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  Satz von Picard-Lindelöf |
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SabrinaMathe
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Hallo,
es geht um Satz von Picard - Lindelöff in der globalen Version.
Jedoch will ich nicht so auf den Beweis eingehen, sondern auf den Formalismus.
Man hat ja ein AWP der Form: \(y'(x) = f(x,y)\) mit \(y(x_0)=y_0\)
mit \(x \in[x_0,x_0+a]\)
Dieses kann man äquivalent in eine Integralgleichung umschreiben: \((y(x)=y(x_0) + \int_{x_0}^x f(t,y(t)) dt\)
Darauf wendet man dann den Banachschen Fixpunktsatz, die Integralgleichung ist von der Form y=Ty.
Man rüstet dann den Raum der stetigen Funktionen auf \([x_0,x_0+a]\), mit der Norm \(||y||_s:=max_{x \in[x_0,x_0+a] }|y(x)|e^{-sx}\) aus und erhält einen Banachraum.
Jetzt werden Abschätzungen gemacht:
|Ty-Tz|<....warum wird hier der Betrag verwendet?
Muss es nicht die allgemeine Norm sein?
Man erhält dann \(|Ty-Tz|...... \leq L ||y-z||_s \frac{1}{s} e^{sx}
\)
L ist die Lipschitzkonstante.
Dann multipliziert man mit dem e- Term und erhält dann auf der linken Seite \(|Ty-Tz| e^{-sx}\) und kann zur Norm übergehen:
\(||Ty-Tz||_s\)
So wurde das erklärt.
Den letzten Schritt verstehe ich ja, denn die Norm ist ja so definiert. Warum fängt man auf der linken Seite mit dem Betrag bei |Ty-Tz| an. Das Bild von T liegt doch nicht in R?
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xiao_shi_tou_
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-06
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\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
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2018-11-06 21:13 - SabrinaMathe im Themenstart schreibt:
Jetzt werden Abschätzungen gemacht:
|Ty-Tz|<....warum wird hier der Betrag verwendet?
Muss es nicht die allgemeine Norm sein?
Man erhält dann \(|Ty-Tz|...... \leq L ||y-z||_s \frac{1}{s} e^{sx}
\)
L ist die Lipschitzkonstante.
Hi.
Das stimmt so nicht.
Du hast beim Beweis der Lipschitz-Stetigkeit auf der Linken Seite nicht
\(|Ty-Tz|\), aber \(|Ty(x)-Tz(x)|\) stehen und die Abschaetzung gilt fuer alle \(x\).
Das heisst, du hast:
\(\forall x\colon |Ty(x)-Tz(x)|e^{-sx} \leq L \left\lVert y-z\right\rVert_s
\).
(\(\frac{1}{s}\) ist konstant und wird in \(L\) reingezogen nehme ich an. )
Das heisst \(L \left\lVert y-z \right\rVert_s\) ist eine obere Schranke von \(\{|Ty(x)-Tz(x)|e^{-sx}\colon x\in [x_0,x_0+a]\}\).
Da das Supremum die kleinste Obere Schranke ist folgt:
\(\left\lVert Ty-Tz\right\rVert \leq L \left\lVert y-z\right\rVert_s
\)
Was ist das fuer eine Norm?
Warum hat man den Faktor \(e^{-sx}\)? Ich kenne den Beweis normalerweise mit der Supremumsnorm. Dient der Faktor der Abschaetzung?
Kannst du mal die Abschaetzung hier reinschreiben?
Hast du ausserdem den Wikipedia Artikel hier schon gelesen/gesehen?
-----------------
"Jedes Gehirn kann Fragen beantworten. Es geht darum die richtigen Fragen zu finden."\(\endgroup\)
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Wally
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Aus: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.2, eingetragen 2018-11-06
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, Sabrina,
ohne den Originaltext zu sehen kann ich nur raten:
Es ist gemeint \(|Ty(x)-Tz(x)|\), weil auf der rechten Seite auch noch ein \(x\) vorkommt, und erste später wird bei Bedarf das Supremum genommen.
Wally
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)
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SabrinaMathe
Aktiv 
Dabei seit: 28.10.2018
Mitteilungen: 133
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-06
|
Hallo,
ja Wally hat recht.
Ich habe bei Wiki gesehen, dass sie nur ||.|| verwenden.
Die Norm ist so komisch mit dem e- Teil, da uns noch ein Werkzeug fehlt, um das mit der Supremumsnorm zu machen( laut Vorlesung).
Es ging mir letztlich egtl nur um die Frage, warum der Betrag bei Ty(x)-Tz(x) geschrieben wird und nicht die allgemeine Norm.
Bei Wiki ist es ja auch so?
|Ty(x)-T(z)(x)| müssen dann doch in\(\mathbb R\) liegen, was doch nicht der Fall ist?
|
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8470
Aus: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.4, eingetragen 2018-11-07
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Wenn man den Satz beweisen will, hat man (mindestens) zwei Möglichkeiten.
Man möchte ja haben, dass der Integraloperator eine Kontraktion definiert, um den Banachschen Fixpunktsatz anwenden zu können.
Die "Standardmöglichkeit" ist es, das Intervall so klein zu machen, dass das Produkt aus Intervalllänge und Lipschitzkonstante  kleiner als 1 ist, und dann solche lokalen Existenzintervalle zusammenzustückeln.
Wenn man eine globale Lipschitzkonstante hat, kann man den Trick mit der Norm nehmen, die durch Gewichtung der sup-Norm mit einer Exponentialfunktion entsteht, und erhält Existenz und Eindeutigkeit in einem Schritt für ein beliebig langes Intervall.
Wally\(\endgroup\)
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SabrinaMathe
Aktiv
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Mitteilungen: 133
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-07
|
Das verstehe ich auch egtl ganz ok :)
Man kann die gewichtete Norm nehmen, da die Normen im euklischen Raum äuqivalent sind oder?
Mir ging es eher darum, warum | Ty(x)-Tz(x)schreibt.
|Ty(x)-T(z)(x)| müssen dann doch in R liegen, was doch nicht der Fall ist?
Verstehst du worauf ich hinaus will?
|
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xiao_shi_tou_
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Aus: Bonn
| Beitrag No.6, eingetragen 2018-11-07
|
2018-11-07 08:35 - SabrinaMathe in Beitrag No. 5 schreibt:
Das verstehe ich auch egtl ganz ok :)
Man kann die gewichtete Norm nehmen, da die Normen im euklischen Raum äuqivalent sind oder?
Mir ging es eher darum, warum | Ty(x)-Tz(x)schreibt.
|Ty(x)-T(z)(x)| müssen dann doch in R liegen, was doch nicht der Fall ist?
Verstehst du worauf ich hinaus will?
Hi
Warum sollte das nicht der Fall sein?
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SabrinaMathe
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Mitteilungen: 133
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-07
|
Ach ja. Es geht ja um eine Differentialgleichung und nicht um ein System.
Aber warum steht dann \(||y-z||_s \)in der Norm.
Wo liegen die Bilder?
|
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xiao_shi_tou_
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Dabei seit: 12.08.2014
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Aus: Bonn
| Beitrag No.8, eingetragen 2018-11-07
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Die Bilder wurden bei der Abschaetzung nach oben durch das Supremum ersetzt.
Nach dem Motto: \(|x|\leq sup\{|x|\}\). Deshalb hast du rechts die Norm und links den Absolutbetrag.
Hast du den Wikipedia-Artikel angeschaut? Da steht alles.\(\endgroup\)
|
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SabrinaMathe
Aktiv
Dabei seit: 28.10.2018
Mitteilungen: 133
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-07
|
Hallo,
ja ich habe den Artikel gelesen. Warum stehen ||y-z|| in der Norm . Wo liegen y und z?
|
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xiao_shi_tou_
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Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 674
Aus: Bonn
| Beitrag No.10, eingetragen 2018-11-07
|
Das sind doch stetige Funktionen.
Deshalb stehen sie in der Norm.
|
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SabrinaMathe
Aktiv
Dabei seit: 28.10.2018
Mitteilungen: 133
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-08
|
Aber in welchem Raum liegen die?
In R können sie ja nicht sein?
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xiao_shi_tou_
Senior
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 674
Aus: Bonn
| Beitrag No.12, eingetragen 2018-11-09
|
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\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
\newcommand{\pfam}[1]{(#1)_{v\in\mathfrak{M}_k}}
\newcommand{\finfam}[1]{(#1)_{i=1}^n}
\newcommand{\udl}[1]{\underline{#1}}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\newcommand{\Uij}{U_i\cap U_j}
\newcommand{\vpi}{\varphi_i}
\newcommand{\CC}{\c{C}}
\DeclareMathOperator{\vol}{vol}
\newcommand{\CS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\vpj}{\varphi_j}
\newcommand{\twist}[1]{\c{O}_{\mathbb{P}_k^n}(#1)}
\DeclareMathOperator{\rad}{rad}
\newcommand{\fam}[1]{(#1)_{i\in I}}
\DeclareMathOperator{\char}{char}
\DeclareMathOperator{\Proj}{Proj}
\newcommand{\prj}[1]{\Proj (#1)}
\newcommand{\part}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\DeclareMathOperator{\length}{length}
\DeclareMathOperator{\locArt}{locArt}
\DeclareMathOperator{\Ass}{Ass}
\newcommand{\kxn}{k[x_0,\pts,x_n]}
\DeclareMathOperator{\Supp}{Supp}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Ass}{Ass}
\DeclareMathOperator{\im}{im}
\newcommand{\ka}{\kappa}
\newcommand{\pr}{\mathfrak{p}}
\newcommand{\abs}[1]{\left| #1\right|}
\newcommand{\ab}{\left|-\right|}
\newcommand{\eps}{\epsilon}
\DeclareMathOperator{\Pic}{Pic}
\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\units}[1]{(\Zx{#1})^\times}
\newcommand{\KX}{K[X]}
\newcommand{\cov}{\c{U}}
\newcommand{\ff}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\leg}[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)}
\newcommand{\ANF}{K/\Q}
\newcommand{\Os}{\mathcal{O}_{S,s}}
\newcommand{\lineb}{\c{L}}
\newcommand{\cyclm}{\Q(\sqrt[m]{1})}
\newcommand{\cyclmK}{K(\sqrt[m]{1})}
\newcommand{\clKX}{\overline{K}[X]}
\newcommand{\LX}{L[X]}
\newcommand{\gfib}[2]{#1_{\cl{#2}}}
\newcommand{\OS}{\mathcal{O}_S}
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\newcommand{\glX}{\Gamma(X,\mathcal{O}_X)}
\newcommand{\glY}{\Gamma(Y,\mathcal{O}_Y)}
\newcommand{\finKX}{f\in K[X]}
\newcommand{\ser}[1]{\sm{n=0}{\infty}{#1}}
\newcommand{\sm}[3]{\underset{#1}{\overset{#2}{\sum}} #3}
\newcommand{\cl}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\sube}{\subseteq}
\newcommand{\prou}{\text{ primitive }m \text{-th root of unity }}
\newcommand{\hk}{\hookrightarrow}
\newcommand{\OYy}{\mathcal{O}_{Y,y}}
\newcommand{\supe}{\supseteq}
\newcommand{\resy}{\kappa(y)}
\newcommand{\LK}{L/K}
\newcommand{\iso}{\overset{\sim}{\to}}
\newcommand{\kn}{k^n}
\newcommand{\kvec}{\textbf{vect}(k)}
\newcommand{\fkvec}{\textbf{vect}_{<\infty}(k)}
\newcommand{\fz}{f(X)=0}
\newcommand{\KIsom}{L\underset{K}{\overset{\sim}{\to}} L}
\newcommand{\simple}{\text{Let }K'=K(\alpha)\text{ be a simple extension of }K \text{ with minimal polynomial }\finKX}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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\newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_p}
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\newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}_q}
\newcommand{\Fp}{\mathbb{F}_p}
\newcommand{\I}{[0,1]}
\newcommand{\In}{[0,1]^n}
\newcommand{\Fpn}{\mathbb{F}_{p^n}}
\newcommand{\Fpm}{\mathbb{F}_{p^m}}
\newcommand{\Zn}{\mathbb{Z}/{n\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Zx}[1]{\mathbb{Z}/{#1\mathbb{Z}}}
\newcommand{\md}[3]{#1\equiv #2\pmod{#3}}
\newcommand{\ga}{\Gal(L/K)}
\newcommand{\aga}[1]{\Gal(\overline{#1}/#1)}
\newcommand{\sga}[1]{\Gal(#1^{sep}/{#1})}
\newcommand{\gal}[2]{\Gal(#1/{#2})}
\newcommand{\c}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\limes}[1]{\underset{i\in I}{\varprojlim{#1_i}}}
\newcommand{\prp}{\text{ proper }}
\newcommand{\lnss}{\text{ locally noetherian Schemes}}
\newcommand{\lns}{\text{ locally noetherian Scheme }}
\newcommand{\ffe}{\text{ finite field extension }}
\newcommand{\fge}{\text{ finite Galois extension }}
\newcommand{\fne}{\text{ finite normal extension }}
\newcommand{\fse}{\text{ finite separable extension }}
\newcommand{\fure}{\text{ finite unramified extension }}
\newcommand{\frae}{\text{ finite ramified extension }}
\newcommand{\ure}{\text{ unramified extension }}
\newcommand{\rae}{\text{ ramified extension }}
\newcommand{\tarae}{\text{ tamely ramified extension }}
\newcommand{\rain}{\text{ ramification index }}
\newcommand{\indeg}{\text{ inertia index }}
\newcommand{\SS}[2]{E_2^{p,q}=#1\Longrightarrow #2}
\newcommand{\Co}[2]{H^p(#1,#2)}
\newcommand{\qcqs}{\text{ quasi-compact quasi-separated }}
\newcommand{\oft}{\text{ of finite type }}
\newcommand{\loft}{\text{ locally of finite type }}
\newcommand{\ofp}{\text{ of finite presentation }}
\newcommand{\OX}{\mathcal{O}_X}
\newcommand{\OC}{\mathcal{O}_C}
\newcommand{\OXmu}{\mathcal{O}_{X,\mu}}
\newcommand{\OCx}{\mathcal{O}_{C,x}}
\newcommand{\OYx}{\mathcal{O}_{Y,y}}
\newcommand{\OK}{\mathcal{O}_K}
\newcommand{\OL}{\mathcal{O}_L}
\newcommand{\res}[1]{\kappa_#1}
\newcommand{\resx}{\kappa(x)}
\newcommand{\mor}[5]{\text{ Let } #1\overset{#2}{\to} #3 \text{ be a }#4 \text{morphism of }#5}
\newcommand{\let}[3]{\text{ Let } #1 \text{ be a } #2 \text{ of } #3}
\newcommand{\sk}{\{\tau\}}
\newcommand{\Te}{[T]}
\newcommand{\Tee}{[T_1,T_2]}
\newcommand{\Teee}{[T_1,T_2,T_3]}
\newcommand{\Ten}{[T_1,\cdots,T_n]}
\newcommand{\Tem}{[T_1,\cdots,T_m]}
\newcommand{\pts}{\cdots}
\newcommand{\pt}{\cdot}
\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
\newcommand{\hm}[3]{\Hom_{#1}(#2,#3)}
\newcommand{\hom}[2]{\Hom(#1,#2)}
\newcommand{\Sschemes}{\schemes/S}
\newcommand{\kschemes}{\schemes/k}
\newcommand{\dash}{\dashrightarrow}
\newcommand{\schemes}{\bb{(Sch)}}
\newcommand{\Is}{\overset{\sim}{\to}}
\newcommand{\oIs}[1]{\overset{#1}{\overset{\sim}{\to}}}
\newcommand{\tx}[1]{\text{ #1 }}
\newcommand{\sp}[1]{\Spec(#1)}
\newcommand{\prj}[1]{Proj(#1)}
\newcommand{\wlog}{\text{ without losing generality }}
\newcommand{\ffoc}{\text{ \text{Let } f\colon C\to S \text{ be a flat family of curves of genus } g}}
\newcommand{\mm}{\ff{m}}
\newcommand{\arr}[3]{#1\overset{#2}{\to} #3}
\newcommand{\isom}[3]{#1\overset{#2}{\overset{\sim}{\to}}#3}
\newcommand{\nrm}[1]{\left\|#1\right\|}
\newcommand{\nr}{\nrm{-}}
\newcommand{\ext}[2]{#1/{#2}}
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\newcommand{\de}{\delta}
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\newcommand{\bul}{\bullet}
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\newcommand{\tm}{\times}
\newcommand{\tms}{\times\pts\times}
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\newcommand{\ots}{\otimes\pts\otimes}
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\newcommand{\ops}{\oplus\pts\oplus}
\newcommand{\cr}{\circ}
\newcommand{\crs}{\circ\pts\circ}
\newcommand{\kxn}{k[x_0,\pts,x_n]}\)
Das geht doch schon aus dem Themenstart hervor.
Das sind stetige Funktionen auf einem abgeschlossenen Intervall mit Werten in \(\mathbb{R}\).\(\endgroup\)
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SabrinaMathe
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-11
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Es ist klar geworden. Vielen Dank für euere Mühen:)
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SabrinaMathe
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-11
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