag No. 17 schreibt:

Wird evtl. $f_{4}$ auf die leere Menge abgebildet, weil die Funktionswerte beider Elemente 0 ergeben?


Ja, das ist sicherlich eine sinnvolle Wahl.
Worauf sollte man dann $f_3$ abbilden?

Und wie gesagt, hier kann man erstmal nur "raten".
Es ist aber wichtig sinnvolle Wahlen zu treffen, wenn man es verallgemeinern möchte.




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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-04


$f_{3}$ wird dann auf $\{1,2\}$ abgebildet nehme ich an? ^^

Und bei $f_{1}, f_{2}$ wüsste ich nicht, was jetzt auf $\{1\}$ und auf $\{2\}$ abgebildet werden soll.



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2018-11-04


Richtig.

Und das ist jetzt genau die Frage.
Was wäre denn kohärent zu dem, was wir bisher gemacht haben.

Wir bilden die Funktion, welche Konstant Null ist, auf die leere Menge ab.
Die Funktion, die Konstant 1 ist, wird auf die ganze Menge abgebildet.
Null bedeutet also ...
Und eins bedeutet ...

Wir haben $f_1(1)=1$ und $f_1(2)=0$.

Was sollte $F(f_1)$ nun sein?

Wie supermonkey vorgeschlagen hatte, ist es vielleicht sogar sinnvoller sich zu erst die Umkehrfunktion zu überlegen.
Daher einer Menge einer Funktion zuzuordnen.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-04


Hmm das ist echt tricky :-D

Die Funktion $f_{1}$ auf die $\{1\}$ und $f_{2}$ auf die $\{2\}$ ?

Hier stehe ich echt auf dem Schlauch



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-04


Moment ich hab‘s! (Glaub^^)

Die Bijektion besteht wie folgt:

$f_{1}(1) = f_{1}(2) = 0 => f_{1}$ wird $ \emptyset$ zugeordnet.

$f_{2}(1) = f_{2}(2) = 1 => f_{1}$ wird $ \{1,2\}$ zugeordnet.

$f_{3}(1) = 1, f_{3}(2) = 0 => f_{1}$ wird $\{1, \emptyset\} = \{1\}$ zugeordnet.

$f_{4}(1) = 0, f_{4}(2) = 1 => f_{1}$ wird $ \{\emptyset, 2\} = \{2\} $ zugeordnet.


Das sollte doch die Logik dahinter sein oder?



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2018-11-04


Ja, das ist richtig.

Aber $\{1,\emptyset\}\neq\{1\}$. Für die andere Menge gilt das gleiche.
Die linke Menge hat zwei Elemente und die rechte Menge hat ein Element.
Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. Sie ist aber nicht Element jeder Menge.

Und was wäre die "Regel" nach der die Funktion $F$ agiert?



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-04


Sie schaut sich die Urbildabbildung $f^{-1}$ an und „spuckt“ die Menge $f^{-1}(1)$ aus! smile



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2018-11-04


Nicht schlecht. :)

Ich hätte jetzt gesagt,

$F(f)=\{x\in X|f(x)=1\}$

Aber $F(f)=f^{-1}(1)$ geht auch.

Jetzt müssen wir zeigen, dass $F$ eine Bijektion ist.
Das geht wohl am besten indem wir eine Umkehrabbildung $F^{-1}$ angeben.
Also einer Menge eine Funktion zuordnen.
Das geht ganz ähnlich zu dem, was wir bisher getan haben.




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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2018-11-04


Hi.
Wie kann man sich eine Funktion \(X\to \{0,1\}\) anschaulich vorstellen?
Jedem Element \(x\in X\) wird genau einer von zwei verschiedenen Werten zugeordnet.

Ich stelle mir das so vor wie das einfaerben der Elemente in \(X\),
\(0\) fuer \(blau\) und \(1\) fuer rot zum Beispiel.

Angenommen du hast eine solche "Einfaerbung von \(X\)" gegeben, also eine Funktion \(X\to \{0,1\}\). Mit welcher Teilmenge \(S\subseteq X\) wuerdest du diese Funktion identifizieren?

Gruesse




-----------------
Poincaré and Erdős went to an étalé party at Čech's
with an adèle and an étale as gifts. Čech was happy.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-04


Hmm dann würde ich doch so etwas bekommen:


$F^{-1}(f^{-1}(1))=
\begin{cases}
1 & \text{für } x \in f^{-1}(1) \\
0 & \text{für} x \in X \backslash f^{-1}(1)
\end{cases}$

Wäre das die Umkehrfunktion?
Mir fällt keine Möglichkeit ohne Fallunterscheidung ein.


Also in unserem Beispiel:

$F^{-1}(\emptyset)=
\begin{cases}
1 & \text{für } x \in \emptyset \\
0 & \text{für}x \in X \backslash \emptyset
\end{cases}$,
also $f(1) = f(2) = 0$


$F^{-1}(\{1\})=
\begin{cases}
1 & \text{für } x \in \{1\} \\
0 & \text{für} x \in X \backslash \{1\} = \{2\}
\end{cases}$,
also $f(1) = 1, f(2) = 0$

usw..


Viele Grüße,
X3nion



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2018-11-04


Ja, das ist genau richtig. Sehr gut.

Nun musst du nur noch nachrechnen, dass dies tatsächlich die Umkehrfunktion ist.

Du musst nur vielleicht eine sorgfältigere Notation wählen.
Denn $F^{-1}$ hängt von der Menge $M$ ab und von den Elementen dieser Menge.
Du kannst also schreiben $F^{-1}(M)(x)$, oder vielleicht weniger verwirrend $F^{-1}_M(x)$.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-04


Okay perfekt, das schaut ja schon mal nicht schlecht aus! :-)

Hm also müsste ich zeigen $F(F_{M}^{-1}) = F_{M}^{-1}(F) = id$?


Viele Grüße,
X3nion



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, eingetragen 2018-11-04


Ja, das ist zu zeigen.
Also das die angegebenen Funktionen zueinander inverse Bijektionen sind.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-04


Okay Moment, ich muss das erst einmal sauber notieren!

Kann ich schreiben:

Für $M \in P(X) gilt$:

$F_{M}^{-1}(x)=
\begin{cases}
1 & \text{für } x \in M \\
0 & \text{für} x \in X \backslash M
\end{cases}$ ?



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.32, eingetragen 2018-11-04


Ja, so kannst du das schreiben.



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X3nion
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Hmm okay, dann wird der letzte Schritt noch der Beweis der inversen Bijektion sein.

Wenn ich nun deine Variante von $F(f) = \{x \in X| f(x) = 1\}$ nehme, so komme ich auf

$F(F_{M}^{-1}) = \{x \in X: F_{M}^{-1}(x) = 1\}$

Wie vereinfache ich dies nun weiter, dass die Identität herauskommt?



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PrinzessinEinhorn
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Was wäre in diesem Fall denn die Identität?



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X3nion
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Die Identität sollte $F_{M}^{-1}$ sein, richtig?



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PrinzessinEinhorn
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Leider nicht.
$F$ bildet ja auf Elemente der Potenzmenge von $X$ ab. Also auf Mengen.
$F^{-1}_M$ ist jedoch eine Funktion.




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X3nion
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Hmm müsste dann $x \in M \in P(X)$ als Identität herauskommen?
Wegen $F(F_{M}^{-1}(x)) = x$ ?
Die Identität gibt doch das Argument heraus mit was sie gefüttert wurde dachte ich?



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PrinzessinEinhorn
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$x$ ist leider auch keine Menge, sondern ein einzelnes Element.

Ja, die Notation ist hier eben so ein Knackpunkt.
Wie gesagt wissen wir, dass $F$ auf Mengen abbildet.
Und $F^{-1}_M(x)$ hängt ja eigentlich von $M$ ab und prüft dann die Elemente $x$.

Und $\{x\in X| F^{-1}_M(x)=1\}=M$.



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X3nion
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Ja die Notation ist wirklich ein Knackpunkt!

$F(F_{M}^{-1}) = \{x \in X: F_{M}^{-1}(x) = 1\} = \{x \in X: x \in M\}$ (wegen $f_{M}^{-1}(x) = 1$ für $x \in M)$
Und somit $\{x \in X: x \in M\}$ = M

Wäre die Begründungskette so in Ordnung?



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