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Funktionentheorie » Holomorphie » Möbiusabbildung - Einheitskreis auf obere Halbebene
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Universität/Hochschule J Möbiusabbildung - Einheitskreis auf obere Halbebene
leroxxx
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  Themenstart: 2018-11-08

Hallo liebe Community, wir haben bei uns in der Uni das Thema Möbiustransformationen und Abbildungen und ich überlege gerade, wie man eine Möbiusabbildung findet, die den Einheitskreis auf die obere Halbebene abbildet. Wie geht man da vor? Zudem hätte ich noch eine Verständnisfrage: Wieso benutzt man zum finden einer Abbildung des Einheitskreises auf die rechte Halbebene die Punkte: \ i) -1 -> 0 ii) i -> i iii) 1 -> \inf Dabei ist mir folgendes klar: i) -1 -> 0, da -1 außerhalb der Halbebene ist ii) i -> i, da i bereits in der Halbebene ist iii) Wieso wird aber 1 zu \inf? Müsste ich für die Möbiusabbildung in die obere Halbebene folgende Punkte benutzen? i) -i -> 1 ii) 1 -> \inf iii) -1 -> 0? Kann mir da jemand helfen? Vielen Dank vorab!


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-08

Hallo, vielleicht guckst du doch mal in ein Buch, wo das ausführlich erklärt ist. man nimmt immer Punkte, mit denen man bequem rechnen kann, und es gibt unendlich viele Möglichkeiten, Punkte zu wählen. Wally


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leroxxx
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-08

vielen Dank für die Rückmeldung. :) Ich habe mich nochmal ein wenig damit beschäftigt und mir folgende Punkte gesucht: f(-i)=0 f(1)=1 f(0)=i Damit komme ich wenn ich alles einsetze und umstelle auf dei Möbiustransformation \ f(z)=(z+i)/(i*z+1) Kann man irgendwie leicht sehen, ob die Transformation wirklich den Einheitskreis in die obere Halbebene abbildet?


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Bai
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  Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-08

Hi, nein, es gibt leider keine Möglichkeit, so etwas schnell zu überprüfen. Generell benutzt man einfach das Vorgehen, mit dem solche Transformationen überhaupt erst konstruiert werden: 1. Möbiustransformationen bilden verallgemeinerte Kreislinien wieder auf solche ab. Insbesondere werden Ränder von Halbebenen wieder auf Geraden oder Kreise abgebildet. 2. Die Zusammenhangskomponenten, die durch die verallgemeinerte Kreislinie entstehen, werden auch wieder auf die Zusammenhangskomponenten des Bildes dieser Kreislinie abgebildet. Ich würde also bei einer solchen Aufgabe immer wiefolgt vorgehen: Suche dir 3 Punkte auf den Rändern der beiden Gebiete, sodass die Möbiustransformationen mit ihnen leicht zu konstruieren ist. Dann bilde die Punkte in gleicher Orientierung aufeinander ab (sonst bildest du nicht $G_1\to G_2$ ab, sondern unter Umständen $G_1\to \mathbb C\backslash G_2$). Fertig. PS: Schaue dir mal die Cayley-Transformation an. Die ist in diesem Zusammenhang von unschätzbarem Wert. (Sie ist die inverse zu der hier gesuchten Transformation)


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Wally
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  Beitrag No.4, eingetragen 2018-11-08

Es gibt doch eine Möglichkeit. Wenn man sicher ist, dass die Transformation die Kreislinie auf die reelle Achse abbildet, wird das Innere genau dann auf die obere Halbebene abgebildet, wenn das Bild der Null dort liegt, d.h. wenn der Imaginärteil des Bildes der Null positiv ist. Wally


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Bai
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  Beitrag No.5, eingetragen 2018-11-08

\quoteon(2018-11-08 18:28 - Wally in Beitrag No. 4) Es gibt doch eine Möglichkeit. Wenn man sicher ist, dass die Transformation die Kreislinie auf die reelle Achse abbildet, wird das Innere genau dann auf die obere Halbebene abgebildet, wenn das Bild der Null dort liegt, d.h. wenn der Imaginärteil des Bildes der Null positiv ist. Wally \quoteoff Ist das nicht absolut dasselbe wie das, das ich beschrieben habe? Wird Rand auf Rand schon mal passend abgebildet, gibt es für die Zusammenhangskomponenten ja nur zwei Möglichkeiten. Wenn die 0 (also ein Innerer Punkt) auf einen Punkt in der oberen Halbebene abgebildet wird, hat man die gewünschte Abbildung. Das ist doch aber äquivalent dazu, dass man die Randpunkte in derselben Orientierung ausgewählt hat.


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Wally
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  Beitrag No.6, eingetragen 2018-11-08

Hallo Bai, natürlich ist das im Wesentlichen dasselbe. Was ich geschrieben habe, ist einfach eine schnelle Probe, ob man sich bei der Orientierung auch nicht vertan hat. Wally


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Ex_Senior
  Beitrag No.7, eingetragen 2018-11-08

Hallo, \quoteon(2018-11-08 16:55 - leroxxx in Beitrag No. 2) Kann man irgendwie leicht sehen, ob die Transformation wirklich den Einheitskreis in die obere Halbebene abbildet? \quoteoff Ich kann zwar keinen mathematisch korrekten Nachweis liefern, aber mit einer Abbildung erkennt man zumindest, wenn es falsch ist; und deine Lösung erscheint richtig: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39392_konform.png Das kleine Programm findet man unter https://mathematikalpha.de/konforme-abbildungen . Profiprogramme werden es natürlich schöner darstellen. LG Steffen


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leroxxx
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-09

Das ist ein super Tipp! Vielen Dank dafür und für eure zahlreiche Unterstützung. :-)


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