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Universität/Hochschule Möbius-Transformation
leroxxx
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  Themenstart: 2018-11-07

Liebe Community, ich muss folgendes zeigen: \ Seien M,N Matrizen in GL(2,C) und \psi_M und \psi_N die zugehörigen Möbiustransformationen und seien \phi_M und \phi_N die Abbildungen C^2 -> C^2: v -> Mv und C^2 -> C^2: v -> Nv. Zeigen Sie \psi^(-1)_A = \psi_(A^(-1)). Dazu habe ich folgenden Ansatz: \psi(A) = (a*z+b)/(c*z+d) mit \psi(A) = w w*(c*z)+w*d = a*z+b z*(c*w-a) = -d*w+b z = (-d*w+b)/(c*w-a) mit z <-> w w = (-d*z+b)/(c*z-a) \psi^(-1)_A = (-d*z+b)/(c*z-a) Dies müsste die "Inverse Möbiustransformation" sein. Die Inverse Matrix ist gegeben durch A^(-1) = 1/(ad-bc)*(d,-b;-c,a) Wie beweise ich nun, dass \psi^(-1)_A = \psi_A^(-1) ist? Vielen Dank vorab!


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-07

Hallo, leroxxx, wenn du eine Möbisutransformation als \(\D z\mapsto \frac{az+b}{cz+d} \) darstellst, kannst du \(a,b,c,d\) mit einer beliebigen Zahl \(w\neq0\) multiplizieren, und es bleibt doch dieselbe Möbiustransformation. Wally


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leroxxx
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-07

Hallo, vielen Dank für die Rückmeldung! Ich verstehe allerdings leider nicht so ganz, wie ich damit weiterkomme..


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Wally
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  Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-07

Hallo, ich würde die Möbisutransformation oben als die zu der Matrix \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) gehörige betrachten. Jetzt kann man einmal die inverse Transformation ausrechnen und einmal die inverse Matrix. Die müssen wieder zueinander gehören. Wally


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leroxxx
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-07

Die inverse Transformation habe ich ja schon einmal berechnet, wie im Anfangspost erläutert. Oder wie meinst du das? Oder soll ich noch einmal mit der bereits errechneten "inversen" Transformation eine inverse bestimmen?


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Wally
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  Beitrag No.5, eingetragen 2018-11-07

Ich weiß nicht so recht, wo das Problem liegt (wegen der verschiedenen Schreibweisen z.B.) Bitte lies noch mal (und editiere ggf) deinen Eingangspost, wo du die Transformation beschreibst. Deine dort angegeben inverse Matrix ist auch zweifelhaft. Wally


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leroxxx
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-08

Hallo, das habe ich inzwischen gemacht und es sollte nun klarer sein, was meine inverse Möbiustransforamtion ist. Kannst du mir sagen, wie ich nun weiter rechnen muss?


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Wally
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  Beitrag No.7, eingetragen 2018-11-08

Eigentlich bist du fertig, wenn du Beitrag 1 beachtest. Die Möbiustrafo zur inversen Matrix und deine als Inverse berechnete Transformation lassen sich ja durch Erweitern oder Kürzen ineinander überführen. Wally


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leroxxx
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-08

\ Danke für deine Rückmeldung! Kannst du mir einen kurzen Ansatz geben, wie ich die zueinander überführe? Muss ich nicht eigentlich die "Inverse Matrix" in die Möbiustransformation einsetzen und dann irgendwie umformen, sodass ich (-d*z+b)/(c*z-a) erhalte? Falls ja, dann wüsste ich z.B. gerade nicht wie ich die "allgemeine Inverse Matrix 1/(ad-cb)*(d,-b;-c,a) dort einsetzen kann.


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Wally
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  Beitrag No.9, eingetragen 2018-11-08

Da hast du wohl gerade einen blinden Fleck ;) Wenn zur Matrix \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) die Möbiustransformation \(\D z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}\) gehört, dann gehört zur inversen Matrix \(\begin{pmatrix}\D \frac{d}{ad-bc}&\D\frac{-b}{ad-bc}\\\D \frac{-c}{ad-bc}&\D \frac{a}{ad-bc}\end{pmatrix}\) die Möbiustransformation \(\D z\mapsto\frac {\D\frac{d}{ad-bc}z+\frac{-b}{ad-bc}}{\D \frac{-c}{ad-bc}z+ \frac{a}{ad-bc}}=\frac{dz-b}{-cz+a}=\frac{-dz+b}{cz-a}\). OK? Wally


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leroxxx
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-08

Das war ja wirklich einfacher als gedacht, entschuldige. Eine Frage noch: Habe ich bei meiner Umkehrfunktion einen Fehler gemacht oder muss bei der Möbiustransformation zur inversen Matrix am Ende \ (-d*z+b)/(c*z-a) stehen?


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Wally
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  Beitrag No.11, eingetragen 2018-11-08

Wenn du bei der Umkehrfunktion die Terme auf die andere Seite bringst, hast du oben und unter eine Minus mehr - es kommt eben nicht drauf an. Wally


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DerEinfaeltige
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  Beitrag No.12, eingetragen 2018-11-08

@leroxx: Du hast recht. Wally hat sich verschrieben. Das $z$ gehört zum $c$, nicht zum $a$. Schon aus Symmetriegründen. :)


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leroxxx
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-08

Vielen Dank für eure Hilfe! :)


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